异或公式二次三项式的因式分解(公式法)

二次三项式的因式分解（用公式法）（一）

一、教学目标
（一）知识教学点：
1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解
与解一元二次方程的关系．
2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次
三项式分解因式．
（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的
能力．
（三）德育渗透 点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的
教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一 般到特
殊，再由特殊到一般．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．
2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．
3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．
三、教学步骤
（一）明确目标
二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但
对有 些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式
4x
2
+8x-1因式分解． 在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，
任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出． 那么一
元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax
2
+bx+c的
1
因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是 研究
和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．
（二）整体感知
一元 二次方程的一般形式是ax
2
+bx+c=0（a≠0），观察方程的
特点：左边是一 个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式
分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的 根，来将二
次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax
2
+bx+c的因式时，可先
用公式求出方程ax
2
+bx+c=0的两个根x
1
，x
2
，然后写成ax
2
+bx+c=a
（x-x
1
）（x-x< br>2
）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，
对学生进行辩证唯物主义思想教 育．
公式ax
2
+bx+c=a（x-x
1
）（x-x
2
）的得出的依据是根与系数的关
系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax
2
+bx+c=a（x-x
1
）（x-x
2
）
的得出奠定了基础．通 过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习
了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研 究问
题的能力．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1．复习提问
（1）写出关于x的二次三项式？
（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．
①x
2
-2x+1；②x
2
-5x+6；③6x
2
+x-2 ；④4x
2
+8x-1．
由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．
2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二
次三项式的因式分解之关系．
①x
2
-2x+1=0；
2
解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．
∴ x
1
=x
2
=1，
②x
2
-5x+6=0；
解原方程可变为
（x-2）（x-3）=0
∴ x
1
=2，x
2
=3．
③6x
2
+x-2=0
解：原方程可变为
（2x-1）（3x+2）=0．

观察以上各例，可 以看出，1，2是方程x
2
-3x+2=0的两个根，
而x
2
-3x +2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程
的两个根来分解相应左边的二次三项 式．
②推导出公式


=a（x-x
1
）（x-x
2
）．
这就是说，在分解二次 三项式ax
2
+bx+c的因式时，可先用公式
求出方程ax
2
+b x+c=0的两个根x
1
，x
2
，然后写成
ax
2
+bx+c=a（x-x
1
）（x-x
2
）．
3
教 师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再
从一般的字母系数的例子得出一般性的推导， 由此可知认识事物的
一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．
③公式的应用
例1 把4x
2
+8x-1分解因式
解：∵ 方程4x
2
+8x-1=0的根是


教师板书，学生回答．
由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目
的是化简①．
练习：将下列各式在实数范围因式分解．
（1）x
2
+20x+96；（2）x
2
-5x+3
学生板书、笔答，评价．
解2 用两种方程把4x
2
-5分解因式．

方法二，解：∵ 4x
2
-5=0，

4
方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．
练习：将下列各式因式分解．
（1）4x
2
-8x+1；（2）27x
2
-4x-8；（3）25 x
2
+20x+1；
（4）2x
2
-6x+4；（5）2x
2
-5x-3．
学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：
（1）要注意一元二次方程与 二次三项式的区别与联系，例如方
程2x
2
-6x-4=0，可变形为x
2< br>-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，
就不能将3x2-6x-12变形为x
2
-2x-4．

（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成
2x
2
-5x-

（3）一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有 两
个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b
2
-4ac≥0时，
二次三项式ax
1
+bx+c在实数范围内可以分解；当b
2
-4ac＜0时 ，二
次三项式ax
2
+bx+c在实数范围内不可以分解．
（四）总结与扩展
（1）用公式法将二次三项式ax
2
+bx+c因式分解 的步骤是先求出
方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax
2
+bx+c写成a（x-x
1
）
（x-x
2
）形式．
5
（2）二次三项式ax
2
+bx+c因式分解的条件是：当b
2
-4ac≥0，
二次三项式ax
2
+bx+c在实数范围内可以分解；b2 -4ac＜0时，二次
三项式ax
2
+bx+c在实数范围内不可以分解．
（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养
学生的探索精神，激发学生的求知欲望， 对学生进行辩证唯物主义
思想教育，渗透认识事物的一般规律．
四、布置作业

五、板书设计
12.5 二次三项式的因式分解（一）
结论：在分解二次三项式 例1．把4x
2
+8x-1分解
因式
ax
2
+bx+c的因式时
可先用公式求出方程：
ax
2
+bx+c=0的两个根
x
1
，x
2
，然后写成
ax
2
+bx+c=a（x-x
1
）（x-x
2
）








6
解：………
……

练习：………