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基金计算公式(完整word版)高中数学导数及应用

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-11 05:38
tags:导数公式

高考辅导资料-英语作文


高中数学导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点
1、导数定义的认知与应用;

2、求导公式与运算法则的运用;

3、导数的几何意义;

4、导数在研究函数单调性上的应用;

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点
(一)导数
1、导数的概念
(1)导数的定义
.

(Ⅰ)设函数 在点 及其附近有定义,当自变量x在 处有增量△x(△x可
正可负),则函数y相应地有增量 ,这两个增量的比
,叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果
时, 有极限,则说函数 在点 处可导,并把这个极限叫做 在点
处的导数(或变化率),记作 ,即


(Ⅱ)如果函数 在开区间( )内每一点都可导,则说 在开区间( )


内可导,此时,对于开区间(
这样在开区间(
)内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数
在开区间( )内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做
或 , 即内的导函数(简称导数),记作


认知:
(Ⅰ)函数 的导数
在点
是以x为自变量的函数,而函数
处的导数 是 的导函数
在点 处的导数
时 是一个数值;
的函数值。

(Ⅱ)求函数
①求函数的增量


在点 处的导数的三部曲:

②求平均变化率

.

③求极限
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

(2)导数的几何意义:
函数
率。

(3)函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别:
(Ⅰ)若函数
若函数
续)。

在点 处可导,则
)内可导,则
在点 处连续;
)内连续(可导一定连
在点 处的导数 ,是曲线 在点 处的切线的斜
在开区间( 在开区间(
事实上,若函数 在点 处可导,则有 此时,







(Ⅱ)若函数

反例: 在点 处连续,但在点
在点 处连续,但 在点

,则有 即


在点 处连续。
处不一定可导(连续不一定可导)。
处无导数。
事实上, 在点 处的增量
.
当 时, , ;
当 时, ,
由此可知,

不存在,故 在点 处不可导。
2、求导公式与求导运算法则
(1)基本函数的导数(求导公式)
公式1 常数的导数:

公式2 幂函数的导数:

公式3 正弦函数的导数:

公式4 余弦函数的导数:

公式5 对数函数的导数:



(c为常数),即常数的导数等于0。
(Ⅰ)


(Ⅱ)


公式6 指数函数的导数:
(Ⅰ)

(Ⅱ)

(2)可导函数四则运算的求导法则
设 为可导函数,则有



法则1
.

法则2


法则3

3、复合函数的导数
(1)复合函数的求导法则
设 ,

复合成以x为自变量的函数
,等于已知函数对中间变量 的导数
,则复合函数
,乘以中间变量u对自

对自变量x的导数
变量x的导数


引申:设


(2)认知


, 复合成函数 , 则有
(Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即 从外向内分析:首先由最外层
的主体函数结构设出
第二层中间变量
,由第一层中间变量
的函数结构设出
的函数结构设出 ,由
,由此一层一层分析,一直到最里层的
为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系中间变量 为自变量x的简单函数
的简单函数的链条:



(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间 变量,将所给函数“分解”为相互联系的
若干简单函数;

②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;

③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。

.
二、导数的应用
1、函数的单调性
(1)导数的符号与函数的单调性:
一般地,设函数 在某个区间内可导,则若 为增函数;若
,则在这一区间上为常函数。 为减函数;若在某个区间内恒有

(2)利用导数求函数单调性的步骤
(Ⅰ)确定函数

(Ⅱ)求导数

(Ⅲ)令

函数。

(3)强调与认知
时,
,解出相应的x的范围
在相应区间上为增函数;当

的定义域;
时 在相应区间上为减
(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中
始终立足于定 义域D。若由不等式
的取值范围为B,则应用

(Ⅱ)在某一区间内 (或 )是函数 在这一区间上为增(或减)
确定的x的取值集合为A,由

确定的x
函数的充分(不必要)条件。因此方程
函数划分单调区间时,除去确定
的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对
的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导
点,它们也可能是增、减区间的分界点。

举例:
(1)

(2)
+∞)内递增。

.
是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是当x=0时, 。
在点x=0处连续,点x=0处不可导,但 在(-∞,0)内递减,在(0,
2、函数的极值
(1)函数的极值的定义
设函数
是函数

如果对
记作

极大值与极小值统称极值
认知:由函数的极值定义可知:
(Ⅰ)函数的极值点
取得;

( Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在
某一点的极小值 有可能大于另一点处的极大值;

(Ⅲ)当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函数 在 内的
是区间 内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处
附近的所有点,都有

,则说 是函数 的一个极小值,
在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都有

,则说
的一个极大值,记作
极大值点,极小值点交替出现。

(2)函数的极值的判定
设函数 可导,且在点 处连续,判定
,右侧
是极大(小)值的方法是
,则 为极大值; (Ⅰ)如果在点

(Ⅱ)如果在点

附近的左侧
附近的左侧 ,右侧 ,则 为极小值;
注意:导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数

(3)探求函数极值的步骤:
(Ⅰ)求导数

(Ⅱ)求方程

.
的导数研究中悟出这一点。

的实根及 不存在的点;
考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则
在这一点取得极小值。

在这一点取得极大值,若左负右正,则

3、函数的最大值与最小值
(1)定理
若函数
内连续的函数

认知:
在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最小值;在开区间
不一定有最大值与最小值。
(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间
上所有函数值 中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

(Ⅱ)函数的极 大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能
在区间内点取得;函数的最大 值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),
最大(小)值可能是某个极大(小) 值,也可能是区间端点处的函数值。

(Ⅲ)若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值
即为最大(小)值。

(2)探求步骤:
设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值
与最小值的步骤如下:
( I )求

( II )求

( III )将
所求最小值。

引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。
的各极值与 , 比较,其中最大者为所求最大值,最小者为
在定义区间端点处的函数值 , ;
在 内的极值;
对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:
( I )求出

.
的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);
( II )计算并比较
最大值与最小值。

(3)最值理论的应用
在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求
解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:
( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的
函数关系;

( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;

( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如
果所得 函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,
而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。

四、经典例题
例1、设函数 在点 处可导,且 ,试求
(1)


(2)


(3)


(4)

( 为常数)。
解:注意到
当 )
(1)
.


(2)


=A+A=2A

(3)令 ,则当 时 ,









(4)









点评:注意
的增量 的形式是多种多样的,但是,不论
的本质,在这一定义中,自变量x在
选择哪一种形式,相应的

也必须选择相
应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。
若自变量x在 处的增量为 ,则相应的 ,
.
于是有 ;
若令

例2、
,则又有
(1)已知

,求 ;
(2)已知

解:
(1)令 ,则
,求
,且当 时, 。
注意到这里




(2)∵





注意到 ,
.
∴由已知得 ②
∴由①、②得

例3、求下列函数的导数
(1)

; (2)


(3)

; (4) ;
(5)

解:
(1)



(2)


; (6)





(3) ,



(4) ,
.



(5) ,



(6)
∴当
∴当
时,
时,








点评:为避免直接运用求导法则带来 的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为
零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可 以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的
形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。

例4、在曲线C:
C关于该点对称。

解:
(1)
∴当
又当
时,
时,
取得最小值-13


上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线
∴斜率最小的切线对应的切点为A(2,-12);

(2)证明:设 为曲线C上任意一点,则点P关于点A的对称点Q的坐标为
.

且有
∴将




∴点


注意到P,Q的任意性,由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线
求证:两曲线在公共点处相切。

证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,
设上述两曲线的公共点为


∴ ,

,则有


,其中 ,且均为可导函数,


坐标为方程 的解


代入


的解析式得
∴ ,

于是,对于
对于

,有

; ①

.
∴由①得
由②得







,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,
∴两曲线在公共点处的切线重合
∴两曲线在公共点处相切。

例6、
(1)是否存在这样的k值,使函数
递减,在(2,+∞)上递增,若存在,求出这样的k值;

(2)若
间。

解:
(1)
由题意,当
∴由函数

整理得

的连续性可知



,当x∈(2,+∞) 时


在区间(1,2)上
恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这三个单调区
解得
验证:

(Ⅰ)当
∴若

.
时,
,则 ;若 , 则

, 符合题意;
(Ⅱ)当 时,

显然不合题意。

于是综上可知,存在

(2)


,则
,则

使 在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增。
,此时
,此时
只有一个增区间 ,与题设矛盾;
,与题设矛盾; 只有一个增区间
若 ,则
并且当 时, ;

∴综合可知,当
时,
时,

恰有三个单调区间:
减区间

点评:对于(1),由已知条件得
;增区间
,并由此获 得k的可能取值,进而再利用已知
条件对所得k值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本 策略。

例7、已知函数
并且极大值比极小值大4.
(1)求常数

(2)求 的极值。
的值;
,当且仅当 时, 取得极值,
.

解:
(1)





得方程
处取得极值
为上述方程的根,


故有




又∵
∴方程
∴方程

仅当

,即




时取得极值,
的根只有 或 ,
无实根,

而当

时,
的正负情况只取决于

恒成立,
的取值情况
当x变化时, 的变化情况如下表:



+

0



1
0
极小值
(1,+∞)
+

极大值


.

∴ 在 处取得极大值



,在 处取得极小值 。
由题意得
整理得
于是将①,②联立,解得

(2)由(1)知,




点评:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与 的关系,立足研究 的根
的情况,乃是解决此类含参问 题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,
突出了“导数

例8、
(1)已知
值;

的最大值为3,最小值为-29,求 的
”与“ 在 处取得极值”的必要关系。
(2)设 ,函数 的最大值为1,最小值为
,求常数

解:
(1)这里


(Ⅰ)若

的值。
,不然 与题设矛盾

,解得
,则当
时,
或x=4(舍去)
时,
, 在

内递减
在 内递增;
.
又 连续,故当 时,

取得最大值
∴由已知得

∴此时
∴由
(Ⅱ)若
的最小值为




时 有最小值,故有 ,则运用类似的方法可得 当


∴当 时, 有最大值,



∴由已知得
于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求

(2)
令 得


解得
当 在 上变化时,

与 的变化情况如下表:


-1 (-1,0)
+
0
0



0
极小值
+

1



极大值




.

∴当 时, 取得极大值 ;当
的单调性知
与 之中,
时, 取得极小值 。
由上述表格中展示的
∴ 最大值在 的最小值在 和 之中,
考察差式


由此得

的最大值为



考察差式



的最小值为
,即 ,
由此得 ,解得
于是综合以上所述得到所求

五、高考真题
(一)选择题
1、设

A、

分析:由题意得

.


( )。
B、
, ,…, , ,
C、 D、








2、函数
A、

分析:
∴当

因此

3、设 ,



具有周期性,且周期为4,
,应选C。
有极值的充要条件为( )
B、 C、 D、

时,
时,令



有解,
才有极值,故应选C。
分别是定义在R上的奇导数和偶导数,当
,且 ,则不等式
时,
的解集是( )
A、(-3,0)∪(3,+∞) B、(-3,0)∪(0,3)
C、(-∞,-3)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(0,3)

分析:为便于描述,设

的解集为(-∞,-3)∪(0,3),应选D。
,则 为奇导数,当 时, ,
∴根据奇函数图象的对称性知,

二、填空题
1 过原点作曲线

的切线,则切点坐标为 ,切线的斜率为 。
.
分析:设切点为M
∴由曲线过原点得
∴切点为
,则以M为切点的切线方程为
,∴ ,

,切线斜率为 。
点评:设出目标(之一)迂回作战,则从切线过原点切入,解题思路反而简明得多。

2 曲线 在点 处的切线与x轴,直线 所围成的三角形面积为
,则 = 。

分析:

∴曲线


在点

处的切线方程为
切线与x轴交点
又直线

, 与切线交点纵坐标为
∴上述三角形面积
由此解得



3 曲线

与 在交点处的切线夹角是 (以弧度数作答)
分析:设两切线的夹角为 ,将两曲线方程联立,解得交点坐标为

即两曲线在点

处的切线斜率分别为-2,3
.
∴ ,


,应填 。
(三)解答题
1 已知

解析:先将


时,
时,
求导, 即
有两极值点。
没极值点。

,讨论导数 的极值点的个数。
有两根,于是
, 为增函数,
本题考查导数的应用以及二次方程根、“
解答:


1、当

不防设
于是
或 时,方程

,得

”等知识。



有两个不同的实根 、 ,
,从而有下表:




即此时

+


0
为极大值



0
为极小值
+


有两个极值点;
.
2、当

于是


3、当


∴当

2 已知函数
即 时,方程 有两个相同的实根
,故当 时, ;当 时, ,因
无极值;
即 时,


为增函数。此时
时,
无极值;
有两个极值点;当 时, 无极值点。
的图象在点
的解析式;
处的切线方程为 。
(Ⅰ)求函数

(Ⅱ)求函数

解析:
(1)由
的单调区间。
在切线上,求得 ,再由 在函数图象上和
得两个关于

(2)令
的方程。
,求出极值点, 求增区间, 求减区间。
此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。

解答
(Ⅰ)由函数

的图象在点
,即 ,
处的切线方程为 知:
.



解得


所以所求函数解析式


(Ⅱ)




解得


时,
时,

所以
内是增函数。

3 已知
(Ⅰ)求

(Ⅱ)求

(Ⅲ)当
取值范围。

在 内是减函数,在
是函数
与 的关系表达式;
的一个极值点,其中
的单调区间;
时,函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求 的
解析:(1)本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以
.
及函数与方程的思想,第2小题要根据 的符号,分类讨论 的单调区间;第3小题
是二次三项 式在一个区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个
区间上的符号,体现 出将一般性问题特殊化的数学思想。

解答:
(Ⅰ)



(Ⅱ)


, 是函数 的一个极值点


,得


的变化如下表:






0

+

1
0
极大值


单调递减 极小值 单调递增 单调递减
因此, 的单调递减区间是 和 ; 的单调递增区间是


(Ⅲ)由(Ⅱ)







.

即m的取值范围是

4

已知函数
(Ⅰ)求

(Ⅱ)设


,函数

的单调区间和值域;
,若对于任意
成立,求 的取值范围。
,总存
,使得
解析:本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问题能力,考查思维及推理能< br>力以及运算能力,本题入手点容易,
(Ⅰ)中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为工具,

(Ⅱ)是三次函数问题,因而导数法也是首选,若
满足

解:
关系,从而达到求解目的。
成立,则二次函数值域必
(Ⅰ)由 得 或 。

则 ,


(舍去)
变化情况表为:



0



0 +


1



.

因而当


(Ⅱ)
因此
因此当

任给

,当

时,
为减函数;当
的值域为 ;
时 为增函数;


为减函数,从而当
,即当
, ,存在


时有
时有
使得




由(1)得

或 ,由(2)得
故 的取值范围为

5 已知 ,函数


取得最小值?证明你的结论; (1)当 为何值时,

(2)设

在 上是单调函数,求 的取值范围。
解析:本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 ,本题
(Ⅰ)常规题型,方法求
(Ⅱ)由(Ⅰ) 在
,解
上单调,而
的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对
,因此只要
.
即满足题设条件,从中解出 的范围。

解答:(Ⅰ)


从而

当 变化时, ,


,其中
的变化情况如下表










而当
∴当
(Ⅱ)当



+


0
极大值




0
极小值

+


处取得极大值,

处取得极小值

,当 时
为减函数,在

为增函数 ,且

时 在
取最小值;
上为单调函数的充要条件是
,解得
综上, 在 上为单调函数的充要条件为 ,
即 的取值范围为)

6.已知 ,函数


.
(Ⅰ)当

(Ⅱ)求函数

答案:
时,求使 成立的 成立的 的集合;
在区间 上的最小值。
(Ⅰ){0,1,


(Ⅱ)

解答:
(Ⅰ)由题意,




,
,解得
,解得





综上,所求解集为{0,1,1+

(Ⅱ)设此最小值为m
① 当 时,在区间[1,2]上, ,
因为



③ 当
是区间[1,2]上的增函数,所以
时,在区间[1,2],
知 ;
),


时,在区间[1,2]上,

.

如果
从而
在区间(1,2)内,
; 在区间[1,2]上为增函数,由此得
如果 则 。
当 时, ,从而 为区间[1, ]上的增函数;

因此,当
时,
时,
,从而

为区间[ ,2]上的减函数

当 时, 故
当 时 .
综上所述,所求函数的最小值


7、
(Ⅰ)设函数

(Ⅱ)设正数

求 的最小值;
满足

,证明

解析:本题考查数学归纳法及导数应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的 能力。(Ⅰ)
已知函数为超越函数,若求其最小值,则采用导数法,求出 ,解

.
,再判断 与 时 的符号,确定 为极小值点,也
是函数的最小值,对(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明,但由

解答:
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,1)

到 过渡是难点。


当 时,
f′
(x)<0, ∴
f(x)
在区间 是减函数;
当 时,
f′
(x)>0, ∴
f(x)
在区间 是增函数。
∴f(x)在

时取得最小值且最小值为
(Ⅱ)用数学归纳法证明
(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立;

(ii)假定当n=k时命题成立,即若正数
满足
当n=k+1时,若正数
,则
满足




由归纳假定知

,
为正数,且




同理,由 ,可得
.

综合①、②两式

≥(1-x)(-k)+(1-x)log
2
(1-x). ②

≥[x+(1-x)](-k)+xlog
2
x+(1-x)log
2
(1-x)
≥-(k+1).
即当n=k+1时命题也成立。
根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立。

8 函数


(Ⅰ)用

(Ⅱ)证明:当

时,
、 、 表示m;
在区间
是曲线
内可导,导函数
在点
是减函数,且 ,设
处的切线方程,并设函数
(Ⅲ)若关于x的不等式
求b的取值范围及a与b所满足的关系。

解答:
( I )

因而

(Ⅱ)证明:令
因为

所以
因此

递减,所以
,则
递增,因此,当

在点
在 上恒成立,其中a、b为实数,
处的切线方程为



时, ;当 时,
唯一的极值点,且是极小值点,可知
0即 ;
的最小值为0
.

(Ⅲ)
解法一:
,即
是不等式成立的必要条件,以下设此条件成立。
对任意 成立的充要条件是

另一方面,由于 满足前述题设中关于 的条件,
利用(Ⅱ)的结果可知,
直线的斜率不大于 ,
该切线的方程为:
的充要条件是:过点 与曲线 相切的

于是 的充要条件是
综上,不等式 对任意 成立的充要条件是

显然,存在

使①式成立的充要条件是:不等式 ②
有解,解不等式②得 ③
因此,③式即为 的取值范围,①式即为实数 与 所满足的关系。

(Ⅲ)
解法二:
,即
是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立。
对任意 成立的充要条件是



.
,于是 对任意 成立的充要条件是

当 时,

;当 时, ,所以,当 时,
取最小值。因此 成立的充要条件是 ,即
综上,不等式 对任意 成立的充要条件是

显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式




有解,解不等式②得
因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数a与b所满足的关系。

点评:本题考查导 数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想
判断函数之间的关系,考查考生 的学习能力,抽象思维能力,以及综合运用数学基本关系解决问
题的能力。对(Ⅰ),曲线
为< br> 即




由 递减 ∴


所以
是 的极值点,且为极小值点,
极小值为 ,即
,则


时 ,当 时,


,因而
时恒成立,构造函数
;对(Ⅱ)即证明

在点 处切线斜率为 ,切线方程
递增,则当
.
恒成立,
因而

9.设点 和抛物线 其中
;对(Ⅲ)有两种思考方法,是该题难点,其求解过程比较详细。
由以下方法得到:
上,点
在抛物线
到 上点的最短距离。
及 的方程;
到 的距离是
,点

上,点
在抛物线
上点的最短距离,…,点
到 的距离是
(Ⅰ)求

(Ⅱ)证明

解答:
是等差数列。
(Ⅰ)由题意得
设点



由题意得:


解得


方程为:
在 上,∴




是 上任一点





.
(Ⅱ)设点




由题意得

又∵点



是 上任意一点。






在 上



下面用数学归纳法证明:
①当n=1时, ,等式成立。
②假设n=k时,等号成立,即
则当n=k+1时,由(*)知:




即当n=k+1时,等式成立
由①②知,等式


点评:
(Ⅰ)设
.

成立
是等差数列
为 上任一点





,换句话说:在点


此为关键
处 取得最小值。
(Ⅱ)方法同(Ⅰ)推导出:

10. 已知函数
(Ⅰ)求函数

(Ⅱ)假设对任意
不等式

解答:
(Ⅰ)解:由
所以
,得


的反函数


然后用数学归纳法证明。
的导数 ;
成立,求实数m的取值范围。



(Ⅱ)
解法1 由

,得



即对于 恒有
设 ,于是不等式①化为
.


当 , 、

时,


所以 都是增函数。

因此当 时, 的最大值为 的最小值为
而不等式②成立当且仅当 ,即 ,
于是得

解法2:由


于是原不等式对于


,得


恒成立等价于

注意到
从而可知 与 均在

,故有 ,
上单调递增,


因此不等式③成立当且仅当 ,即

.

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