高考辅导资料-英语作文
高中数学导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点
1、导数定义的认知与应用;
2、求导公式与运算法则的运用;
3、导数的几何意义;
4、导数在研究函数单调性上的应用;
5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;
6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点
(一)导数
1、导数的概念
(1)导数的定义
.
(Ⅰ)设函数 在点 及其附近有定义,当自变量x在 处有增量△x(△x可
正可负),则函数y相应地有增量 ,这两个增量的比
,叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果
时, 有极限,则说函数 在点 处可导,并把这个极限叫做 在点
处的导数(或变化率),记作 ,即
。
(Ⅱ)如果函数 在开区间( )内每一点都可导,则说 在开区间( )
,
)
内可导,此时,对于开区间(
这样在开区间(
)内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数
在开区间( )内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做
或 , 即内的导函数(简称导数),记作
。
认知:
(Ⅰ)函数 的导数
在点
是以x为自变量的函数,而函数
处的导数 是 的导函数
在点 处的导数
时 是一个数值;
的函数值。
(Ⅱ)求函数
①求函数的增量
当
在点 处的导数的三部曲:
;
②求平均变化率
.
;
③求极限
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
(2)导数的几何意义:
函数
率。
(3)函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别:
(Ⅰ)若函数
若函数
续)。
在点 处可导,则
)内可导,则
在点 处连续;
)内连续(可导一定连
在点 处的导数 ,是曲线 在点 处的切线的斜
在开区间( 在开区间(
事实上,若函数 在点 处可导,则有 此时,
记
(Ⅱ)若函数
反例: 在点 处连续,但在点
在点 处连续,但 在点
,则有 即
在点 处连续。
处不一定可导(连续不一定可导)。
处无导数。
事实上, 在点 处的增量
.
当 时, , ;
当 时, ,
由此可知,
不存在,故 在点 处不可导。
2、求导公式与求导运算法则
(1)基本函数的导数(求导公式)
公式1 常数的导数:
公式2 幂函数的导数:
公式3 正弦函数的导数:
公式4 余弦函数的导数:
公式5 对数函数的导数:
。
。
(c为常数),即常数的导数等于0。
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
公式6 指数函数的导数:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(2)可导函数四则运算的求导法则
设 为可导函数,则有
;
。
;
法则1
.
法则2
;
法则3
3、复合函数的导数
(1)复合函数的求导法则
设 ,
。
复合成以x为自变量的函数
,等于已知函数对中间变量 的导数
,则复合函数
,乘以中间变量u对自
对自变量x的导数
变量x的导数
即
引申:设
(2)认知
,
。
, 复合成函数 , 则有
(Ⅰ)认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即 从外向内分析:首先由最外层
的主体函数结构设出
第二层中间变量
,由第一层中间变量
的函数结构设出
的函数结构设出 ,由
,由此一层一层分析,一直到最里层的
为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系中间变量 为自变量x的简单函数
的简单函数的链条:
;
(Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间 变量,将所给函数“分解”为相互联系的
若干简单函数;
②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;
③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。
.
二、导数的应用
1、函数的单调性
(1)导数的符号与函数的单调性:
一般地,设函数 在某个区间内可导,则若 为增函数;若
,则在这一区间上为常函数。 为减函数;若在某个区间内恒有
(2)利用导数求函数单调性的步骤
(Ⅰ)确定函数
(Ⅱ)求导数
(Ⅲ)令
当
函数。
(3)强调与认知
时,
,解出相应的x的范围
在相应区间上为增函数;当
;
的定义域;
时 在相应区间上为减
(Ⅰ)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中
始终立足于定 义域D。若由不等式
的取值范围为B,则应用
(Ⅱ)在某一区间内 (或 )是函数 在这一区间上为增(或减)
确定的x的取值集合为A,由
;
确定的x
函数的充分(不必要)条件。因此方程
函数划分单调区间时,除去确定
的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对
的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导
点,它们也可能是增、减区间的分界点。
举例:
(1)
(2)
+∞)内递增。
.
是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是当x=0时, 。
在点x=0处连续,点x=0处不可导,但 在(-∞,0)内递减,在(0,
2、函数的极值
(1)函数的极值的定义
设函数
是函数
如果对
记作
极大值与极小值统称极值
认知:由函数的极值定义可知:
(Ⅰ)函数的极值点
取得;
( Ⅱ)极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在
某一点的极小值 有可能大于另一点处的极大值;
(Ⅲ)当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函数 在 内的
是区间 内部的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处
附近的所有点,都有
。
,则说 是函数 的一个极小值,
在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都有
;
,则说
的一个极大值,记作
极大值点,极小值点交替出现。
(2)函数的极值的判定
设函数 可导,且在点 处连续,判定
,右侧
是极大(小)值的方法是
,则 为极大值; (Ⅰ)如果在点
(Ⅱ)如果在点
附近的左侧
附近的左侧 ,右侧 ,则 为极小值;
注意:导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数
(3)探求函数极值的步骤:
(Ⅰ)求导数
(Ⅱ)求方程
.
的导数研究中悟出这一点。
;
的实根及 不存在的点;
考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则
在这一点取得极小值。
在这一点取得极大值,若左负右正,则
3、函数的最大值与最小值
(1)定理
若函数
内连续的函数
认知:
在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最小值;在开区间
不一定有最大值与最小值。
(Ⅰ)函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间
上所有函数值 中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。
(Ⅱ)函数的极 大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能
在区间内点取得;函数的最大 值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),
最大(小)值可能是某个极大(小) 值,也可能是区间端点处的函数值。
(Ⅲ)若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值
即为最大(小)值。
(2)探求步骤:
设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值
与最小值的步骤如下:
( I )求
( II )求
( III )将
所求最小值。
引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。
的各极值与 , 比较,其中最大者为所求最大值,最小者为
在定义区间端点处的函数值 , ;
在 内的极值;
对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:
( I )求出
.
的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);
( II )计算并比较
最大值与最小值。
(3)最值理论的应用
在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求
解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:
( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的
函数关系;
( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;
( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如
果所得 函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,
而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。
四、经典例题
例1、设函数 在点 处可导,且 ,试求
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
( 为常数)。
解:注意到
当 )
(1)
.
;
(2)
=A+A=2A
(3)令 ,则当 时 ,
∴
(4)
点评:注意
的增量 的形式是多种多样的,但是,不论
的本质,在这一定义中,自变量x在
选择哪一种形式,相应的
处
也必须选择相
应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。
若自变量x在 处的增量为 ,则相应的 ,
.
于是有 ;
若令
例2、
,则又有
(1)已知
,求 ;
(2)已知
解:
(1)令 ,则
,求
,且当 时, 。
注意到这里
∴
(2)∵
∴
①
注意到 ,
.
∴由已知得 ②
∴由①、②得
例3、求下列函数的导数
(1)
; (2)
;
(3)
; (4) ;
(5)
解:
(1)
(2)
∴
; (6)
,
(3) ,
∴
(4) ,
.
∴
(5) ,
∴
(6)
∴当
∴当
时,
时,
;
∴
即
。
点评:为避免直接运用求导法则带来 的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为
零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可 以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的
形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。
例4、在曲线C:
C关于该点对称。
解:
(1)
∴当
又当
时,
时,
取得最小值-13
上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线
∴斜率最小的切线对应的切点为A(2,-12);
(2)证明:设 为曲线C上任意一点,则点P关于点A的对称点Q的坐标为
.
且有
∴将
∴点
∴
注意到P,Q的任意性,由此断定曲线C关于点A成中心对称。
例5、已知曲线
求证:两曲线在公共点处相切。
证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,
设上述两曲线的公共点为
∴
∴ ,
,
,则有
,
,
,其中 ,且均为可导函数,
,
坐标为方程 的解
代入
①
的解析式得
∴ ,
∴
于是,对于
对于
有
,有
; ①
②
.
∴由①得
由②得
,
∴
,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,
∴两曲线在公共点处的切线重合
∴两曲线在公共点处相切。
例6、
(1)是否存在这样的k值,使函数
递减,在(2,+∞)上递增,若存在,求出这样的k值;
(2)若
间。
解:
(1)
由题意,当
∴由函数
即
整理得
时
的连续性可知
,当x∈(2,+∞) 时
,
,
在区间(1,2)上
恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这三个单调区
解得
验证:
或
(Ⅰ)当
∴若
.
时,
,则 ;若 , 则
, 符合题意;
(Ⅱ)当 时,
显然不合题意。
,
于是综上可知,存在
(2)
若
若
,则
,则
使 在(1,2)上递减,在(2,+∞)上递增。
,此时
,此时
只有一个增区间 ,与题设矛盾;
,与题设矛盾; 只有一个增区间
若 ,则
并且当 时, ;
当
∴综合可知,当
时,
时,
恰有三个单调区间:
减区间
点评:对于(1),由已知条件得
;增区间
,并由此获 得k的可能取值,进而再利用已知
条件对所得k值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本 策略。
例7、已知函数
并且极大值比极小值大4.
(1)求常数
(2)求 的极值。
的值;
,当且仅当 时, 取得极值,
.
解:
(1)
令
∵
∴
在
或
得方程
处取得极值
为上述方程的根,
,
故有
∴
∴
又∵
∴方程
∴方程
∴
仅当
,即
①
时取得极值,
的根只有 或 ,
无实根,
即
而当
∴
时,
的正负情况只取决于
与
恒成立,
的取值情况
当x变化时, 的变化情况如下表:
+
0
—
1
0
极小值
(1,+∞)
+
极大值
.
∴ 在 处取得极大值
②
,在 处取得极小值 。
由题意得
整理得
于是将①,②联立,解得
(2)由(1)知,
点评:循着求函数极值的步骤,利用题设条件与 的关系,立足研究 的根
的情况,乃是解决此类含参问 题的一般方法,这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法,
突出了“导数
例8、
(1)已知
值;
的最大值为3,最小值为-29,求 的
”与“ 在 处取得极值”的必要关系。
(2)设 ,函数 的最大值为1,最小值为
,求常数
解:
(1)这里
令
(Ⅰ)若
当
的值。
,不然 与题设矛盾
,解得
,则当
时,
或x=4(舍去)
时,
, 在
,
内递减
在 内递增;
.
又 连续,故当 时,
取得最大值
∴由已知得
而
∴此时
∴由
(Ⅱ)若
的最小值为
得
时 有最小值,故有 ,则运用类似的方法可得 当
;
又
∴当 时, 有最大值,
或
∴由已知得
于是综合(Ⅰ)(Ⅱ)得所求
(2)
令 得
,
解得
当 在 上变化时,
与 的变化情况如下表:
-1 (-1,0)
+
0
0
—
0
极小值
+
1
极大值
.
∴当 时, 取得极大值 ;当
的单调性知
与 之中,
时, 取得极小值 。
由上述表格中展示的
∴ 最大值在 的最小值在 和 之中,
考察差式
即
故
由此得
,
的最大值为
,
考察差式
∴
的最小值为
,即 ,
由此得 ,解得
于是综合以上所述得到所求
五、高考真题
(一)选择题
1、设
则
A、
分析:由题意得
.
。
,
( )。
B、
, ,…, , ,
C、 D、
,
,
∴
∴
2、函数
A、
分析:
∴当
当
因此
3、设 ,
,
,
具有周期性,且周期为4,
,应选C。
有极值的充要条件为( )
B、 C、 D、
时,
时,令
且
得
;
有解,
才有极值,故应选C。
分别是定义在R上的奇导数和偶导数,当
,且 ,则不等式
时,
的解集是( )
A、(-3,0)∪(3,+∞) B、(-3,0)∪(0,3)
C、(-∞,-3)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(0,3)
分析:为便于描述,设
且
的解集为(-∞,-3)∪(0,3),应选D。
,则 为奇导数,当 时, ,
∴根据奇函数图象的对称性知,
二、填空题
1 过原点作曲线
的切线,则切点坐标为 ,切线的斜率为 。
.
分析:设切点为M
∴由曲线过原点得
∴切点为
,则以M为切点的切线方程为
,∴ ,
,切线斜率为 。
点评:设出目标(之一)迂回作战,则从切线过原点切入,解题思路反而简明得多。
2 曲线 在点 处的切线与x轴,直线 所围成的三角形面积为
,则 = 。
分析:
∴曲线
即
在点
处的切线方程为
切线与x轴交点
又直线
,
, 与切线交点纵坐标为
∴上述三角形面积
由此解得
即
,
3 曲线
与 在交点处的切线夹角是 (以弧度数作答)
分析:设两切线的夹角为 ,将两曲线方程联立,解得交点坐标为
又
即两曲线在点
,
处的切线斜率分别为-2,3
.
∴ ,
∴
,应填 。
(三)解答题
1 已知
解析:先将
当
当
时,
时,
求导, 即
有两极值点。
没极值点。
。
,讨论导数 的极值点的个数。
有两根,于是
, 为增函数,
本题考查导数的应用以及二次方程根、“
解答:
令
1、当
即
不防设
于是
或 时,方程
,
,得
”等知识。
有两个不同的实根 、 ,
,从而有下表:
即此时
+
↗
0
为极大值
—
↘
0
为极小值
+
↗
有两个极值点;
.
2、当
,
于是
此
3、当
而
故
∴当
2 已知函数
即 时,方程 有两个相同的实根
,故当 时, ;当 时, ,因
无极值;
即 时,
,
,
为增函数。此时
时,
无极值;
有两个极值点;当 时, 无极值点。
的图象在点
的解析式;
处的切线方程为 。
(Ⅰ)求函数
(Ⅱ)求函数
解析:
(1)由
的单调区间。
在切线上,求得 ,再由 在函数图象上和
得两个关于
(2)令
的方程。
,求出极值点, 求增区间, 求减区间。
此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。
解答
(Ⅰ)由函数
的图象在点
,即 ,
处的切线方程为 知:
.
∴
即
解得
所以所求函数解析式
(Ⅱ)
令
当
当
或
解得
时,
时,
所以
内是增函数。
3 已知
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求
(Ⅲ)当
取值范围。
在 内是减函数,在
是函数
与 的关系表达式;
的一个极值点,其中
的单调区间;
时,函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求 的
解析:(1)本小题主要考查了导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法以
.
及函数与方程的思想,第2小题要根据 的符号,分类讨论 的单调区间;第3小题
是二次三项 式在一个区间上恒成立的问题,用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个
区间上的符号,体现 出将一般性问题特殊化的数学思想。
解答:
(Ⅰ)
∴
∴
(Ⅱ)
;
, 是函数 的一个极值点
令
,得
与
的变化如下表:
—
0
+
1
0
极大值
—
单调递减 极小值 单调递增 单调递减
因此, 的单调递减区间是 和 ; 的单调递增区间是
;
(Ⅲ)由(Ⅱ)
即
令
且
,
,
.
即m的取值范围是
4
。
已知函数
(Ⅰ)求
(Ⅱ)设
在
,函数
。
的单调区间和值域;
,若对于任意
成立,求 的取值范围。
,总存
,使得
解析:本题考查导数的综合运用,考查综合运用数学知识解决问题能力,考查思维及推理能< br>力以及运算能力,本题入手点容易,
(Ⅰ)中对分式函数定区间内单调性与值域问题,往往以导数为工具,
(Ⅱ)是三次函数问题,因而导数法也是首选,若
满足
解:
关系,从而达到求解目的。
成立,则二次函数值域必
(Ⅰ)由 得 或 。
∵
则 ,
∴
,
(舍去)
变化情况表为:
0
—
↘
0 +
↗
1
.
因而当
当
(Ⅱ)
因此
因此当
又
任给
则
,当
时
时,
为减函数;当
的值域为 ;
时 为增函数;
时
为减函数,从而当
,即当
, ,存在
时有
时有
使得
时
由(1)得
又
或 ,由(2)得
故 的取值范围为
5 已知 ,函数
。
取得最小值?证明你的结论; (1)当 为何值时,
(2)设
在 上是单调函数,求 的取值范围。
解析:本题考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 ,本题
(Ⅰ)常规题型,方法求
(Ⅱ)由(Ⅰ) 在
,解
上单调,而
的根,列表,确定单调性,并判断极值点,对
,因此只要
.
即满足题设条件,从中解出 的范围。
解答:(Ⅰ)
令
从而
当 变化时, ,
则
,其中
的变化情况如下表
∴
当
而当
∴当
(Ⅱ)当
在
时
时
+
↗
0
极大值
—
↘
0
极小值
+
↗
处取得极大值,
,
处取得极小值
在
,当 时
为减函数,在
为增函数 ,且
时
时 在
取最小值;
上为单调函数的充要条件是
,解得
综上, 在 上为单调函数的充要条件为 ,
即 的取值范围为)
6.已知 ,函数
。
.
(Ⅰ)当
(Ⅱ)求函数
答案:
时,求使 成立的 成立的 的集合;
在区间 上的最小值。
(Ⅰ){0,1,
}
(Ⅱ)
解答:
(Ⅰ)由题意,
当
当
时
时
,
,解得
,解得
}
或
,
综上,所求解集为{0,1,1+
(Ⅱ)设此最小值为m
① 当 时,在区间[1,2]上, ,
因为
则
②
由
③ 当
是区间[1,2]上的增函数,所以
时,在区间[1,2],
知 ;
),
时,在区间[1,2]上,
.
如果
从而
在区间(1,2)内,
; 在区间[1,2]上为增函数,由此得
如果 则 。
当 时, ,从而 为区间[1, ]上的增函数;
当
因此,当
时,
时,
,从而
或
为区间[ ,2]上的减函数
。
当 时, 故
当 时 .
综上所述,所求函数的最小值
7、
(Ⅰ)设函数
(Ⅱ)设正数
求 的最小值;
满足
。
,证明
解析:本题考查数学归纳法及导数应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的 能力。(Ⅰ)
已知函数为超越函数,若求其最小值,则采用导数法,求出 ,解
得
.
,再判断 与 时 的符号,确定 为极小值点,也
是函数的最小值,对(Ⅱ)直接利用数学归纳法证明,但由
解答:
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,1)
到 过渡是难点。
令
当 时,
f′
(x)<0, ∴
f(x)
在区间 是减函数;
当 时,
f′
(x)>0, ∴
f(x)
在区间 是增函数。
∴f(x)在
时取得最小值且最小值为
(Ⅱ)用数学归纳法证明
(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立;
(ii)假定当n=k时命题成立,即若正数
满足
当n=k+1时,若正数
,则
满足
令
则
由归纳假定知
,
为正数,且
①
同理,由 ,可得
.
综合①、②两式
≥(1-x)(-k)+(1-x)log
2
(1-x). ②
≥[x+(1-x)](-k)+xlog
2
x+(1-x)log
2
(1-x)
≥-(k+1).
即当n=k+1时命题也成立。
根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立。
8 函数
,
(Ⅰ)用
(Ⅱ)证明:当
时,
、 、 表示m;
在区间
是曲线
内可导,导函数
在点
是减函数,且 ,设
处的切线方程,并设函数
(Ⅲ)若关于x的不等式
求b的取值范围及a与b所满足的关系。
解答:
( I )
即
因而
(Ⅱ)证明:令
因为
,
所以
因此
是
递减,所以
,则
递增,因此,当
;
在点
在 上恒成立,其中a、b为实数,
处的切线方程为
时, ;当 时,
唯一的极值点,且是极小值点,可知
0即 ;
的最小值为0
.
(Ⅲ)
解法一:
,即
是不等式成立的必要条件,以下设此条件成立。
对任意 成立的充要条件是
,
另一方面,由于 满足前述题设中关于 的条件,
利用(Ⅱ)的结果可知,
直线的斜率不大于 ,
该切线的方程为:
的充要条件是:过点 与曲线 相切的
,
于是 的充要条件是
综上,不等式 对任意 成立的充要条件是
显然,存在
①
使①式成立的充要条件是:不等式 ②
有解,解不等式②得 ③
因此,③式即为 的取值范围,①式即为实数 与 所满足的关系。
(Ⅲ)
解法二:
,即
是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立。
对任意 成立的充要条件是
令
。
.
,于是 对任意 成立的充要条件是
由
当 时,
得
;当 时, ,所以,当 时,
取最小值。因此 成立的充要条件是 ,即
综上,不等式 对任意 成立的充要条件是
①
显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式
②
③
有解,解不等式②得
因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数a与b所满足的关系。
点评:本题考查导 数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想
判断函数之间的关系,考查考生 的学习能力,抽象思维能力,以及综合运用数学基本关系解决问
题的能力。对(Ⅰ),曲线
为< br> 即
在
∵
∴
由 递减 ∴
,
则
所以
是 的极值点,且为极小值点,
极小值为 ,即
,则
∴
时 ,当 时,
,
,因而
时恒成立,构造函数
;对(Ⅱ)即证明
则
在点 处切线斜率为 ,切线方程
递增,则当
.
恒成立,
因而
9.设点 和抛物线 其中
;对(Ⅲ)有两种思考方法,是该题难点,其求解过程比较详细。
由以下方法得到:
上,点
在抛物线
到 上点的最短距离。
及 的方程;
到 的距离是
,点
到
上,点
在抛物线
上点的最短距离,…,点
到 的距离是
(Ⅰ)求
(Ⅱ)证明
解答:
是等差数列。
(Ⅰ)由题意得
设点
则
令
则
由题意得:
即
又
解得
故
方程为:
在 上,∴
是 上任一点
.
(Ⅱ)设点
则
令
由题意得
即
又∵点
∴
∴
即
是 上任意一点。
在 上
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时, ,等式成立。
②假设n=k时,等号成立,即
则当n=k+1时,由(*)知:
又
∴
即当n=k+1时,等式成立
由①②知,等式
∴
点评:
(Ⅰ)设
.
成立
是等差数列
为 上任一点
∵
令
∴
,换句话说:在点
此为关键
处 取得最小值。
(Ⅱ)方法同(Ⅰ)推导出:
10. 已知函数
(Ⅰ)求函数
(Ⅱ)假设对任意
不等式
解答:
(Ⅰ)解:由
所以
,得
,
的反函数
及
然后用数学归纳法证明。
的导数 ;
成立,求实数m的取值范围。
,
(Ⅱ)
解法1 由
,得
①
即对于 恒有
设 ,于是不等式①化为
.
②
当 , 、
时,
,
所以 都是增函数。
,
因此当 时, 的最大值为 的最小值为
而不等式②成立当且仅当 ,即 ,
于是得
解法2:由
设
于是原不等式对于
③
,得
,
,
恒成立等价于
由
注意到
从而可知 与 均在
,
,故有 ,
上单调递增,
,
,
因此不等式③成立当且仅当 ,即
.
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