池州学院地址-多边形的面积公式
三角形作图题
1.
已
知一个三角形的两条边长
a
，
b
与一个内角为
40°
．
（1
）请你用
“
尺规作图
”
画出一个满足题设条件的三角形．
（
2
）你是否还能画出既满足题设条件，又与（
1
）中所画的 三
角形不全等的三角形？若能，请用
“
尺规作图
”
画出，若不能，< br>请说明理由．
2.
作图题：
（
1
）分别作出点
P< br>，使得
PA=PB=PC
；
（
2
）观察各图中的点
P
与
△ABC
的位置关系，并总结规律：
当
△A BC
为锐角三角形时，点
P
在
△ABC
的
______
；
当
△ABC
为直角三角形时，点
P
在
△ABC
的
______
；
当
△ABC
为钝角 三角形时，点
P
在
△ABC
的
______
；反之也
成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．
3.
学之道在于悟．希望同学们在问题（
1
）解决过程中有所悟，
再继续探索研究问题（
2
）．
第1页共15页
（
1
）如图
①
，
∠B=∠C
，
BD=CE
，
AB=DC
．
①
求证：
△ADE
为等腰三角形．
②
若
∠B=60°
，求证：
△ADE
为等边三角形．
（
2）如图
②
，射线
AM
与
BN
，
MA⊥AB，
NB⊥AB
，点
P
是
AB
上一点，
△CPD
在射线
AM
与
BN
上分别作点
C
、点
D< br>满足：
为等腰直角三角形．（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保
留作图痕迹）
4.
已知一个三角形的两边长分别是
1cm
和2cm
，一个内角为
40°
．
（
1
）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形；
（
2
）你是否还能画出既满足题设条件，又与（
1
）中所画的三
角形不全等的三角 形？若能，请你在下图画这样的三角形；若
不能，请说明理由．
（
3
）如果将题设条件改为
“
三角形的两条边长分别是
3cm
和
4cm
，一个内角为
40°
，
”
那么满足这一条件，且彼此不全等的
三角形共有几个？分别画出草图，并在图中相应位置标明数
据．（画图请保留作图痕迹，并把符合条件 的图形用黑色笔画
出来）
5.
课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为
36°
的等腰三角
形纸片剪两刀，分成
3
张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角
形 ，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图
1
是其中的一种方法：定义：如果两条
线段将一个三角形分成
3
个等腰三角形，我们把 这两条线段叫
做这个三角形的三分线．
请你在图
2
中用三种不同的 方法画出顶角为
45°
的等腰三角形
的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（ 若两种方法
分得的三角形成
3
对全等三角形，则视为同一种）
第3页共15页
6.
【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即
“ SAS”“ASA”“AAS”“SSS”
）和
直角三角形全等的判定方法（即
“HL “
）后，我们继续对
“
两个
三角形满足两边和其中一边的对角对应相等
”
的情形进行研
究．
【初步思考】
我们不妨将问题用 符号语言表示为：在
△ABC
和
△DEF
中，
AC=DF
，
BC=EF
，
∠B=∠E
，然后，对
∠B
进行分类，可分为
“∠B
是直角、钝角、锐角
”
三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当
∠B
是直角时，
△ABC≌△DEF
．
< br>（
1
）如图
①
，在
△ABC
和
△DEF中，
AC=DF
，
BC=EF
，
∠B=∠E=90
○< br>，根据
______
，可以知道
Rt△ABC≌Rt△DEF
．
第二种情况：当
∠B
是钝角时，
△ABC≌△DEF
．
< br>AC=DF
，
BC=EF
，
∠B=∠E
，（
2
）如图
②
，在
△ABC
和
△DEF
中，
∠B，
∠E
都是钝角，求证：
△ABC≌△DEF
第三种情况 ：当
∠B
是锐角时，
△ABC
和
△DEF
不一定全等．（
3
）在
△ABC
和
△DEF
中，
AC=DF
，
BC=EF
，
∠B=∠E
，且
∠B
、
∠ E
都是锐角，请你用尺规在图
③
中作出
△DEF
，使
△DE F
和
△ABC
不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
7.
我们经常遇到需要分类的问题，画
“
树形图
”
可以帮我们不重
复、不遗漏地分类．
【例题】在等腰三角形
ABC
中，若
∠A=80°
，求
∠B
的度数．
分析：
∠A
、
∠B
都可能是顶角或底角，因此需要分成如图
1
所示的
3
类，这样的图就是树形图，据此可求出
∠B=
【应用】
（< br>1
）已知等腰三角形
ABC
周长为
19
，
AB=7< br>，仿照例题画出
树形图，并直接写出
BC
的长度；
（
2
）将一个边长为
5
、
12
、
13
的直角三角形 拼上一个三角形
后可以拼成一个等腰三角形，图
2
就是其中的一种拼法，请你
画出其他所有可能的情形，并在图上标出所拼成等腰三角形的
腰的长度．（选用图
3
中 的备用图画图，每种情形用一个图形
单独表示，并用
①
、
②
、
③…
编号，若备用图不够，请自己画
图补充）
8.
如图，已知网格上最小的正方形的边长为
1
．
（
1
）分别写出点
A
、
B
、
C
三点的坐标；
（
2
）作
△ABC
关于
y
轴的对称图形
△A′B ′C′
（不写作法）；
（
3
）写出
△ABC
关于
x
轴对称的三角形的各顶点坐标．
9.
在等边
△ABC
外侧作直线
AP
，点
B
关于直线
AP
的对 称点为
D
，连接
BD
，
CD
，其中
CD
交 直线
AP
于点
E
．
（
1
）依题意补全图
1
；
（
2
）若
∠PAB=30°
，求
∠ACE
的度数；
（
3
）如图
2
，若
60°
＜
∠PAB
＜
12 0°
，判断由线段
AB
，
CE
，
ED
可以构成一个 含有多少度角的三角形，并证明．
答案和解析
第5页共15页
【答案】
1.
解：（
1
）如图
1
，
△ABC
即为所求作三角形；
（
2
）如图
2
，
△DEF
中，
∠D=40°
，
DE= a
，
EF=b
，当
△ABC
与
△DEF
不全等．< br>
2.
内部；斜边的中点；外部
3.
（
1
）
①
证明：在
△ABD
和
△DCE
中，
，
∴△ABD≌△DCE
（
SAS
），
∴DA=DE
，即
△ADE
为
等腰三角形；
②
解：
∵△ABD≌△DCE
，
∴∠BAD=∠CAE
，
∵∠B=60°
，
∴∠BAD+∠ADB=120°
，
∴∠CAE+∠ADB=120°
，
∴∠ADE=60°
，又
△ADE
为等腰三角形，
∴△ADE
为等边三角形；
（
2
）有三种情况，
PC=PD
、
CP=CD
、
DC=DP
，
如图所示：
4.
解：（
1
）如图（
1
）所示：
（
2
）如图（
2
）所示：
（
3
）如图所示：
．
5.
解：（
1
）如图所示：
（
2
）如图所示：
第7页共15页
（
3
）如图所示：
6. HL
7.
解：（
1
）树形图如下：
当
AB
为底 边，
BC
为腰时，
BC=
（
19-7
）
=6
；
当
AB
为腰，
BC
为腰时，
BC=AB=7
；
7=5
；
当
AB
为腰，
B C
为底边时，
BC=19-2×
综上所述，
BC
的长度是
5
、
6
或
7
．
（
2
）如图所示，共有
6
种情况．
8.
解：（
1
）由图可知，
A
（
-3
，
3
），
B
（
-5
，
1
），
C（
-1
，
0
）；
（
2
）如图所示：
（
3
）
△ ABC
关于
x
轴对称的三角形的各顶点坐标（
-3
，
-3< br>）、
B
（
-5
，
-1
）、
C
（-1
，
0
）．
9.
解：（
1
）所作图形如图
1
所示：
（
2
）连接
AD
，如图
1
．
∵
点
D
与点
B
关于直线
AP
对称，
∴AD=AB
，
∠DAP=∠BAP=30°
，
∵AB=AC
，
∠BAC=60°
，
∴AD=AC
，
∠DAC=120°
，
∴2∠ACE+60°+60°=180°
，
第9页共15页
∴∠ACE=30°
；
（
3
）线段
A B
，
CE
，
ED
可以构成一个含有
60°
角的三角 形．
证明：连接
AD
，
EB
，如图
2
．
< br>∵
点
D
与点
B
关于直线
AP
对称，
∴AD=AB
，
DE=BE
，
∴∠EDA=∠EBA
，
∵AB=AC
，
AB=AD
，
∴AD=AC
，
∴∠ADE=∠ACE
，
∴∠ABE=∠ACE
．
设
AC
，
BE
交于点
F
，
又
∵∠AFB=∠CFE
，
∴∠BAC=∠BEC=60°
，
∴
线段
AB
，
CE
，
ED
可以构成一个含有
60°
角的三角形．
【解析】
1.
解：
①
三角形的周长是它的中点三角形的 周长的
2
倍是真命题；
②
三角形的三条中线不能平分它的中点三角形的三边是假命题；
③
三角形的三条角平分线平分它的中点三角形的三个内角，是真
命题；
故选：
B
．
根据中点三角形的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多
命题都是由题设和结论两部分组成，题设 是已知事项，结论是由
已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“
如果
…那么
…”
形式．有
些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2.
（
1
）设已知角为
∠A
，在
∠A的一条边上截取
AB=b
，在另一
条边上截取
AC=a
，连接< br>BC
，则
△ABC
就是要作的三角形；
（
2
）先作一个等于已知
40°
的
∠D
，然后在
∠D
的一条边 上截取
DE=a
，再以
E
为圆心，
b
为半径画弧交
∠D
的另一边于点
F
，则
△DEF
就是要作的三角形．
< br>本题考查了作图
-
复杂作图，掌握利用
“
边角边
”
画 三角形的方法与
“
角边边
”
画三角形是解题的关键，需要注意，根据画法的不 同，
因为边角的对应关系发生改变，而导致最后两个三角形不全等，
所以在平时的学习中对定理 的记忆一定要准确．
3.
解：（
1
）如图所示：
分别作出三角形任意两边垂
直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得两直线的交点，即是
P
点．
（
2
）结合图象可知：
故填：内部；斜边的中点；外部
利用三角形外心的作法，确定
P
点的位置，根据三角形的形状不
同，圆形与三 角形有三种位置关系．
此题主要考查了三角形外心的作法，以及外心与不同三角形的位
置关系．
4.
（
1
）
①
先根据
∠B=∠C
，BD=CE
，
AB=DC
，判定
△ABD≌DCE
，
得 出
AB=DC
，进而得到
△ADE
为等腰三角形；
第11页共15页
②
根据
△ABD≌△DCE
，得出
∠B AD=∠CDE
，再根据
∠ADC=∠B+∠BAD
，
∠ADC=∠ADE+ ∠EDC
，得到
∠ADE=∠B=60°
，最后判定等腰
△ADE
为 等边三角形；
（
2
）分三种情况讨论：
∠CPD
为直角顶 点；
∠PCD
是直角顶点；
∠PDC
是直角顶点，分别进行画图即可．第一种 情况：使得
AP=BD
，
BP=AC
；第二种情况：使得
AC=AB
，
CE=AP
，
BD=AE
；
第三种情况：使得
B D=AB
，
DF=BP
，
AC=BF
．
本题主要 考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性
质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决 问题的关键是
掌握全等三角形的判定方法．解题时注意分类讨论思想的运用．
5.
（
1
）利用已知条件画出符合要求的图形即可；
（
2
）利用已知条件画出符合要求的图形即可；
（
3
）利用已知条件画出符合要求的图形即可．
此题主要考查了应用设计与作图，利用三角形的形状不确定得出
是解题关键．
6.
（
1
）先以底边为腰作顶角为
45°
的等腰三角形， 然后再作腰的
垂线得到含顶角为
90°
的等腰三角形和顶角为
13 5°
的等腰三角形；
（
2
）先过腰上的高得到顶角为
90°
的等腰三角形，再作此高的垂
直平分线得到顶角为
135°
的等腰三角形和顶角为45°
的等腰三角
形．
本题考查了作图
-
应用与设计 作图：首先要理解题意，弄清问题中
对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作出草图，然后利用基本作图的方法作图．也考查了等腰直角三角形的性质．
7.
（
1
）解：
HL
；
（
2
）证明：
如图，过点
C
作CG⊥AB
交
AB
的延长线于
G
，过点
F
作< br>FH⊥DE
交
DE
的延长线于
H
，
∵∠B=∠E
，且
∠B
、
∠E
都是钝角，
∴180°-∠B=180°-∠E
，
即
∠CBG=∠FEH
，
在
△CBG
和
△FEH
中，
，
∴△CBG≌△FEH
（
AAS
），
∴CG=FH
，
在
Rt△ACG
和
Rt△DFH
中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH
（
HL
），
∴∠A=∠D
，
在
△ABC
和
△DEF
中，
，
∴△ABC≌△DEF
（
AAS
）；
（
3
）解：如图，
△DEF
和
△ABC
不全等；
第13页共15页
（
1
）根据直角三角形全等的方法
“HL”
证明；
（
2
）过点
C
作
CG⊥AB
交
AB
的延 长线于
G
，过点
F
作
FH⊥DE
交
DE
的 延长线于
H
，根据等角的补角相等求出
∠CBG=∠FEH
，
再利用
“
角角边
”
证明
△CBG
和
△FEH
全等 ，根据全等三角形对应
边相等可得
CG=FH
，再利用
“HL”
证明
Rt△ACG
和
Rt△DFH
全等，
根据全等三角形对应角相等可得
∠A=∠D
，然后利用
“
角角边
”
证
明
△ ABC
和
△DEF
全等；
（
3
）以点
C
为圆心，以
AC
长为半径画弧，与
AB
相交于点
D
，
E
与
B
重合，
F
与
C
重合，得到
△DEF
与
△ABC
不全等；
（
4
）根据三种 情况结论，
∠B
不小于
∠A
即可．
本题考查了全等三角形 的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌
握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认
真仔细．
8.
（
1
）分三种情况：当
AB为底边，
BC
为腰时，
BC=
（
19-7
）
= 6
；当
AB
为腰，
BC
为腰时，
BC=AB=7
； 当
AB
为腰，
BC
为底边
7=5
；
时，
BC=19-2×
（
2
）将一个边长为
5
、
12< br>、
13
的直角三角形拼上一个三角形后拼
成一个等腰三角形，据此可得图形与等 腰三角形的腰的长度．
本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角；求等腰三角形的角
和边长的计算要注意分类讨论．解题时首先要理解题意，弄清问
题中对所作图形的要求，结合对应几何 图形的性质和基本作图的
方法作图．
9.
（
1
）根据各点在坐标系中的位置即可得出结论；
（
2
）作出各点关于
y
轴的对称点，再顺次连接即可；
（
3
）根据关于
x
轴对称的点的坐标特点即可得出结论．
本题考查的是作图
-
轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标
特点是解答 此题的关键．
10.
（
1
）根据题意作出图形；
（
2
）根据题意可得
∠DAP=∠BAP=30°
，然后根据
A B=AC
，
∠BAC=60°
，得出
AD=AC
，
∠DAC =120°
，最后根据三角形的内角
和公式求解；
（
3
） 由线段
AB
，
CE
，
ED
可以构成一个含有
60< br>度角的三角形，
连接
AD
，
EB
，根据对称可得
∠E DA=∠EBA
，然后证得
AD=AC
，
最后即可得出
∠BAC=∠ BEC=60°
．
本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质，解答本< br>题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三
角形的性质．
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