恰同学少年风华正茂-北京艺先锋培训学校
八年级数学试卷(勾股定理)
一、选择题(将正确答案代号填入下表中, 每小题
3
分,共
36
分)
1
.以下列数组为边长的三角形,恰好是直角三角形的是( )
A
.
4
,
6
,
8 B
.
4
,
8
,
10 C
.
6
,
8
,
10 D
.
8
,
10
,
12
2
.已知命题:等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是( )
A
.该命题为假命题
B
.该命题为真命题
C
.该命题的逆命题为真命题
D
.该命题没有逆命题
3
.一个圆柱形铁桶的底面半径为
12cm
,高为
32cm
,则桶内所 能容下的木棒最
长为( )
A
.
20cm B
.
50cm C
.
40cm D
.
45cm
4
.等边三角形的边长为
2
,则该三角形的面积为( )
A
.
4 B
.
C
.
2 D
.
3
5
.如图,将三边长分别为
3
,
4
,
5
的△
ABC
沿最长边翻转
180°
成△ABC
1
,则
CC
1
的长等于( )
A
.
B
.
C
.
D
.
6
.如图,正方形网格中的△
ABC
,若小方格边长为
1
,则△
ABC
的形状为( )
A
.直角三角形
B
.锐角三角形
C
.钝角三角形
D
.以上答案都不对
第1页(共23页)
7
.如图,△
ABC
和△
DCE
都是边长为
4
的等边三角形 ,点
B
、
C
、
E
在同一条直
线上,连接
B D
,则
BD
的长为( )
A
.
B
.
C
.
D
.
8
.长方形的一边长 为
4
,对角线与长方形另外一条边相差
2
,则长方形的面积为
( )
A
.
8 B
.
4 C
.
6 D
.
12
9
.在直角三角形中,如果有一个角是
30°< br>,这个直角三角形的三边之比最有可
能的是( )
A
.
3
:
4
:
5 B
.
1
:
1
:
C
.
5
:
12
:
13 D
.
1
::
2
10
.设
a
、< br>b
是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为
6
,斜边长为
2. 5
,
则
ab
的值是( )
A
.
1.5 B
.
2 C
.
2.5 D
.
3
11.如图,已知圆柱底面的周长为
4dm
,圆柱高为
2dm
,在圆柱的侧面 上,过
点
A
和点
C
嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为( )
A
.
4dm B
.
2dm C
.
2dm D
.
4dm
12
.如图,在
6
个边长为
1
的小正方形及其部分对角线构成的图形中,如图从
A
点到
B
点只能沿图中的线段走,那么从
A
点到
B
点 的最短距离的走法共有( )
A
.
1
种
B
.
2
种
C
.
3
种
D
.
4
种
第2页(共23页)
二、填空题(本大题共
4
小题,每小题
3
分, 共
12
分.把答案填在题中横线上)
13
.如果三角形的三边分别为
2
,,,那么这个三角形的最大角的度数为 .
14
.如图,在平面直角坐 标系中,将矩形
AOCD
沿直线
AE
折叠(点
E
在边
DC
上),折叠后端点
D
恰好落在边
OC
上的点
F
处.若点
D
的坐标为(
10
,
8
),则
点
E
的坐标为 .
15
.如图,以
Rt
△< br>ABC
的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形,若斜边
AB=a
,
则 图中阴影部分的面积为 .
16
.如图所示,在△
ABC中,
AB
:
BC
:
CA=3
:
4
:< br>5
,且周长为
36cm
,点
P
从点
A
开始沿
AB
边向
B
点以每秒
1cm
的速度移动;点
Q从点
B
沿
BC
边向点
C
以每
秒
2cm
的速度移动,如果同时出发,则过
3
秒时,△
BPQ
的面积为
cm
2
.
三、解答题(本大题共
8
小题,共
72
分,解答应写出计算过程)
17
.在
Rt
△
ABC
中,∠
C=90°
.
(
1
)已知
c=25
,
b=15
,求
a
;
第3页(共23页)
(
2
)已知
a=
,∠
A=60°
,求
b
、
c
.
18
.如图,已知在△
ABC
中,
CD
⊥
AB
于
D
,
BD=9
,
BC=15
,
AC=20
.
(
1
)求
CD
的长;
(
2
)求
AB
的长;
(
3
)判断△
ABC
的形状.
19< br>.如图,在
Rt
△
ABC
中,
AB=9
,
B C=6
,∠
B=90°
,将△
ABC
折叠,使
A
点 与
BC
的中点
D
重合,折痕为
MN
,求线段
BN< br>的长.
20
.如图,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红 莲,它高出水面
3
尺.突
然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果 知道红莲移动的水
平距离为
6
尺,请问水深多少?
21
.如图,△
ABC
,△
AED
是两个大小一样的三角形,已知∠ADE=90°
,
AE=5
,
AD=4
,连接
EB,求
DE
和
EB
的长.
22
.在 △
ABC
中,
AB=2
,
AC=4
,
BC=2,以
AB
为边向△
ABC
外作△
ABD
,使△
ABD
为等腰直角三角形,求线段
CD
的长.
第4页(共23页)
23
.在△
ABC
中,
a=m
2﹣
n
2
,
b=2mn
,
c=m
2
+< br>n
2
,其中
m
、
n
都是正整数;且
m
>
n
,试判断△
ABC
是否为直角三角形?
24
.长方形
OABC
绕顶点
C
(
0
,
5
) 逆时针方向旋转,当旋转到
CO′A′B′
位置时,
边
O′A′
交边
AB
于
D
,且
A′D=2
,
AD=4
.< br>
(
1
)求
BC
长;
(
2
)求阴影部分的面积.
第5页(共23页)
八年级数学试卷(勾股定理)
参考答案与试题解析
一、选择题(将正确答案代号填入下表中 ,每小题
3
分,共
36
分)
1
.以下列数组为边长的三角形,恰好是直角三角形的是( )
A
.
4
,
6
,
8 B
.
4
,
8
,
10 C
.
6
,
8
,
10 D
.
8
,
10
,
12
【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的 平方和等于第三边的平方,
那么这个是直角三角形判定则可.
【解答】解:
A
、∵
4
2
+
6
2
≠
8
2
,∴该三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直
角三角形,故错误;
B
、∵
4
2
+
8
2
≠
10
2
,∴该 三角形不符合勾股定理的逆定理,故不是直角三角形,故
错误;
C
、∵
6
2
+
8
2
=10
2
,∴该三角形 符合勾股定理的逆定理,故是直角三角形,故正确;
D
、∵
8
2
+< br>10
2
≠
12
2
,∴该三角形不符合勾股定理的逆定理,故不 是直角三角形,
故错误;
故选
C
.
2
.已知命题:等边三角形是等腰三角形.则下列说法正确的是( )
A
.该命题为假命题
B
.该命题为真命题
C
.该命题的逆命题为真命题
【考点】命题与定理.
【分析】首先判断该命题的正误,然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选
项.
【解答】解:等边三角形是等腰三角形,正确,为真命题;
其逆命题为等腰三角形是等边三角形,错误,为假命题,
故选
B
.
第6页(共23页)
D
.该命题没有逆命题
3
.一个圆柱形铁桶的底面半径 为
12cm
,高为
32cm
,则桶内所能容下的木棒最
长为( )
A
.
20cm B
.
50cm C
.
40cm D
.
45cm
【考点】勾股定理的应用.
【分析】根据题意画出示意图,
AC
为 圆桶底面直径,
AC=24cm
,
CB=32cm
,那么
线段
AB
的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度,在直角三角形
ABC
中利用
勾股定理即可求出
AB
,也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度.
【解答】解:如图,
AC
为圆桶底面直径,
∴
AC=2< br>×
12=24cm
,
CB=32cm
,
∴线段
AB
的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度,
∴
AB===40cm
.
故桶内所能容下的最长木棒的长度为
40cm
.
故选
C
.
4
.等边三角形的边长为
2
,则该三角形的面积为( )
A
.
4 B
.
C
.
2 D
.
3
【考点】等边三角形的性质.
【分析】根据等边 三角形三线合一的性质可得
D
为
BC
的中点,即
BD=CD
,在直
角三角形
ABD
中,已知
AB
、
BD
,根据 勾股定理即可求得
AD
的长,即可求三角
形
ABC
的面积,即可解题 .
【解答】解:∵等边三角形高线即中点,
AB=2
,
∴
BD=CD=1
,
在
Rt
△
ABD< br>中,
AB=2
,
BD=1
,
∴
AD=
,
第7页(共23页)
∴
S
△
ABC
=BC?AD=
×
2
×
故选
B
.
=
,
5
. 如图,将三边长分别为
3
,
4
,
5
的△
ABC沿最长边翻转
180°
成△
ABC
1
,则
CC
1
的长等于( )
A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】翻折变换(折叠问题);勾股定理的逆定理.
4
、
5,【分析】首先设
AB
与
CC
1
相较于点
D
, 由△
ABC
的三边分别为
3
、且
3
2
+
4
2
=5
2
,
可得△
ABC
是直角三角形,即可求得
CD
的长,继而求得答案.
【解答】解:设
AB
与
CC
1
相较于点
D
,
∵△
ABC
的三 边分别为
3
、
4
、
5
,且
3
2
+
4
2
=5
2
,
∴△
ABC
是直角三角形,
由折叠的性质可得:
AB⊥
CD
,且
CD=C
1
D
,
∴CD=
∴
CC
1
=2CD=
故选:
D
.
=
,
.
6
.如图,正方形网格中的△
ABC
,若小方格边长为
1
,则△< br>ABC
的形状为( )
第8页(共23页)
A
.直角三角形
B
.锐角三角形
C
.钝角三角形
D
.以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理;勾股定理.
【分析】根据勾股定理求得△
AB C
各边的长,再利用勾股定理的逆定理进行判定,
从而不难得到其形状.
【解答】解:∵正方形小方格边长为
1
,
∴
BC=
AC=
AB=
=
=
=2
,
,
,
在△
ABC
中,
∵
BC
2
+
AC
2
=52
+
13=65
,
AB2
=65
,
∴
BC
2
+
AC
2
=AB
2
,
∴△
ABC
是直角三角形.
故选:
A
.
7
.如图,△
ABC
和△
DCE
都是 边长为
4
的等边三角形,点
B
、
C
、
E
在 同一条直
线上,连接
BD
,则
BD
的长为( )
A
.
B
.
C
.
D
.
【考点】勾股定理;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;等边三 角形的性质.
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以
第 9页(共23页)
发现∠
BDE=90°
,再进一步根据勾股定理进行求解.
【解答 】解:∵△
ABC
和△
DCE
都是边长为
4
的等边三角形,
∴∠
DCE=
∠
CDE=60°
,
BC=CD= 4
.
∴∠
BDC=
∠
CBD=30°
.
∴∠
BDE=90°
.
∴
BD=
故选:
D
.
8< br>.长方形的一边长为
4
,对角线与长方形另外一条边相差
2
,则长方形 的面积为
( )
A
.
8 B
.
4 C
.
6 D
.
12
=4
.
【考点】矩形的性质.
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长,然后根据矩形的面 积公式列式进行计
算即可得解.
【解答】解:∵如图,
AB=4
,
AC=BC
+
2
,
∴根据勾股定理得到:
AB< br>2
+
BC
2
=
(
BC
+
2
)
2
,即
16
+
BC
2
=
(
BC
+
2
)
2
,
∴
BC=3
,
∴它的面积为
4
×
3=12
.
故选:
D
.
9
.在直角 三角形中,如果有一个角是
30°
,这个直角三角形的三边之比最有可
能的是( )
A
.
3
:
4
:
5 B
.
1
:
1
:
C
.
5
:
12
:
13 D
.
1
::
2
【考点】含
30
度角的直角三角形.
【分析】设
30°< br>角所对的直角边为
a
,根据
30°
角所对的直角边等于斜边的一半求< br>出斜边的长度,再利用勾股定理求出另一条边的长度,然后即可求出比值.
第10页(共23页)
【解答】解:如图,设
30°
角所对的直角边
BC=a
,
则
AB=2BC=2a
,
∴
AC=
∴三边之比为
a
:
故选
D
.
=a
,
a
:
2a=1
::
2
.
10
.设
a
、
b
是直角三角形的两条直角边,若 该三角形的周长为
6
,斜边长为
2.5
,
则
ab
的 值是( )
A
.
1.5 B
.
2 C
.
2.5 D
.
3
【考点】勾股定理.
【分析】由该三角形的周长为
6
,斜边长为
2.5
可知
a
+
b
+
2.5=6
,再根据勾股定理
和完全平方公式即可求出ab
的值.
【解答】解:∵三角形的周长为
6
,斜边长为
2.5
,
∴
a
+
b
+
2.5=6
,
∴
a
+
b=3.5
,①
∵
a
、
b
是直角三角形的两条直角边,
∴
a
2
+
b
2
=2.5
2
,②
由②得
a
2
+
b
2
=
(
a
+b
)
2
﹣
2ab=2.5
2
∴
3.5
2
﹣
2ab=2.5
2
ab=3
,
故选
D
.
< br>11
.如图,已知圆柱底面的周长为
4dm
,圆柱高为
2dm
,在圆柱的侧面上,过
点
A
和点
C
嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的 周长最小为( )
第11页(共23页)
A
.
4dm B
.
2dm C
.
2dm D
.
4dm
【考点】平面展开
-
最短路径问题.
【分析】要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据
“
两点之间线段最短
”
得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:如图,把圆柱的 侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为
2AC
的长度.
∵圆柱底面的周长为
4dm
,圆柱高为
2dm
,
∴
AB=2dm
,
BC=BC′=2dm
,
∴< br>AC
2
=2
2
+
2
2
=4
+
4=8
,
∴
AC=2dm
,
dm
.
∴这圈金属丝的周长最小为
2AC=4
故选:
A
.
12
.如图,在
6
个边长为
1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,如图从
A
点到
B
点 只能沿图中的线段走,那么从
A
点到
B
点的最短距离的走法共有( )
A
.
1
种
B
.
2
种
C
.
3
种
D
.
4
种
【考点】勾股定理的应用.
【分析】 如图所示,找出从
A
点到
B
点的最短距离的走法即可.
第12页(共23页)
【解答】解:根据题意得出最短路程如图所示,
最短路程长为+
1=2
+
1
,
则从
A< br>点到
B
点的最短距离的走法共有
3
种,
故选:
C
.
二、填空 题(本大题共
4
小题,每小题
3
分,共
12
分.把答案填在 题中横线上)
13
.如果三角形的三边分别为
90°
.
【考点】勾股定理的逆定理.
,,
2
,那么这个三角形的最大角的度数为
【分析】根据勾股定理的逆定理 :如果三角形的三边长
a
,
b
,
c
满足
a
2
+
b
2
=c
2
,
那么这个三角形就是直角三角形 可得答案.
【解答】解:∵()
2
+
2
2
=()
2
,
∴此三角形是直角三角形,
∴这个三角形的最大角的度数为
90°
,
故答案为:
90°
.
14
.如图, 在平面直角坐标系中,将矩形
AOCD
沿直线
AE
折叠(点
E
在边
DC
上),折叠后端点
D
恰好落在边
OC
上的点F
处.若点
D
的坐标为(
10
,
8
),则点
E
的坐标为 (
10
,
3
) .
【考点】翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.
第13页(共23页)
【分析】根据折叠的性质得到
AF=AD
,所以在直角△
AOF
中,利用勾股定理来求
OF=6
,然后设
EC=x
,则EF=DE=8
﹣
x
,
CF=10
﹣
6=4
, 根据勾股定理列方程求出
EC
可得点
E
的坐标.
【解答】 解:∵四边形
A0CD
为矩形,
D
的坐标为(
10
,
8
),
∴
AD=BC=10
,
DC=AB=8
,
∵矩形 沿
AE
折叠,使
D
落在
BC
上的点
F
处,
∴
AD=AF=10
,
DE=EF
,
在
Rt
△
AOF
中,
OF=
∴
FC=10
﹣
6=4
,
设
EC=x
,则
DE=EF=8
﹣
x
,
在
Rt
△
CEF
中,
EF
2
=EC
2
+
FC
2
,即(
8
﹣
x
)
2
=x
2
+
4
2
,解得
x=3
,
即
EC
的长为
3
.
∴点
E
的坐标为(
10
,
3
),
故答案为:(
10
,
3
).
=6
,
15
.如图,以
Rt
△
ABC
的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形,若斜边
AB=a,
则图中阴影部分的面积为
a
2
.
【考点】勾股定理.
第14页(共23页)
【分析 】根据勾股定理可得
AC
2
+
BC
2
=AB
2,然后判断出阴影部分的面积
=2S
△
ABE
,
再利用等腰直角 三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得解.
【解答】解:∵△
ABC
是直角三角形,
∴
AC
2
+
BC
2
=AB
2
,
∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形,
∴阴影部分的面积
=2S△
ABE
=2
×
?a?
(
a
)
=a< br>2
.
故答案为:
a
2
.
16
.如图所示,在△
ABC
中,
AB
:
BC
:
CA=3
:
4
:
5
,且周长为
3 6cm
,点
P
从点
A
开始沿
AB
边向
B< br>点以每秒
1cm
的速度移动;点
Q
从点
B
沿
BC
边向点
C
以每
秒
2cm
的速度移动,如果同时出发,则 过
3
秒时,△
BPQ
的面积为
18
cm
2
.
【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】首先设
AB
为
3xcm
,
BC
为
4x cm
,
AC
为
5xcm
,利用方程求出三角形的
三边,由勾 股定理的逆定理得出三角形为直角三角形.再求出
3
秒后的,
BP
,
BQ
的长,利用三角形的面积公式计算求解.
【解答】解:设
AB
为
3xcm
,
BC
为
4xcm
,
AC
为< br>5xcm
,
∵周长为
36cm
,
AB
+
BC
+
AC=36cm
,
∴
3x
+
4x
+
5x=36
,
解得
x=3
,
∴
AB=9cm
,
BC= 12cm
,
AC=15cm
,
∵
AB
2
+
BC
2
=AC
2
,
∴△
ABC
是直角三角形,
过
3
秒时,
BP=9
﹣
3
×
1=6
(
cm
),
BQ= 2
×
3=6
(
cm
),
第15页(共23页)
∴
S
△
PBQ
=BP?BQ=
×(< br>9
﹣
3
)×
6=18
(
cm
2
).
故答案为:
18
.
三、解答题( 本大题共
8
小题,共
72
分,解答应写出计算过程)
17
.在
Rt
△
ABC
中,∠
C=90°
.
(
1
)已知
c=25
,
b=15
,求
a< br>;
(
2
)已知
a=
,∠
A=60°
,求
b
、
c
.
【考点】解直角三角形.
【分析】(
1
)根据勾股定理即可直接求出
a
的值;
(
2
)根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出
b
、
c
的值.
【解答】解:(
1
)根据勾股定理可得:
a=
=20
;
(
2
)∵△
A BC
为
Rt
△,∠
A=60°
,
∴∠
B=30°
,
∴
c=2b
,
根据勾股定理可得:
a
2
+
b
2
=c
2
,即
6
+
b
2
=
(
2b
)
2< br>,
解得
b=
18
.如图,已知在△< br>ABC
中,
CD
⊥
AB
于
D
,
BD =9
,
BC=15
,
AC=20
.
(
1
)求
CD
的长;
(
2
)求
AB
的长;
(
3
)判断△
ABC
的形状.
,则
c=2
.
【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理.
【分析】(
1
)在
Rt
△
BCD
中,根据勾股定理求出
CD
的长;
(
2
)在
Rt
△
ACD
中根据勾股定理求出
AD
的长,故可得出
AB
的长;
第16页(共23页)
(
3
)由勾股定理的逆定理即可得出结论.
【解答】(
1
)在△
BCD
中,因为
CD
⊥
AB
,< br>
所以
BD
2
+
CD
2
=BC
2< br>.
所以
CD
2
=BC
2
﹣
BD< br>2
=15
2
﹣
9
2
=144
.
所以
CD=12
.
(
2
)在△
ACD< br>中,因为
CD
⊥
AB
,
所以
CD
2
+
AD
2
=AC
2
.
所以
A D
2
=AC
2
﹣
CD
2
=20
2
﹣
12
2
=256
.
所以
AD=16
.
所以
AB=AD
+
B D=16
+
9=25
.
(
3
)因为
BC
2
+
AC
2
=15
2
+
20
2< br>=625
,
AB
2
=25
2
=625
,
所以
AB
2
=BC
2
+
AC
2.
所以△
ABC
是直角三角形.
19
.如图,在
Rt
△
ABC
中,
AB=9
,
BC=6
,∠
B=90°
,将△
ABC
折叠,使
A
点与
BC
的中点
D
重合,折痕为
MN
,求线段BN
的长.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【 分析】如图,首先求出
BD
的长,根据勾股定理列出关于线段
AN
的方程,问
题即可解决.
【解答】解:如图,
∵点
D
为
BC
的中点,
∴
BD=CD=
;
由题意知:
AN=DN
(设为
x
),
则
BN=9
﹣
x
;
由勾股定理得:
< br>x
2
=
(
9
﹣
x
)
2
+< br>3
2
,
第17页(共23页)
解得:
x=5
,
∴
BN=9
﹣
5=4
,
即
BN
的长为
4
.
20
.如图,在波平如镜的湖面上,有一朵盛开的美丽的红莲,它高出水面
3
尺. 突
然一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面,如果知道红莲移动的水
平距离为6
尺,请问水深多少?
【考点】勾股定理的应用.
【分析】仔细分析该题,可画出草图,关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲
的高度构成一直角三角 形,解此直角三角形即可
【解答】解:红莲被吹至一边,花朵刚好齐及水面即
AC
为红莲的长.
Rt
△
ABC
中,
AB=h
,
AC=h
+3
,
BC=6
,
由勾股定理得:
AC
2=AB
2
+
BC
2
,即(
h
+
3)
2
=h
2
+
6
2
,
∴< br>h
2
+
6h
+
9=h
2
+
36,
6h=27
,
解得:
h=4.5
.
答:水深
4.5
尺.
第18页(共23页)
21
.如图,△
ABC
,△
AED
是两个大小一样的三角形,已知∠
ADE=90°
,
A E=5
,
AD=4
,连接
EB
,求
DE
和
EB
的长.
【考点】勾股定理.
【分析】直接利用勾 股定理得出
DE
的长,再利用全等三角形的性质结合勾股定
理得出
BE
的长.
【解答】解:∵∠
ADE=90°
,
AE=5
,
AD=4
,
∴
DE==3
,
∵△
ABC
,△
AED
是两个大小一样的三角形,
∴
AB=AE=5
,
∴
BD=1
,
∴
BE=
22
.在△
ABC
中,AB=2
,
AC=4
,
BC=2
,以
AB
为边 向△
ABC
外作△
ABD
,使△
==
.
ABD
为等腰直角三角形,求线段
CD
的长.
【考点】勾股定理的逆定理;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据题意中的△< br>ABD
为等腰直角三角形,显然应分为三种情况:∠
ABD=90°
,∠
BAD=90°
,∠
ADB=90°
.然后巧妙构造辅助线,出现全等三角形和直< br>角三角形,利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解.
【解答】解:∵
AC =4
,
BC=2
,
AB=
∴
AC
2
+BC
2
=AB
2
,
∴△
ACB
为直角三角形,∠
ACB=90°
.
分三种情况:
如图(
1
),过点
D
作
D E
⊥
CB
,垂足为点
E
.
∵
DE
⊥
CB
(已知)
第19页(共23页)
,
∴∠
BED=
∠
ACB=90°
(垂直的定义),
∴∠
CAB
+∠
CBA=90°
(直角三角形两锐角互余),
∵△
ABD
为等腰直角三角形(已知),
∴
AB=BD< br>,∠
ABD=90°
(等腰直角三角形的定义),
∴∠
CBA
+∠
DBE=90°
(平角的定义),
∴∠
CAB=
∠
EBD
(同角的余角相等),
在△
ACB
与△
BED
中,
∵∠
ACB =
∠
BED
,∠
CAB=
∠
EBD
,
AB =BD
(已证),
∴△
ACB
≌△
BED
(
AAS
),
< br>∴
BE=AC=4
,
DE=CB=2
(全等三角形对应边相等),
∴
CE=6
(等量代换)
根据勾股定理得:
CD=2
;
如图(
2
),过点
D
作
DE
⊥
CA
,垂足为点
E
.
∵
BC
⊥
CA
(已知)
∴∠
AED=
∠
ACB=90°
(垂直的定义)
∴∠
EAD
+∠
EDA=90°
(直角三角形两锐角互余)
∵△
ABD
为等腰直角三角形(已知)
∴
AB =AD
,∠
BAD=90°
(等腰直角三角形的定义)
∴∠
CAB
+∠
DAE=90°
(平角的定义)
∴∠
BAC=
∠
ADE
(同角的余角相等)
在△
ACB
与△
DEA
中,
∵∠
ACB =
∠
DEA
(已证)∠
CAB=
∠
EDA
(已证)
AB=DA
(已证)
∴△
ACB
≌△
DEA
(
AAS
)
∴
DE=AC=4
,
AE=BC=2
(全等三角形对应边 相等)
∴
CE=6
(等量代换)
根据勾股定理得:
CD=2
;
如图(
3
),过点
D
作
DE
⊥
CB
,垂足为点
E
,过点A
作
AF
⊥
DE
,垂足为点
F
.
∵∠
C=90°
,
∴∠
CAB
+∠
CBA=90°
,
第20页(共23页)
∵∠
DAB
+∠
DBA=90°
,
∴∠
EBD
+∠
DAF=90°
,
∵∠
EBD
+∠
BDE=90°
,∠
DAF
+∠
ADF=90°
,
∴∠
DBE=
∠
ADF
,
∵∠
BED=
∠
AFD=90°
,
DB=AD
,
∴△
AFD
≌△
DEB
,
则
ED=AF
,
由∠
ACB=
∠
CED =
∠
AFE=90°
,
则四边形
CEFA
是矩形,
故
CE=AF
,
EF=AC=4
,
设
DF=x
,则
BE=x
,
故
EC=2
+
x
,
AF=DE=EF
﹣
DF=4
﹣
x
,
则
2
+
x=4
﹣
x
,
解得:
x=1
,
故
EC=DE=3
,
则
CD=3
.
23
.在△
ABC
中,
a=m
2
﹣
n
2
,
b=2mn
,
c=m
2
+
n
2
,其中
m
、< br>n
都是正整数;且
m
>
n
,试判断△
ABC
是否为直角三角形?
【考点】勾股定理的逆定理.
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可.
【解答】解:∵
a=m2
﹣
n
2
,
b=2mn
,
c=m
2< br>+
n
2
,
第21页(共23页)
∴
a
2
+
b
2
=
(
m
2
﹣
n
2
)
2
+
4m
2
n
2
=m
4
+
n
4
﹣
2m
2n
2
+
4m
2
n
2
=m
4
+
n
4
+
2m
2
n
2
=
(
m
2
+
n
2
)
2
=c
2
.
∴△
ABC
是为直角三角形.
24
.长方 形
OABC
绕顶点
C
(
0
,
5
)逆时针方 向旋转,当旋转到
CO′A′B′
位置时,
边
O′A′
交边
AB
于
D
,且
A′D=2
,
AD=4
.
(
1
)求
BC
长;
(
2
)求阴影部分的面积.
【考点】坐标与图形变化< br>-
旋转;勾股定理的应用;矩形的性质;旋转的性质.
AB=CO=CO'= 5
,【分析】(
1
)先根据旋转的性质以及矩形的性质,求得
BC=AO=O ′A′
,
∠
B=
∠
O'=90°
,
BD=1
,再连接
CD
,设
BC=x
,根据勾股定理得出
BC
2< br>+
BD
2
=CD
2
=CO'
2
+
D O'
2
,据此列出方程求解即可;
(
2
)根据阴影部分的 面积
=
△
BCD
面积+△
O'CD
面积,进行计算即可.< br>
5
)【解答】解:(
1
)∵长方形
OABC
绕顶点
C
(
0
,逆时针方向旋转得到矩形
CO′A′B′
∴
BC=AO=O′A′
,
AB=CO=CO'=5
,∠
B=∠
O'=90°
,
∵
AD=4
,
AB=5
,
∴
BD=5
﹣
4=1
,
设
BC=x,则
DO'=O'A'
﹣
A'D=x
﹣
2
,
连接
CD
,则
BC
2
+
BD
2
= CD
2
=CO'
2
+
DO'
2
即
x
2
+
1
2
=5
2
+(
x
﹣< br>2
)
2
解得:
x=7
,
∴
BC=7
;
(
2
)∵
BC =7
,
BD=1
,
CO'=5
,
DO'=7
﹣2=5
,∠
B=
∠
O'=90°
,
∴阴影部 分的面积
=
△
BCD
面积+△
O'CD
面积
=×
7
×
1
+×
5
×
5=16
.
第22页(共23页)
第23页(共23页)
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