求项数的公式三角函数辅助角公式在高考中的应用.

三角函数辅助角公式在高考中的应用
对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：
y=asinx=bcosx
。
由于上式中的
=sinθ，则
与的平方和为1，故可记=cosθ，

由此我们得到结论：
asinx+bcosx=，（*）其中θ由
来确定。
通常称式子（*）为辅助角公 式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化
为y=Asin(+k的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期
例1 （2006年上海卷选）求函数
小正周期。
的最


解：
所以函数y的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(
二. 求最值

+k的形式，是求周期的主要途径。
例2. （2003年北京市）已知函数f(x=cos4x-2sinxcosx- sin4x。若
，求f(x的最大值和最小值。
解：f(x=(cos2x+sin2x(c os2x-sin2x-sin2x=cos2x-
sin2x=。
由。
当，即x=0时，
时
最小值
取最大值1。
；当
从而f(x在上的最大值是1，最小值是。
三. 求单调区间
例3. （2005年江西省）已知向量
，
求函数f(x在[0，π]上的单调区间。
解：

，令，



先由
反之再由
。
。
所以f(x在上单调递增，在上单调递减。
评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最
终仍要归结为三角式 的变形问题。而化为y=Asin(ωx++k的形式，是求单
调区间的通法。
四. 求值域
例4. 求函数
的值域。

解：
所以函数f(x的值域是[-4，4]。
五. 画图象



例5. （2003年新课程）已知函数f(x=2sinx(sinx+cosx，画出函 数y=f(x
在区间上的图象。
解：
由条件
列表如下
。


0










2

1


1


2

描点连线，图象略。
六. 图象对称问题
例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=
（A）（B）（C）1 （D）-1

对称，那么a=(
解：可化为


知时，y取得最值，即

七. 图象变换
例7（2000年全国）已知函数
的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
该函数的图象可由
解：

可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：
（1）向左平移，得到y=sin(x+的图象；
（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得
y=的图象；


（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得
y=sin(2x+的图象；
（4）将（3）中所得图象向上平移个单位长度，得到y=sin(2x++的图象。
综上，依次经过四步变换，可得y=
八. 求值
的图象。
例8. 已知函数f(x=
sinα的值。
+sinxcosx。设α∈（0，π），f(=，求
解：f(x=
=sin。
由f(=sin(，
得sin(=。
又α∈（0，π）。
而sin，
故α+，则
cos(α+=。


sinα=sin[]
=sin
=
=。
评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范 。在求sinα时，巧用凑角
法：α=（α+）-，并且判断出α+的范围，进而求出cos(α+的确 切值，
使整个求值过程方向明确，计算简捷。
九. 求系数
例9. （2005年重庆）若函数f(x=
定常数a的值。
的最大值为2，试确
解：f(x=
=
=，
其中角由sin=来确定。
由已知有，解得a=。
十. 解三角不等式


例10. （2005年全国Ⅲ）已知函数f(x=sin2x+sin2x，x
的x的集合。
解：f(x=1-cos2x+sin2x
，求使f(x为正值
=1+。
由f(x＞0，有sin2x-
则得2kπ-，
故kπ＜x＜kπ+。
再由x[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是
。