比值公式不等精度直接测量不确定度的评定

不等精度直接测量不确定度的评定
国家质检总局福州培训中心 彭靖


一、问题的提出
在不等精度直接测量时，由各测量值x
i
及其标准差σ
i
计算加
权算术平均值的标准差时，有两个计算公式

式中:p
i
——各测量值的权；σ
i
— —各测量值的标准差；σ——
单位权标准差；——加权算术平均值的标准差。
但这两 个公式的计算结果有时会相差很大。那么，在这种情
况下，采用哪个公式更为合理呢？本文对此从公式的 推导到公
式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。

二、公式的数学推导
在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为:

测量结果的最佳估计值为:

则测量结果的不确定度评定为:
对式(5)求方差有

设各测量值x
i
的方差都存在，且已知分别为，即D(x
i
)=
由(4)式有=σ
2
p
i



从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标
准差)必须是已知的。而在实际测量中 ，常常各测量值的方差(或
标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。但
是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其权等于测量值的
权)求出单位权标准差的估计值，并将其 代入公式(1)中，就可计
算出加权算术平均值标准差的估计值。为此，作如下推导:
由残差ν
i
=x
i
- i=1，2，……n
对ν
i
单位权化

由于

v
i< br>的权都相等，因而可设为1，故用v
i
代替贝塞尔
公式中的ν
i
可得单位权标准差的估计值

将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值

从上面的 推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差
已知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准 确值；而公
式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果
的不确定度的估计 值。从概率论与数理统计知识可知，只有在
n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差 ，
而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是
不相等的，所以由公式(1)和 公式(2)确定的不确定度的值是也不
相同的。

三、公式选用的一般原则
笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说
明这两个公式推导的前提是 不一样的，其应用当然也就不同。
我们分两种情况来进行讨论。
1.各测量值的标准差未知时
显然，在这种情况下，由于其测量值的权是由其他方法得到的，而各测量值的标准差未知，无法应用公式(1)来进行不确定
度评定，而只能用公式(2)。
2.各测量值的标准差已知时
当已知测量值x
i
和其标准 差σ
i
时，有两种方法计算的标准差
:第一种方法是用公式(1)进行计算，第二种方 法是用公式(2)
进行计算。前面已述这两种方法在理论上是不相等的。两种方
法的区别是:第 一种方法是根据已知的σ
i
计算，没有用到测量
数据x
i
。而第二种 方法既用到了σ
i
(确定权)，也用到了测量数据
x
i
(计算残差) 。公式(2)是一个统计学公式，与观测次数n有关，
只有n足够大，即观测数据足够多时，该公式才具 有实际意义。
所以，根据前面的推导分析，当测量次数较少时，考虑到随机
抽样取值的分散性， 建议采用公式(1)进行不确定度评定，当测
量次数较多时，采用公式(2)评定不确定度更能真实地反 映出这
一组数据的不确定度值，它包含了由随机效应引起的不确定度，
也包含了由系统效应引起 的不确定度，因而更具有实验性质。
现在的问题是，测量次数究竟为多少时才是较少或较多呢？根
据概率论与数理统计知识，单次测量的标准差与平均值的标准
差的关系为:，当σ一定时，n>10以 后，已减少得非
常缓慢。所以常把n=10作为一个临界值。综上所述，当测量次
数n<10时 ，用公式(1)进行计算效果较好；当测量次数n≥10时，
采用公式(2)来评定不确定度会更客观一 些。另外，还有一个问
题值得注意:不等精度测量本来就是改变了测量条件的复现性测
量，这些 改变了的测量条件有可能带来系统误差。当n足够大
时且本次测量条件与以前的测量条件变化不大时，两 个公式计
算的结果应近似相等。否则本次测量数据可能存在系统误差。

四、实例
[实例1]用国家基准器在相同的条件下连续3天检定某一基准
米 尺，检定的结果为999.9425mm(3次测量取平均值)，
999.9416mm(2次测量取平 均值.雪，999.9419mm(5次测量取平
均值)，试求最终的检定结果。
[ 解]由于测量条件相同，3天里的10次测量是等精度的。3个
检定结果所以精度不等，是因为每天测量 的次数不同，所以其
权为:
p
1
:p
2
:p3
=σ
2
n
1
:σ
2
n
2
: σ
2
n
3
=3:2:5
所以，加权算术平均值为:

因各测量值的标准差未知，故σ
x
应按公式(2)估算，所以

[实例2]对某物理量进行9次直接测量，数据见下表，评定测
量结果的不确定度。



[解](1)计算各测量值的权:
由式(4)知
p
i
=σ
2

令单位权标准差σ=50，则各测量值的权为:
p
1
:p
2
:p
3
:p
4
:p
5
:p
6
:p
7
:p
8
:p
9

=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73
(2)计算最佳估计值:

(3)计算的标准差:
第一种方法；用公式(1)计算

第二种方法:用公式(2)计算

从本例看，两种方法计算的结果相差较大。依据第三节的原
则，该 例采用第一种方法计算的结果为好。从对观测列的分析
来看，x
max
-x
m in
=132，取值很分散，似有系统误差存在。当系统
误差大于随机误差时，测量值的变化规 律会明显地为系统误差
所左右，因而无法用统计的方法得到正确的测量结果，原有的
测量值也就 失去了意义。要有效地提高测量准确度，必须认真
分析测量过程中系统效应的影响，并采取措施，减小或 消除其
影响。