计算公式复利三角函数公式及记忆技巧

定义式
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锐角三角函数 任意角三角函数
图形

直角三角形
任意角三角函数
正弦（si
n）
余弦（co
s）
正切（tan
或tg）
余切（cot
或ctg）
正割（se
c）
余割（cs
c）
表格参考资料来源：现代汉语词典
．
[1]

函数关系
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倒数关系：

；

；

商数关系：




；

．
平方关系：

；

；

．




诱导公式
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公式一：设

为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

公式二：设

为任意角，

与

的三角函数值之间的关系：


公式三：任意角

与

的三角函数值之间的关系：


公式四：

与

的三角函数值之间的关系：


公式五：

与

的三角函数值之间的关系：


公式六：

及

与

的三角函数值之间的关系：



记背诀窍：奇变偶不变，符 号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名
函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切 变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称
不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π2±a(k∈z)的三角函数值．
[2]
(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加
上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函
数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：


记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），
正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函
数值在第三 象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：


若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），
正弦函数 的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切
函数的三角函数值在第 二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：


特别提醒：三角函数化简 与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②
注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的 要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，
分母能最简，易求值最好。
[3]

基本公式
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和差角公式






证明如图，负号的情况只需要用- β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，
过程与tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式

证明正弦、余弦的和差角公式





和差化积





口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差

倍角公式
二倍角公式



三倍角公式





证明
[4]

：

sin3a
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin^3a
=4sina（34-sin^2a)
=4sina[（√32）-sina][（√32）+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[（60+a)2]cos[（60°-a)2]*2sin[（60°-a)2]cos[（60°+a) 2]
=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34）
=4cosa[cos^2a-（√32）^2]
=4cosa(cosa- cos30°）(cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[(a+30°）2]cos[ (a-30°）2]*{-2sin[(a+30°）2]sin[(a-30°）2]}
=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]
=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]
=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)
上述两式相比可得：
tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)
四倍角
sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角



n倍角
[5]

应用欧拉公式：

．
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：


所以，

其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而

所以，
n倍角的三角函数

半角公式

（正负由

所在的象限决定）
万能公式

辅助角公式
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．
证明：
由于

，显然

，且




故有：

三角形定理
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正弦定理
详见词条：正弦定理
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则
有< br>[6]
：

正弦定理变形可得：

余弦定理
详见词条：余弦定理

在如图所示的在△ABC中，有

或

余弦定理