功的公式-天津滨海职业学院
正多边形和圆、弧长公式及有关计算
[学习目标]
1. 正多边形的有关概 念;正多边形、正多边形的中心、半径、边心
距、中心角。正n边形的半径,边心距把正n边形分成2n 个全等的
直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理
任何正多边形 都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心
圆,因此可采用作辅助圆的办法,解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形,具有以下性质:
(1)半径(或边心距)的比等于相似比。
(2)面积的比等于边心距(或半径)的比的平方,即相似比的平
方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆,因此画正n边形
实际就是等分圆周。
(1)画正n边形的步骤:
将一个圆n等分,顺次连接各分点。
(2)用量角器等分圆
先用量角器画一个等于的圆心角,这个角所对的弧就是圆的
, 然后在圆上依次截取这条弧的等弧,就得到圆的n等分点,连结
各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形,如正四边形、正八边形、正六边形、
正三角形、正十二边 形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式:,其中C为圆周长,R为圆的半径,把圆
周长与直径的比值叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长:
n表示1°的圆心角的度数,不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于
中心角。
二. 重点、难点:
1. 学习重点:
,每个外角为,等于
正多边形和圆关系,弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点:
解决有关正多边形和圆的计算,应用弧长公式。
【典型例题】
例1. 正六边形两条对边之间的距离是2,则它的边长是( )
A. B. C. D.
解:如图所示,BF=2,过点A作AG⊥BF于G,则FG=1
又∵∠FAG=60°
故选B
点拨:正六边形是正多边形中最重要的多边形,要注意正六边形
的一些特殊性质。
例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是( )
A. 1∶2∶3 B.
C. D.
解:如图所示,OD是正三角形的边心距,OA是半径,AD是高
设,则AO=2r,AD=3r
∴OD∶AO∶AD=r∶2r∶3r=1∶2∶3
故选A
点拨:正三角形的内心也是重心,所以内心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。
例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积
间的大小关系是( )
A.
C.
B.
D.
,正四边形
之
解析:设它们的周长为,则正三角形的边长是
的边长为
,正六边形的边长为
故选B
点拨:一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件,否则
容易得出错误结论。
例4. 如图所示,正五边形的对角线AC和BE相交于点M,求证:
(1)
(2)
;
点悟:若作出外接圆可以轻易解决问题。
证明:(1)正五边形必有外接圆,作出这个辅助圆,则
∴∠BEA=36°
(2)
又∵公共角∠ABM=∠EBA
∴△ABM∽△EBA
例5. 已知正六边形ABCDEF的半径为2cm,求这个正六边形的边
长、周长和面积。
解:∵正六边形的半径等于边长
∴正六边形的边长
正六边形的周长
正六边形的面积
点拨:本题的关键是正六边形的边长等于半径。
例6. 已知正方形的边长为2cm,求它的外接圆的外切正三角形的
边长和面积。
解:∵正方形的边长为2cm
∴正方形的外接圆半径为cm
cm ∴外接圆的外切正三角形一边上的高为
∴正三角形的边长为
∴正三角形的面积为
点拨:本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径
之间的关系。
例7. 如图所示,已知⊙和⊙外切于点P,⊙和⊙的半径
分别为r和3r,AB为两圆的外公切线,A 、B为切点,求AB与两弧
所围的阴影部分的面积。
解:连结
在
∴梯形
又∵
∴扇形
扇形
的面积为:
的面积为:
中,
的面积为:
,过点作
∴阴影部分的面积为:
点拨:求组合图形的面积一般要构造出易解决问题 的基本图形,
然后求出各图形的面积,最后通过面积的加减得出结论。
例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°,设弧的半径为单位1,
则它的弧长增加___________。
解:由弧长公式,得:
当弧所对的圆心角的度数增加1°,则弧长为
∴弧长增加,故填
。
点拨:本题主要考查弧长公式
例9. 如图, 大的半圆的弧长为a,n个小圆的半径相等,且互相外
切,其直径和等于大半圆的直径,若n个小半圆的 总弧长为b,则a
与b之间的关系是( )
A. B. C. D.
解:设大半圆的半径为R,小半圆的半径为r
由题意,得:
∴小圆的半径
∴每个小半圆的弧长为
∴n个小半圆的总弧长
即,故选A。
点拨:本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系,
然后通过弧长和半径之间的关系求解。
例10. 如图所示,两个同心圆被两条半径截得的
的长为,若
的长 为,
,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
解:设∠O=α,由弧长公式得:
又
∴阴影部分的面积为:
故选C
点拨:本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算,要熟记公式,
正确运用。
例11. 如图所示,⊙O的半径OA为R,弦AB将圆周分成弧长之
比为3∶7的两段弧 ,求弦AB的长,如果将3∶7改为m∶n,此时
弦AB的长度是多少?
点悟:欲求弦长AB,需用弦长公式,需知圆心角的度数,∠AOB
可通过两弧长之比3∶7求得,再利 用
可求。
解:作OD⊥AB于D,连结OB
∵这两段弧之比为3∶7
∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7
设这两个圆心角的度数为3x,7x,则
即
∴∠DOA=54°,又
∴AD=Rsin54°
∵AB=2AD
求得AD,AB就
同理可得3∶7改为m∶n时,解得:
点拨:有关正多边形的计算,都要 作出它的半径和边心距为辅助
线,从而将问题转化为解直角三角形的问题。
例12. 已知正六边形边长为a,求它的内切圆的面积。
点悟:欲求内切圆的面积,根据圆 面积公式
的半径OH,可依据正六边形的性质及边长a求得
代入面积公式,即可。
,需求内切圆
,
解:如图所示,设正六边形的边长,内切圆的圆心 为O,连
结OA、OB,作OH⊥AB于H,则∠AOH=30°
,则内切圆的半 例13. 已知正多边形的周长为12cm,面积为
径为__________。
解:设正多边形是正n边形,圆半径为r
∵正多边形的周长是12cm
∴正多边形的边长是
又∵正多边形的面积是
故应填2cm。
点拨:要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
一. 判断题。
1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。( )
2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。( )
3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。( )
4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。( )
5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。( )
6. 矩形一定有外接圆,菱形一定有内切圆。( )
7. 三角形一定有外接圆和内切圆,且两圆是同心圆。( )
8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。( )
二. 填空题。
9. 若正多边形内角和是540°,那么这个多边形是_________边
形。
10. 两个圆的半径比为2∶1,大圆的内接正六边形与小圆的外切正
六边形的面积比为 __________。
11. 有一修路大队修一段圆弧形弯道,它的半径R是36m,圆弧所
对的圆心角为60°,则这段弯道长约________m(精确到0.1m,
)。
三. 解答题。
12. 已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形,求这两个
正方形的边长比和面积比。
13. 如图,△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C、D在FG
上,且CF=CA,D G=DA,过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG
于点B、F。
求证:五边形ABCDE是正五边形。
14. 如图:三个半径
切点弧围成的阴影图形的周长。
的圆两两外切,求由三条
【试题答案】
一. 判断题。
1. × 2. × 3. √ 4. √
5. √ 6. √ 7. × 8. √
二. 填空题。
9. 正五 10. 3∶1 11. 37.7
三. 解答题。
12. 边长比,面积比2∶1
13. 易求∠F=∠G=36°
∴∠FAC=∠GAD=∠CAD=36°
从而,
由△AFC≌△AGD得:AC=AD
∴ABCDE是正五边形
14. 利用弧长公式,关键是求出三段弧所对圆心角的度数。
且
∴∠B=90°,∠A=30°,∠C=60°
∴阴影部分周长
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