数学必修公式高中数学公式(部分)

等差数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差
（common difference），公差通常用字母d表示。
缩写
等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a
与b的等 差中项（arithmetic mean）。
有关系：A＝（a＋b）2
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
an=kn+b(k,b为常数)
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式：
Sn=a1+a2+a3······+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an)
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
Sn=n(a1+an)2=n*a1+n(n-1)d2
Sn=(d2)*n^2+(a1-d2)n
性质
且任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。
和＝（首项＋末项）×项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
应用
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。
其于数学的中的应用，可举例：
快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个
算法不止一种，这里介绍用数列算
令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6,;
于是令an = 24+(n-1)*6<=132 即可解出n=19
等比数列
定义
一般 地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，
这个数列就叫做等比数列（g eometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比
（common ratio），公比通常用字母q表示。
缩写
等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b
的等比中项。
有关系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(12)
注：两个非零同号的实数的等 比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是
a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
通项公式
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)(1-q)=(a1-an*q)(1-q) (q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
性质
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，
以任一个 正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在
这个意义下，我们说：一个 正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质：
①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)(1-q)
在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
应用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金价在一起算作本金，
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列
就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比 通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
若通项公式变形为an=a1q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函
数，点(n,an)是曲线y=a1q*q^x上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)(1-q)
=(a1-a1q^n)(1-q)
=a1(1-q)-a1(1-q)*q^n ( 即A- Aq^n)
(前提：q不等于 1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差
数列；反之，以任一个正 数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂
Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正 项等比数列与等差数
列是“同构”的。



三角函数公式表


同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商的关系： 平方关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1

sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
sin2α＋cos2α＝1
1＋tan2α＝sec2α
1＋cot2α＝csc2α
（六边形记忆法：图形 结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上
两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点 的三角函数值的平方和等于下顶点的三角

函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）


诱导公式（口诀:奇变偶不
变，符号看象限。）
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα


sin（π2－α）＝cosα sin（3π2－α）＝－cosα
cos（π2－α）＝sinα
sin（π－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cos（π－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
cot（π2－α）＝tanα
tan（π－α）＝－tanα
tan（3π2－α）＝cotα

cot（π－α）＝－cotα
cot（3π2－α）＝tanα
sin（π2＋α）＝cosα
sin（π＋α）＝－sinα

cos（π2＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
sin（3π2＋α）＝－cosα
tan（π2＋α）＝－cotα
tan（π＋α）＝tanα
cos（3π2＋α）＝sinα
cot（π2＋α）＝－tanα
cot（π＋α）＝cotα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα


两角和与差的三角函数公
式
万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋
cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－
cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ
2tan(α2)
－sinαsinβ
sinα＝——————
cos（α－β）＝cosαcosβ
1＋tan2(α2)
＋sinαsinβ
1－tan2(α2)

cosα＝——————

tanα＋tanβ
1＋tan2(α2)
tan（α＋β）＝——————
2tan(α2)
1－tanα ·tanβ
tanα＝——————

1－tan2(α2)
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ


半角的正弦、余弦和正切公三角函数的降幂公式

cot（－α）＝－cotα

sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
(其中k∈Z)







式






切公式



二倍角的正弦、余弦和正切三倍角的正弦、余弦和正
公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝
2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα
tan2α＝—————
1－tan2α

三角函数的和差化积公式
α＋β α
－β
sinα＋sinβ＝
2sin———·cos———
1
sinα ·cosβ＝-[sin（α＋

sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－
3cosα
3tanα－tan3α
tan3α＝——————
1－3tan2α

三角函数的积化和差公
式





2 2
β）＋sin（α－β）]
α＋β α
2
－β
sinα－sinβ＝
2cos———·sin———
1
cosα ·sinβ＝-[sin（α＋
β）－sin（α－β）]
2 2 2
α＋β α
1
－β
cosα＋cosβ＝
2cos———·cos———
α＋
β α－β
cosα－cosβ＝－
2sin———·sin———
2 2

化asinα ±bcosα为一个
角的一个三角函数的形式
（辅助角的三角函数的公
式）

cosα ·cosβ＝-[cos（α
＋β）＋cos（α－β）]
2
sinα ·sinβ＝— -[cos（α
＋β）－cos（α－β）]
2

2 2 1





常用数学公式表
公式分类
乘法与因式分解 a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
|a+b|≤|a|+|b|
三角不等式
|a-b|≥|a|-|b|
一元二次方程的解
根与系数的关系
-b+√(b
2
-4ac)2a
X1+X2=-ba
b
2
-4a=0
判别式 b
2
-4ac>0
b
2
-4ac<0
三角函数公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
两角和公式
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA)
tan2A=2tanA(1-tan
2
A)
倍角公式
cos2 a=cos
2
a-sin
2
a=2cos
2
a-1=1-2 sin
2
a
sin(A2)=√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2)
半角公式
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA))
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
和差化积 sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2
某些数列前n项和 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1
3
+2
3
+3
3
+4
3
+5
3
+6
3
+…n
3
=n
2
(n+1)
2
4
正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R
tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
-ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n
2

12
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
2
=n( n+1)(2n+1)6
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径
sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A-B)=(tanA- tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB- ctgA)
ctg2A=(ctg
2
A-1)2ctga
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
-|a|≤a≤|a|
-b-b+√(b
2
-4ac)2a
X1*X2=ca





注：韦达定理
注：方程有相等的两实根
注：方程有一个实根
注：方程有共轭复数根
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
|a-b|≤|a|+|b|
公式表达式
a
3
-b
3< br>=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
|a|≤b<=>-b≤a≤b
余弦定理
圆的标准方程
圆的一般方程
抛物线标准方程
直棱柱侧面积
正棱锥侧面积
圆台侧面积
圆柱侧面积
弧长公式
锥体体积公式
斜棱柱体积
柱体体积公式
b
2
=a
2
+c
2
-2accosB
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2

x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0
y
2
=2px
S=c*h
S=12c*h'
S=12(c+c')l=pi(R+r)l
S=c*h=2pi*h
l=a*r
V=13*S*H
V=S'L
V=s*h
y
2
=-2px
斜棱柱侧面积
正棱台侧面积
球的表面积
圆锥侧面积
a是圆心角的弧度数r >0
圆锥体体积公式

圆柱体
注：角B是边a和边c的夹角
注：（a,b）是圆心坐标
注：D
2
+E
2
-4F>0
x
2
=2py
S=c'*h
S=12(c+c')h'
S=4pi*r
2

S=12*c*l=pi*r*l
扇形面积公式
V=13*pi*r
2
h
x
2
=-2py




s=12*l*r

注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
V=pi*r
2
h