电动机功率计算公式高中数学导数及其应用电子教案

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高中数学导数及其应用
一、知识网络


二、高考考点
1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

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三、知识要点
（一）导数
1、导数的概念
（1）导数的定义
（Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可
正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比
，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果
时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点
处的导数（或变化率），记作 ，即
。

（Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）
，
）
内可导，此时，对于开区间（
这样在开区间（
）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数
在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做
或 ， 即内的导函数（简称导数），记作
。

认知：
（Ⅰ）函数 的导数
在点
是以x为自变量的函数，而函数
处的导数 是 的导函数
在点 处的导数
时 是一个数值；
的函数值。

（Ⅱ）求函数
①求函数的增量

当
在点 处的导数的三部曲：
；
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②求平均变化率

；
③求极限
上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：
函数
率。

（3）函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别：
（Ⅰ）若函数
若函数
续）。

在点 处可导，则
）内可导，则
在点 处连续；
）内连续（可导一定连
在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜
在开区间（ 在开区间（
事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，





记

（Ⅱ）若函数

反例： 在点 处连续，但在点
在点 处连续，但 在点

,则有 即


在点 处连续。
处不一定可导（连续不一定可导）。
处无导数。
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事实上， 在点 处的增量
当 时， ， ；
当 时， ，
由此可知，

不存在，故 在点 处不可导。
2、求导公式与求导运算法则
（1）基本函数的导数（求导公式）
公式1 常数的导数：

公式2 幂函数的导数：

公式3 正弦函数的导数：

公式4 余弦函数的导数：

公式5 对数函数的导数：

。
。
（c为常数），即常数的导数等于0。
（Ⅰ）

；
（Ⅱ）


公式6 指数函数的导数：
（Ⅰ）

（Ⅱ）

（2）可导函数四则运算的求导法则
。
；
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设 为可导函数，则有
； 法则1

法则2

；
法则3

3、复合函数的导数
（1）复合函数的求导法则
设 ，
。
复合成以x为自变量的函数
，等于已知函数对中间变量 的导数
，则复合函数
，乘以中间变量u对自

对自变量x的导数
变量x的导数
即

引申：设


（2）认知
，
。
， 复合成函数 ， 则有
（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出
第二层中间变量
，由第一层中间变量
的函数结构设出
的函数结构设出 ，由
，由此一层一层分析，一直到最里层的
为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系中间变量 为自变量x的简单函数
的简单函数的链条：


；
（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路
①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的
若干简单函数 ；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；
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③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用
1、函数的单调性
（1）导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为增函数；若
，则在这一区间上为常函数。 为减函数；若在某个区间内恒有

（2）利用导数求函数单调性的步骤
（Ⅰ）确定函数

（Ⅱ）求导数

（Ⅲ）令
当
函数。

（3）强调与认知
时，
，解出相应的x的范围
在相应区间上为增函数；当
；
的定义域；
时 在相应区间上为减
（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中
始终立足于定 义域D。若由不等式
的取值范围为B，则应用

（Ⅱ）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为增（或减）
确定的x的取值集合为A，由
；
确定的x
函数的充分（不必要）条件。因此方程
函数划分单调区间时，除去确定
的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对
的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导
点，它们也可能是增、减区间的分界点。

举例：
（1）

是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。
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（2）
+∞）内递增。

在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在（-∞，0）内递减，在（0，
2、函数的极值
（1）函数的极值的定义
设函数
是函数

如果对
记作

极大值与极小值统称极值
认知：由函数的极值定义可知：
（Ⅰ）函数的极值点
取得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义 域内可以有多个极大值和极小值，并且在
某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

（Ⅲ）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的
是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处
附近的所有点，都有
。
，则说 是函数 的一个极小值，
在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有
；
，则说
的一个极大值，记作
极大值点，极小值点交替出现。

（2）函数的极值的判定
设函数 可导，且在点 处连续，判定
，右侧
是极大（小）值的方法是
，则 为极大值； （Ⅰ）如果在点

（Ⅱ）如果在点

附近的左侧
附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；
注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数

（3）探求函数极值的步骤：
（Ⅰ）求导数 ；
的导数研究中悟出这一点。
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（Ⅱ）求方程

考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则
在这一点取得极小值。

的实根及 不存在的点；
在这一点取得极大值，若左负右正，则

3、函数的最大值与最小值
（1）定理
若函数
内连续的函数

认知：
在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间
不一定有最大值与最小值。
（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是 函数在整个定义区间
上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只 能
在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

（Ⅲ）若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值
即为最大（小）值。

（2）探求步骤：
设函数 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值
与最小值的步骤如下：
（ I ）求

（ II ）求

（ III ）将
所求最小值。

引申：若函数 在 上连续，则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。
的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为
在定义区间端点处的函数值 ， ；
在 内的极值；
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对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：
（ I ）求出

（ II ）计算并比较
最大值与最小值。

（3）最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：
（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的
函数关系；

（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如
果所得 函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，
在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求
的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；
而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

四、经典例题
例1、设函数 在点 处可导，且 ，试求
（1）

；
（2）

；
（3）

；
（4）

（ 为常数）。
解：注意到
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当 ）
（1）

（2）
；


=A+A=2A

（3）令 ，则当 时 ，

∴







（4）









点评：注意
的增量 的形式是多种多样的，但是，不论
的本质，在这一定义中，自变量x在
选择哪一种形式，相应的
处
也必须选择相
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应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。
若自变量x在 处的增量为 ，则相应的 ，
于是有 ；
若令

例2、
，则又有
（1）已知

，求 ；
（2）已知

解：
（1）令 ，则
，求
，且当 时， 。
注意到这里
∴



（2）∵


∴

①
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注意到 ，
∴由已知得 ②
∴由①、②得

例3、求下列函数的导数
（1）

； （2）

；
（3）

； （4） ；
（5）

解：
（1）



（2）
∴

； （6）



，

（3） ，
∴


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（4） ，
∴


（5） ，
∴


（6）
∴当
∴当
时，
时，

；

∴
即

。

点评：为避免直接运 用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为
零，而后再实施求导运算，特别是 积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的
形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧 。

例4、在曲线C：
C关于该点对称。

解：
（1）
∴当
又当
时，
时，
取得最小值-13


上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线
∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；

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（2）证明：设

且有
∴将




∴点
∴


，
代入
为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为
①
的解析式得



坐标为方程 的解
注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线
求证：两曲线在公共点处相切。

证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，
设上述两曲线的公共点为

∴
∴ ，
，
，则有
，
，
，其中 ，且均为可导函数，
∴ ，
∴
于是，对于 有

； ①
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对于
∴由①得
由②得
，有
，

②


∴


，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，
∴两曲线在公共点处的切线重合
∴两曲线在公共点处相切。

例6、
（1）是否存在这样的k值，使函数
递减，在（2，+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；

（2）若
间。

解：
（1）
由题意，当
∴由函数
即
整理得
时
的连续性可知



，当x∈(2,+∞) 时
，
，
在区间（1，2）上
恰有三个单调区间，试确定 的取值范围，并求出这三个单调区
解得
验证：
或
（Ⅰ）当 时，
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∴若

，则 ；若 ， 则 ， 符合题意；
（Ⅱ）当 时，

显然不合题意。
，
于是综上可知，存在

（2）
若
若
，则
，则

使 在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。
，此时
，此时
只有一个增区间 ，与题设矛盾；
，与题设矛盾； 只有一个增区间
若 ，则
并且当 时， ；
当
∴综合可知，当
时，
时，

恰有三个单调区间：
减区间

点评：对于（1），由已知条件得
；增区间
，并由此获 得k的可能取值，进而再利用已知
条件对所得k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本 策略。

例7、已知函数
并且极大值比极小值大4.
（1）求常数 的值；
，当且仅当 时， 取得极值，
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（2）求

解：
（1）
令
∵
∴
在
或
得方程
处取得极值
为上述方程的根，
，

的极值。
故有
∴
∴


又∵
∴方程
∴方程
∴
仅当

，即

①


时取得极值，
的根只有 或 ，
无实根，
即
而当
∴
时，
的正负情况只取决于
与
恒成立，
的取值情况
当x变化时， 的变化情况如下表：












1
(1，+∞)
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∴ 在
+ 0
极大值
— 0
极小值
+



处取得极大值

②
，在 处取得极小值 。
由题意得
整理得
于是将①，②联立，解得

（2）由（1）知，





点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系，立足研究 的根
的情况，乃是解决此类含参问 题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，
突出了“导数

例8、
（1）已知
值；

的最大值为3，最小值为-29，求 的
”与“ 在 处取得极值”的必要关系。
（2）设 ，函数 的最大值为1，最小值为
，求常数

解：
（1）这里

令
的值。
，不然 与题设矛盾

，解得 或x=4（舍去）
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（Ⅰ）若
当
又
，则当
时， ，
时，

时，
在
，
内递减

在 内递增；
连续，故当 取得最大值
∴由已知得
而
∴此时
∴由
（Ⅱ）若
的最小值为
得



时 有最小值，故有 ，则运用类似的方法可得 当
；
又
∴当 时， 有最大值，

或

∴由已知得
于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求

（2）
令 得

，
解得
当 在 上变化时，

与 的变化情况如下表：



-1 (-1,0)
+
0
0
极大值

—

0
极小值
+

1






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∴当 时， 取得极大值 ；当
的单调性知
与 之中，
时， 取得极小值 。
由上述表格中展示的
∴ 最大值在 的最小值在 和 之中，
考察差式
即
故
由此得
，
的最大值为


，
考察差式

∴

的最小值为
，即 ，
由此得 ，解得
于是综合以上所述得到所求

五、高考真题
（一）选择题
1、设
则
A、

，
（ ）。
B、
，
。
，…， ， ，
C、 D、
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