年增长率计算公式定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质
一、变上限函数
设函数
于是，
在区间
在区间
上连续，并且设x为
上的定积分为

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变
量无关，故可将此改为

如果上限x在区间上任意变动，则对
上的任一点，
于每一个取定的x值，定积分有一个 确定值
与之对应，所以定积分在
以x为自变量的函数
变上限函数
记为
图 5-10

从几何上看，也很显然。因为X是
从而以线 段
上一个动点，
，我们把称为函数
上定义了一个
在区间上
为底的曲边 梯形的面积，必然随着底数
端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图
5- 10）
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。
因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度
区间
图 5-11

作直线运动，那么在时间
上所经过的路程s为

另一 方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数
从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：
此，为了求出定积分
再 求在区间
即是一个原函数，因
的原函数，
，那么物体
，应先求出被积函数即可。 上的增量
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分
方法：
设函数
即
在闭区间
，则
上连续，是
的一般
的一个原函数，

这个公式叫做牛顿- 莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成


牛顿-莱布尼兹公式通 常也叫做微积分基本公式。它表示一
个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值
之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定
积分有效而简便的方法，从而使定积分得 到了广泛的应用。
例1 计算
因为是的一个原函数所以
例 2 求曲线

和直线x=0、x=
及y=0所围成图形面积A(5-12)
解 这个图形的面积为

图 5-12


二、定积分的性质
设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以

得到定积分以下几个简单性质：
性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
(A为常数)
性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，
即

这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即

以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此
处证明从略。
性质4 如果将区间分成两个子区间

这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。
当a轴围成的曲边梯形面积:

图 5-13a
图 5-13b

与和x=a x=b及x
及那么有


因为

即性质4成立。
当a
所以

显然，性质4也成立。
总之，不论c点在
例3 求
内还是外，性质4总是成立的。

例 4 求
解 =




例 5 求

解

所以


例 6 求
解
于是，






例 7 设
解 因为
所以
=
=

=
求



例8 火车以v=72kmh的速度在平直的轨道上行驶，到某处
需要减速停车。设火车以加速度a=-5m
停车，火车走了多少距离？
解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度
刹车后火车减速行驶。其速度为
当火车停住时，速度
解得
，故从
刹车。问从开始刹车到
于是在这段时间内，火车走过的距离为

=
即在刹车后，火车需走过40m才能停住。

习题 5-2
1 求下列定积分：
（1）
(3)
(5)
(7)
(2)
(4)
（6）




(8)
(11)设
2.求由
(9)

(10)
与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。
，其中,v以ms 3.一物体由静止出发沿直线运动，速度为
单位，求物体在1s到2s之间走过的路程。