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计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会
计算方法又称 数值分析”。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼
近论,数值微分,数值积分,误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的
计算方法还要求适应电子计算机的特点。 数值分析即 计算方法”下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积 分内容
的心得与体会。
首先了解一下数值积分的内容:
b
c
(1)针对定积分
I
二
f xdx
,若 f x =x,a=0,b=1,即有
I
二
L
a
5
1 6
1
5
门
1
*■ 0
X
J,但当
x dx =—
0
6
6
f x
= -
, f x二sinx
, ........
,时,很难找到其原函数。
2
Sinx
x
(2)被积函数并没有具体的解析形式,即 f x仅为一数表。
b
定积分
I f x dx
的几何意义为,在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面
a
积,这四条曲线分别是y = f x ,y=0, x=a,x=b
b
二
a b
a
f x dx
:
b -a
f
-
其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积
以及梯形公式
I = [ f (x )dx
化七卫
f (a )+ f (b )]
梯形公式的几何意义是,用以下梯形面积替代曲边梯形的面积:
2
再来是辛普森公式 l=J f (x )dx Wl? ] f (a
)
+4f |兰辿〕十f (b )
」
a
6 「 I 2丿 J
RZ
辛普生公式的几何意义为,阴影部分的面积为抛物线曲边梯形,该抛物线由
(a, f (a) >
1
卑卫,f '卑卫j ,(b, f (b))三点构成。
I
2
I
2
丿丿
a a+b b
2
b
n
A
k
f x
k
,其中
x
k
称为节点,
A
称为求积系数,或
k=0
从而到处其一般公式为
f x dx
a
权。
衡量一个积分公式的好坏,要用具体的函数来衡量,寻找怎样的函数来衡量呢?简单的
多项式 函数是一个理想的标准。若某积分公式对于x
k
(k=0,1,|H,m)均能准确成立,但对 于
x
m41
不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
***研究中矩形公式
f x dx “ b - a f
口的代数精度及几何意义
I
2
丿
b b
【解】当f x =x
0
=1时,公式左边
a a
f x dx 1dx=b-a
,公式右边二b-a,左=
右;
b
b
当f X =X
1
时,公式左边二&
f X dX
二,
xdx
丄
b —
, 2 2
a
2
2
.2 2
公式右边二甘
b - - a
,左=右;
2
当
f
(
X ) = X
2
时,公式左边
=L f
(
X )dx=
J
a
X
=
=
dx
X
3
.3
b - a
3
3
3
2
公式右边二
,左=右;
故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出,当被积函数为一条直线时,中矩形公式是严格成立的,
面积与梯形面积相等,如下图所示。
其次是研究几种计算方法:
首先是待定系数法。
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析:构造一次代数精度的公式,即当 fx=1及fx=x时,公式严格成立,故有 2
个约束条件,于是可以确定具有 2个参数的积分公式。
b
解:设积分公式为:.
f x dx
:
、
A
o
f ai'A b
a
中矩形
针对f Xi
;
= 1及f Xj=X,代入积分公式的左边和右边,有:
b -a = A
。
*A
i
1
2 2
-b -a i-A
o
a A
—
b
2
b
1 1
,解得
A
o=
— b-a
,
A
i=
—b-a
2
b —a
f a
2
2
于是有积分公式:
a
f x dx
该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
解:设积分公式为
& f x dx
A
0
f a i
亠人
f i
:
' A
2
f b
。
针对f x =1,f x =x及f x =x
2
,代入积分公式的左边和右边,有:
b - a = A
o
A
1
2 2
-b-a
二
A
o
a
1
3
A
2
a
亠
b
A
?
b
2
A
* A
屮
12 1
,解得:
A
o
b-a
,
A b-a
,
A
2
6 3
b-a
6
ba
-
3 3
2
积分公式为:I
=」
xdx
If
4f ab f b
2
2次,而是3次的
I lk(x)dx
a
该公式即为辛普生公式,需要注意的是,该公式的代数精度并不是
方法二,插值法(插值型求积公式),即过函数f(x)的n+1节点x0,x1
,
.............. , xn,作
n
n次多项式函数R x,根据拉格朗日公式:
b
n
b
P
n
X
「
Tk X f X
k
,则有
k=0
n
k± a
f (x )dx
彩
J R (x )dx = W 1J I
k
(x)dx f (X
k
)=送
A
k
f (X
k
),其中,
A
k =
a a
丄
a
」
km
t
b
代数精度的分析:若被积函数 f x是次数小于n的多项式函数,那么由其曲线上的 n+1 节点
构成的n次多项式函数P
n
x即是被积函数f x本身。贝插值型积分公式具有至少 n 次代数精度。
若f x是一条直线,那么过其曲线上3个点构造的抛物线F
2
x = a
0
a
1
x a
2
x
2
,其中必 有
a
2
=0
,即 F
2
x ]= f x
同理,若f x是一条抛物 线,那么过其曲线 上4个点构造的3次多项式函数
P
3
x
;
ua
0
- a
1
x - a
2
x
2
- a
3
x
3
,其中必有 a
3
=0
,即 P
3
x[=
:
f x
。
再来是牛顿- 柯特斯公式:
I f x dx
:
b - a f
a
b
几何意义为,用以下矩形面积替代曲边梯形面积。
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