彩票的公式误差棒 标准差 标准误差

标准差(Standard Deviation) 和标准误差(Standard Error)
本文摘自
Streiner ining standards: differences between the standard deviation and
standarderror, and when to use each. Can J Psychiatry 1996; 41: 498–502.
标准差(Standard Deviation)

标准差，缩写为S.D., SD, 或者 s (就是为了把人给弄晕？)，是描述数据点在
均值（mean）周围聚集程度的指标。
如果把单个数据点称为“
X
,” 因此 “
X
” 是第一个值，“
X
” 是第二个值，
以此类推。均值称为“
M
”。初 看上去Σ(
X
-
M
)就可以作为描述数据点散布情况
的指标，也就是 把每个
X
与
M
的偏差求和。换句话讲，是（单个数据点—数据点
的平 均）的总和。
i12
i
i
看上去挺有逻辑性的，但是它有两个缺点。 第一个困难是：上述定义的结果永远是0。根据定义，高出均值的和永远等于低
于均值的和，因此它 们相互抵消。可以取差值的绝对值来解决（也就是说，忽略
负值的符号），但是由于各种神秘兮兮的原因 ，统计学家不喜欢绝对值。另外一
个剔除负号的方法是取平方，因为任何数的平方肯定是正的。所以，我 们就有
Σ(
X
-
M
)。
2
i
另外一个问 题是当我们增加数据点后此等式的结果会随之增大。比如我们手头有
25个值的样本，根据前面公式计算 出SD是10。如果再加25个一模一样的样本，
直觉上50个大样本的数据点分布情况应该不变。但是 我们的公式会产生更大的
SD值。好在我们可以通过除以数据点数量
N
来弥补这个漏洞 。所以等式就变成
Σ(
X
-
M
)
N
.
2
i
根据墨菲定律，我们解决了两个问题，就会随之产生两个新问题。
第一 个问题（或者我们应该称为第三个问题，这样能与前面的相衔接）是用平方
表达偏差。假设我们测量自闭 症儿童的IQ。也许会发现IQ均值是75, 散布程度
是100 个IQ点平方。这IQ点平方又是什 么东西？不过这容易处理：用结果的
平方根替代，这样结果就与原来的测量单位一致。所以上面的例子中 的散布程度
就是10个IQ点，变得更加容易理解。
最后一个问题是目前的公式是一个有偏估 计，也就是说，结果总是高于或者低于
真实的值。解释稍微有点复杂，先要绕个弯。在多数情况下，我们 做研究的时候，
更感兴趣样本来自的总体（population）。比如，我们探查有年轻男性精神分 裂
症患者的家庭中的外现情绪（expressed emotion，EE)水平时，我们的兴趣点是
所有满足此条件的家庭（总体），而不单单是哪些受研究的家庭。我们的工作便
是从样本中估计 出总体的均值（mean）和SD。因为研究使用的只是样本，所以
这些估计会与总体的值未知程度的偏 差。理想情况下，计算SD的时候我们应当
知道每个家庭的分值(score)偏离总体均值的程度，但 是我们手头只有样本的均
值。
根据定义，分值样本偏离样本均值的程度要小于偏离其他值，因 此使用样本均值
减去分值得到的结果总是比用总体均值（还不知道）减去分值要小，公式产生的
结果也就偏小（当然N很大的时候，这个偏差就可以忽略）。为了纠正这个问题，
我们会用N-1除，而 不是N。总之，最后我们得到了修正的标准差的（估计）公
式（称为样本标准差）：

顺带一下，不要直接使用此公式计算SD，会产生很多舍入误差(rounding error)。
统计学书一般会提供另外一个等同的公式，能获得更加精确的值。
现在我们完成了所有推导工作，这意味着什么呢？
假设数据是正态分布的，一旦知道了均值和 SD，我们便知道了分值分布的所有
情况。对于任一个正态分布，大概23（精确的是68.2%）的分 值会落在均值-1 SD
和均值+1 SD之间，95.4%的在均值-2 SD 和均值+2 SD之 间。比如，大部分研究
生或者职业院校的入学考试（GRE,MCAT,LSAT和其他折磨人的手段） 的分数分布
（正态）就设计成均值500，SD 100。这意味68%的人得分在400到600之间 ，
略超过95%的人在300到700之间。使用正态曲线的概率表，我们就能准确指出
低于或 者高于某个分数的比例是多少。相反的，如果我们想让5%的人淘汰掉，
如果知道当年测试的均值和SD ，依靠概率表，我们就能准确划出最低分数线。
总结一下，SD告诉我们分值围绕均值的分布情况。现在我们转向标准误差
（standard error）。
标准误差(Standard Error)
前面我提到过大部分研究的目 的是估计某个总体(population)的参数，比如均值
和SD（标准方差）。一旦有了估计值， 另外一个问题随之而来：这个估计的精
确程度如何？这问题看上去无解。我们实际上不知道确切的总体参 数值，所以怎
么能评价估计值的接近程度呢？挺符合逻辑的推理。但是以前的统计学家们没有
被 吓倒，我们也不会。我们可以求助于概率：（问题转化成）真实总体均值处于
某个范围内的概率有多大？ （格言：统计意味着你不需要把话给说绝了。）
回答这个疑问的一种方法重复研究（实验）几百次，获 得很多均值估计。然后取
这些均值估计的均值，同时也得出它的标准方差（估计）。然后用前面提到的概
率表，我们可估计出一个范围，包括90%或者95%的这些均值估计。如果每个样
本是随机的 ，我们就可以安心地说真实的（总体）均值90%或者95%会落在这个
范围内。我们给这些均值估计的 标准差取一个新名字：均值的标准误差（the
standard error of the mean），缩写是SEM,或者，如果不存在混淆，直接用
SE
代表。
但是首先得 处理一个小纰漏：重复研究（实验）几百次。现今做一次研究已经很
困难了，不要说几百次了（即使你能 花费整个余生来做这些实验）。好在一向给
力的统计学家们已经想出了基于单项研究（实验）确定
SE
的方法。让我们先从
直观的角度来讲：是哪些因素影响了我们对估计精确性的判断？一个 明显的因素
是研究的规模。样本规模
N
越大，反常数据对结果的影响就越小，我们的估 计就
越接近总体的均值。所以，
N
应该出现在计算
SE
公式的分母中 ：因为
N
越大，
SE
越小。类似的，第二因素是：数据的波动越小，我们越相 信均值估计能精确
反映它们。所以，
SD
应该出现在计算公式的分子上：
SD
越大，
SE
越大。因此我
们得出以下公式：

(为什么不是
N
? 因为实际是我们是在用
N
除方差
SD< br>，我们实际不想再用平方值，
所以就又采用平方根了。)
2
所以，
S D
实际上反映的是数据点的波动情况，而
SE
则是均值的波动情况。
置信区间(Confidence Interval)
前面一节，针对
SE
，我们提到了某个值范围。我们有95%或者99%的信心认为真
实值就处在当中。我们称这个值范围 为“置信区间”，缩写是CI。让我们看看
它是如何计算的。看正态分布表，你会发现95%的区域处在 -1.96
SD
和
+1.96
SD
之间。回顾到前面的GRE 和MCAT的例子，分数均值是500，
SD
是
100，这样95%的分数处在304 和696之间。如何得到这两个值呢？首先，我们
把
S
D乘上1.96，然后从均值中 减去这部分，便得到下限304。如果加到均值上
我们便得到上限696。CI也是这样计算的，不同的 地方是我们用
SE
替代
SD
。所
以计算95%的CI的公式是：95 %CI= 均值± ( 1.96 x
SE
)。
选择SD, SE和CI
好了，现在我们有
SD
,
SE
和CI。问题也随之而来：什么时候 用？选择哪个指
标呢？很明显，当我们描述研究结果时，
SD
是必须报告的。根据SD
和样本大小，
读者很快就能获知
SE
和任意的
CI
。如果我们再添加上SE和CI，是不是有重复
之嫌？回答是：“YES”和“NO”兼有。
本质上，我们是想告之读者通常数据在不同样本上是存在波动的。某一次研究上
获得的数据不会与另外一 次重复研究的结果一模一样。我们想告之的是期望的差
异到底有多大：可能波动存在，但是没有大到会修 改结论，或者波动足够大，下
次重复研究可能会得出相反的结论。
某种程度上来讲，这就是检验的显著程度，P level 越低，结果的偶然性就越低，
下次 能重复出类似结果的可能性越高。但是显著性检验，通常是黑白分明的：结
果要么是显著的，要么不是。 如果两个实验组的均值差别只是勉强通过了P <
0.05的红线，也经常被当成一个很稳定的结果。 如果我们在图表中加上CI，读
者就很容易确定样本和样本间的数据波动会有多大，但是我们选择哪个C I呢？
我们会在图表上加上error bar（误差条，很难听），通常等同于1个
SE< br>。好处
是不用选择SE或者CI了（它们指向的是一样的东西），也无过多的计算。不幸
的这种方法传递了很少有用信息。一个error bar (-1 SE,+1 SE )等同于68%
的CI；代表我们有68%的信心真的均值（或者2个实验组的均值的差别）会落
在这个范围内。糟糕 的是，我们习惯用95%，99% 而不是68%。所以让忘记加上
SE
吧，传递的信息量太少了，它的主要用途是计算CI。
那么把error bar加长吧，用2个
SE
如何？这好像有点意思，2是1.96 的不错
估计。有两方面的好处。首先这个方法能显示95%的CI，比68%更有意义。其次
能 让我们用眼睛检验差别的显著性（至少在2个实验组的情况下是如此）。如果
下面bar的顶部和上面b ar的底部没有重叠，两个实验组的差异必定是显著的（5%
的显著水平）。因此我们会说，这2个组间 存在显著差别。如果我们做t-test，
结果会验证这个发现。这种方法对超过2个组的情况就不那么 精确了。因为需要
多次比较（比如，组1和组2，组2和组3，组1和组3），但是至少能给出差
别的粗略指示。在表格中展示CI的时候，你应该给出确切的数值（乘以1.96
而不是2）。
总结
SD
反映的是数据点围绕均值的分布状况，是数据报告中必须有的指标。
SE
则反
映了均值波动的情况，是研究重复多次后，期望得到的差异程度。
SE自身不传
递很多有用的信息，主要功能是计算95%和99%的CI。 CI是显著性检验的补充，
反映的是真实的均值或者均值差别的范围。
一些期刊已把显著性检 验抛弃了，CI取而代之。这可能走过头了。因为这两种
方法各有优点，也均会被误用。比如，一项小样 本研究可能发现控制组和实验组
间的差别显著（0.05的显著水平）。如果在结果展示加上CI，读者 会很容易看
到CI十分宽，说明对差别的估计是很粗糙的。与之相反，大量鼓吹的被二手烟
影响 的人数，实际上不是一个均值估计。最好的估计是0，它有很宽的CI，报道
的却只是CI的上限。
总之，
SD
、显著性检验，95%或者99% 的
CI
，均应该加在 报告中，有利于读者
理解研究结果。它们均有信息量，能相互补充，而不是替代。相反，“裸”的
SE
的并不能告诉我们什么信息，多占据了一些篇幅和空间而已。