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马克公式必修2.1.3.2球的表面积与体积

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 18:16
tags:球的表面积公式

任末好学文言文翻译-杜甫诗三首高中


§必修2.1.3.2 球的表面积与体积

教学目标

1.了解球的表面积和体积的计算公式.
2.能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.
学习内容


知识梳理

1.球的体积

4
设球的半径为R,则球的体积V=
πR
3
.
3
2.球的表面积
设球的半径为R,则球的表面积S=4πR
2
,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
例题讲解



题型一 求球的体积和表面积
例1 把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大为原来的( )
A.2倍 B.22倍 C.2倍 D.32倍

解析:设改变前,后球的半径分别是r,r′,则由条件可知


4πr′< br>2
=2×4πr
2
.∴r′=
4πr′
3
4πr3
2r.V′==22×.
33
1

答案:B
点 评:确定一个球的条件是球心位置和球的半径,已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知体积或表面积也可以求其半径.

巩 固 若三个球的表面积之比是1∶2∶3,则它们的体积之比是
________.



3
A.3π B.2π C.
π D.4π
2




2

例2 一个球内有相距9 cm的两个平行截面,它们的面积分别为49π cm
2
和400π cm
2
,求球的表面积.

解析:(1)当截面在球心的同侧时,图甲所示 为球的轴截面,由球的截面性质知,AO
1
∥BO
2
,且O
1
,O
2
分别为两
截面圆的圆心,则OO
1
⊥AO
1
,OO
2
⊥BO
2
.设球的半径为R.
∵π·O
2B
2
=49π,∴O
2
B=7(cm).
∵π·O
1
A
2
=400π,∴O
1
A=20(cm).
设OO
1
=x cm,则OO
2
=(x+9)cm.
在R t△OO
1
A中,R
2
=x
2
+20
2

在Rt△OO
2
B中,R
2
=(x+9)
2
+7< br>2

∴x
2
+20
2
=7
2
+( x+9)
2
,解得x=15,
∴R
2
=x
2
+2 0
2
=25
2

∴R=25(cm).
∴S

=4πR
2
=2 500π(cm
2
).
∴球的表面积为2 500π cm
2
.
(2)当截面在球心的两侧时,图 乙所示为球的轴截面,由球的截面性质知,O
1
A∥O
2
B,且O
1
,O
2
分别为两截面圆
的圆心,则OO
1
⊥O
1< br>A,OO
2
⊥O
2
B.

设球的半径为R. < br>∵π·O
2
B
2
=49π,∴O
2
B=7(cm).
∵π·O
1
A
2
=400π,∴O
1
A=20(c m).
设O
1
O=x cm,则OO
2
=(9-x)cm.


3

在Rt△OO
1
A中,R
2
=x
2
+400. < br>在Rt△OO
2
B中,R
2
=(9-x)
2
+49.
∴x
2
+400=(9-x)
2
+49,
解得x=-15(cm),不合题意,舍去.
综上所述,球的表面积为2 500π cm
2
.
点评:球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为 平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球
的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来 分析解决问题.

巩 固 用与球心距离为2的平面去截球,若球的体积为36π,则所得截面圆的面积为________.




题型二 球的内接、外切几何体问题
例3 有三个球,第一 个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条
棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球 的表面积之比.

解析:作出截面图,分别求出三个球的半径.
设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个正方形的中心 ,经过四个切点及球心作截面,如图甲,所以
a
有2r
1
=a,r
1
=,所以S
1
=4πr21=πa
2
.
2


4


(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心 作正方体的对角面得截面,如图乙,所以有2r2=2a,r2=
2
a,所以S
2=4πr22=2πa
2
.
2
(3)正方体的各个顶点在球面上,过球 心作正方体的对角面得截面,如图丙,所以有2r3=3a,r3=
=4πr23=3πa
2< br>.
综上可得S
1
∶S
2
∶S
3
=1∶2∶3.
点评:解决与球有关组合体问题,可通过画过球心的截面来分析.下列结论常用:
①正方体的8个顶点在同一个球面,则正方体的体对角线是球的直径;
②球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;
③球与正方体的8条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.

3
a,所以S
3
2
巩 固 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂 直于底面.已知该六
9
棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则 这个球的体积为________.
8







题型三 球的体积、表面积的综合应用
例4 一个直径为32 cm的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9 cm,则此球的半径为
________cm.


5


4
3
解析:V=Sh=πr
2
h=
πR
3
,R=64×27=12 cm.
3
答案:12

巩 固 半 径为R的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________.





综合题库


A组
1.(1) 一个球的半径是2,它的体积为________.
(2)

一个球的半径是2,它的表面积是________.
(3) 一个球的表面积变为原来的一半,半径是原来的________倍.
(4) 一个球的体积是36π,它的表面积是________.

2.若一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积是( )
A.27π B.18π
C.9π D.54π

3.若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比为( )
A.1∶2 B.1∶4


4.两个半径为1的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径是________.




B组
1.若球的大圆周长是C,则这个球的表面积是( )
C
2
C
2
C
2
A. B. C. D.2πC
2

4π2ππ




C.1∶8 D.1∶16
6

2.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( )
A.4 B.3
C.2 D.1

3.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )
A.3∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.3∶3


4.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( )
8π82π32π
A. B. C.82π D.
333


5.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的________ 倍.


6.将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4 cm,则钢球的半径是________.



C组

1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1、2、3,则此球的表面积 为
________.



2.球面上有四个点P,A,B,C ,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.




3.把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球,再把球削成一个棱长最长的正方体,求此
正方体的体积.




4.如图所示,一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊 接而成,球的半径为R,正四棱台的上、下底面边长分


7

别为2.5R和3R,斜高为0.6R.


(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示,焊接处对面积的影响忽略不计);



(2)若R=2 cm,为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg可以涂1 m
2
,计算为100个这样的盖子涂色用涂料多少千克(精
确到0.1 kg).




归纳总结

1.球的体积比等于半径的立方比,表面积之比等于半径的平方比.
2.球体与多面体的组合 体的解决关键是作出以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图,实现空间几何向平面几
何的转化.


8

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