容斥原理公式三角函数公式

三角函数诱导公式揭秘

无论在哪本教材中，三角函数诱导公式这一节所涉及到的公 式都是相当得多。在许多参
考书里共同提到了记忆诱导公式的统一口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 多少年来，参
考书这么写，老师们这么教，但是教材却从没有简化，原因何在？

本文首先对该口诀进行必要的介绍，然后尝试去探寻众多诱导公式的联系及内涵，进而
对教材内容的编排 提出自己的理解。

一、口诀解析
任意一个角都可以表示为的形式。当把任意角 化为该
形式后，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”，就能把任意角转化到
中所学，学生熟悉 的锐角三角函数值问题了。

下面对该口诀进行必要的解析：
之间，即初
①“奇”与“偶”：是指把任意角化为
奇偶性，即是奇数还是偶数；
的形式中的

②“变”与“不变”：是指三角函数的名称改变与否，即若变，则正弦 变余弦、余弦变
正弦、正切变余切、余切变正切。
综合①②，“奇变偶不变”是说，把任意角化为
数名称改变，若是偶数则三角函数名称不改变。
的形式后，若是奇数则三角函
③“象限”：是指把任意角化为
在的象限。
的形式后，假设时，所
④“符号”：是指在确定
图）。
所在的象限后，相应的原三角函数值的符号（如下

二、诱导公式的内在联系

教材中所给的诱导公式，集中体现了数学中的化归与转化思想。在求任意角的三角函数值时，其基本思路为：负角正角内的角内的角。

根据这个思路，运用口诀“奇变偶不 变，符号看象限”化简，就不可能充分地体现出来，
并且在口诀中，任意角所在象限的判断也是相当麻烦 的。

下面，针对教材中所给的三角函数诱导公式及化归与转化思路，将它们划分为三类诱导
公式。

①名不变，奇偶（繁角简角）
，即含有的整数倍，则选用第一如果任意角可以 表示成
类诱导公式。利用该公式可将繁杂角化为简单的角。
第一类诱导公式：正弦函数、余弦函数的名称不改变，化简后的符号随
改变──奇数、偶数。即
的奇偶性而
，；
可得：

②名改变，正余（钝角锐角）
.
利用其余诱导公式先化简，若出现
第二类诱导公式。该公式是开篇口诀的特例。

的形式，即含有，则选用
第二类诱导公式：正弦函数、余弦函数的名称改变，化简 后的符号由原式三角函数名确
定──正弦、余弦。即
；
可得：
③奇偶性，正奇余偶（负角
对于函数
则。
第三类诱导公式：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数。即
；
正角）
.
，若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，
可得：.
综上所述，三角函数诱导公式只需要三类即可将负角
内的角。即
正角内的角
第一类：，；
第二类：
第三类：

三、三类诱导公式的简单运用

诱导公式一：
.
；
解析 将正切化为弦，即。利用第一类诱导公式，
名不变，因为的系数是偶数，为正，所以.

诱导公式二：
的系数是奇数，为负，所以 解析 第一类诱导公式，名不变，因为

诱导公式四：
解析 将减法变为加法，即
变，因为的系数是奇数，为负，所以

。利用第一类诱导公式，名不
；利用
. 第三类诱导公式，因为余弦函数为偶函数，所以

诱导公式五：
解析 将减法变为加法，即。利用第二类诱导公式，名
改变，正弦，所以
.
；利用第三类诱导公式，因为
余弦函数是偶函数，所以

例：化简。
解析 ，首先利用第一类诱导公式,名不变，又因为的系数
是奇数，符号为负，所以；然后利用 第二
类诱导公式，名改变，余弦，所以.
的整

注意：在应用三类诱导公 式时，必须抓住①第一类诱导公式：任意角能分离出
数倍；②第二类诱导公式：任意角能分离出；③与也 是选择诱导公式的依据。

定义式
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锐角三角函数 任意角三角函数
图形

直角三角形
任意角三角函数
正弦（sin）
余弦（cos）
正切（tan
或tg）
余切（cot
或ctg）
正割（sec）
余割（csc）
表格参考资料来源：现代汉语词典
．
[1]

函数关系
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倒数关系：

；

；

商数关系：

；






平方关系：

；

；

．






诱导公式
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公式一：设 为任意角，终边相同的角的同
一三角函数的值相等：

公式二：设 为任意角， 与 的三
角函数值之间的关系：

公式三：任意角 与 的三角函数值之间
的关系：

公式四： 与 的三角函数值之间的关
系：

公式五： 与 的三角函数值之间的
关系：

公式六： 及 与 的三角函数
值之间的关系：



记背诀窍：奇变偶不变，符号看
．
象限

基本公式
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和差角公式






证明如图，负号的情况只需要用- β代替β即
可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与
tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式









证明正
弦、余弦的和差角公式



和差化积





口诀：正加正，正在前，余加余，
余并肩，正减正，余在前，余减余，
负正弦．

积化和差

倍角公式
二倍角公式

三倍角公式




证明
[3]

：

sin3a
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin^3a
=4sina（34-sin^2a)
=4sina[（√32）-sina][（√32）+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[（60+a)2]cos[（60°-a)2]
*2sin[（60°-a)2]cos[（60 °+a)2]
=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34）
=4cosa[cos^2a-（√32）^2]
=4cosa(cosa- cos30°）(cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[(a+30°）2]cos[ (a-30°）
2]*{-2sin[(a+30°）2]sin[(a-30°）2]}
=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+
（60°+a)]
=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]

=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)
上述两式相比可得：


tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)
四倍角
sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）
（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角



n倍角
[4]

应用欧拉公式：

．
上式用于求n倍角的三角函数时，可变
形为：

所以，

其中，Re表示取实数部分，Im表示取
虚数部分．而


所以，



n倍角的三角函数

半角公式

（正负由 所在的象限决定）




万能公式


辅助角公式

证明：

，显然 ，且


故有：












由于



三角形定理
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正弦定理
详见词条：正弦定理


在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R． 则有
[5]
：

正弦定理变形可得：

余弦定理
详见词条：余弦定理

在如图所示的在△ABC中，有

或


余弦定理