长江大学是几本-何陋之有的之
本讲教育信息】
一. 教学内容:
导数的概念、几何意义及导数公式
[学习目标]
了解平均变化率的 概念和瞬时变化率的意义;了解导数概念的实际背景,体会导数的思
想及其内涵。通过函数图象直观地理 解导数的几何意义。理解导数的定义,能根据导数的定
义,求函数的导数。了解基本初等函数的导数公式 ;了解导数的四则运算法则;能利用导数
公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
[考点分析]
1. 的平均变化率:已知函数在点
则当时,比值
间的平均变化率。
2. 瞬时变化率:设函数
时,函数值相应 地改变
在点
叫做函数在到之
及其附近有定义,令,
附近有定义,当自变量在< br> ,如果当
附近改变
趋近于0时,平均变化率
在点的瞬时变化率。 趋近于一个常数L,则数L称为函数
记作:当
还可以说,当
记作:
3. 导数的定义:函数在
或,即
的瞬时速度就是路程函数
,则,当
时,
时,函数平均变化率的极限等于函数在
=L
的瞬时变化率,通常就定义为
。
在
在
的瞬时变化率 L.
处的导数,记作
注(1)变速运动在
(2)在定义式中,设
的导数
趋近于0时,趋近于
。
,
因此,导数的定义式可写成
(3)若极限
4. 函数
如果函数在开区间
在开区间
不存在,则称函数
内的导函数(导数):
内可导,那么对于开区间
在点处不可导。
的每一个确定的值
都对应着一个确 定的导数,这样在开区间内构成一个新的函数,我们把这一新
函数叫做函数在开区间内的导函数(简称导数),记
或;即:
函数在处的导数就是函数在开区间上
的导数在处的函数值,即=。
注意:导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;
求一个函数在给定 点的导数,就是求导函数值。它们之间的关系是函数
的导数就是导函数
5. 求函数
在点的函数值。
在点处
的导数的一般方法:
。
。
(1)求函数的改变量
(2)求平均变化率
(3)取极限,得导数=。
6. 与连续的关系:如果函数y=f(x)在点x
0
处可导,那么函数y=f(x)在点x
0
处连续,
反之不成立。数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件。
7. 数的几何意义:函数
的斜率。
在点处的导数,就是曲线在点处的切线
由此,可以利用导数求曲线的切线方程。体求法分两步:
(1)求出函数
(2)由切点坐标
特别地,如果曲线
定义,可得切线方程为:
8. 常见函数的导数:
在点处的导数,即曲线在点处的切线的斜率;
。 和切线斜率
在点
,得切线方程为:
处的切线平行于y轴,这时导数不存在 ,根据切线
(1)常函数的导数为0,即
(2)幂函数的导数为
,
,与此有关的如下:
(3),
9. 的和、差、积、商的导数:
(1)和、差的导数:
(2)积的导数:
(3)商的导数:
(4)
,(g(x)≠0)
【典型例题】
例1、物体的运动方程是
时的瞬时速度及物体在一段时间
解:∵
∴
∴
∴
即在
∴
即
∴ 物体在
例2、利用导数定义求函数
时的瞬时速度是
,即
,其中的单位是米,的单位是秒,求物体在
内相应的平均速度。
=
的一段时间内平均速度为
。
。
在处的导数。
解:
∴
∴
即
∴ 函数
例3、求曲线
解:∵
∴
∴
∴ 曲线
即
例4、求过曲线
解:由
在处的导数为
在点(2,4)处的切线方程。
在点(2,4)处的切线方程为
,
上的点
,得
,且与过这点的切线垂直的直线的方程。
∴ 曲线在点的切线的斜率是
故所求直线的斜率为
∴ 所求直线的方程为
即
反思:要求与切线垂直的直线方程,关键是确定切线的斜率,即。
已知曲线上一点的切线这一 条件具有双重含义,在确定与切线垂直的直线方程时,应注
意考察函数在切点处的导数是否为零,当导数 为零时,切线平行于x轴,过切点P垂直于
切线的直线斜率不存在。
例5、已知函数
解:
,判断在处是否可导。
∴
即函数
例6、求下列函数的导数。
(1)
(2)y=3x
2
+x cosx
(3)y=5x
10
sinx-2
(4)y=cotx
解:(1)
(2)y′=(3x
2
+ xcosx)′=(3x
2
)′+(xcosx)′
=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx-xsinx
(3)y′=(5xsinx-2
1010
∴
在处不可导。
不存在
cosx-9
cosx-9)′=(5xsinx)′-(2cosx)′-9′
=5(x)′ sinx+5x(sinx)′-[2(
=5·10xsinx+5xcosx-(
910910
1010
)′·cosx+2(cosx)′]-0
·cosx-2sinx)
=50xsinx+5xcosx-
=(50x
9
+2
cosx+2sinx
)sinx+(5x
10
-
)′
)cosx
(4)y′=(cotx)′=(
例7、求y=·cosx的导数.
分 析:这道题可以看作两个函数的乘积,也可以看作两个函数的商,所以不同的看法有
不同的做法.这道题 可以用两种方法来求。
解法一:y′=(·cosx)′=()′cosx+(cosx)′
解法二:y′=(·cosx)′=()′
例8、已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-
的解析式。 1))处的切线方程为,求函数
解:由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2,
所以
即
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是
,即,
,知
即
解得b=c=-3
故所求的解析式是
。
【模拟试题】
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1. 已知函数
等于( )
A. 4 B.
2. 已知曲线
A. B.
3. 如果质点按规律
A. 3 B. 9 C.
4. 曲线
A.
C.
5. 抛物线
A. B.
C.
的图象上一点(1,
D.
上一点P(1,
C. D.
D. 27
运动,则在
)及邻近一点
),过点P的切线的倾斜角为( )
时的瞬时速度为( )
,则
在点P(4,2)处的切线方程为( )
B.
D.
上何处的切线与直线
C.(1,1) D.
)且与曲线
B.
D.
的夹角是
与
( )
6. 过点P(
是( )
A.
C.
在点M(1,1)处的切线平行的直线方程
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
7. 设
8. 函数
在点处可导,为常数,则
=________________。
= 。
的导数
9. 函数的导数=________________。
,则P
0
点的坐标为 。 10. 曲线在P
0
处的切线平行于直线
三、解答题(本大题共4题,共50分)
11. 利用导数定义求函数
12. 已知点为曲线
在处的导数。
上的一点,曲线在A点处的切线方程为
,曲线斜率为1的切线有几条?它们之间的距离是多少?
13. 已知抛物线
线相切,求的值。
,其中
时,判断是否有极值;
,为参数,且
(),通过点(1,1),且在点()处与直
14. 已知函数
(1)当
(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
,函数在区 间()内(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数
都是增函数,求实数的取值范围。
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