行列式计算公式导数公式的证明最全版

导数的定义：f'(x)=lim ΔyΔx

Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）
用定义求导数公式
（1）f(x)=x^n
证法一：（n为自然数）
f'(x)
=lim [(x+Δx)^n-x^n]Δx
=lim (x+Δx-x)[(x+Δx )^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ
x)+x^(n -1)]Δx
=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+ x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]
=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)
=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）
f(x)=x^n
lnf(x)=nlnx
(lnf(x))'=(nlnx)'
f'(x)f(x)=nx
f'(x)=nx*f(x)
f'(x)=nx*x^n
f'(x)=nx^(n-1)


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（2）f(x)=sinx
f'(x)
=lim (sin(x+Δx)-sinx)Δx
=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx- sinx)Δx
=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)Δx
=lim cosxsinΔxΔx
=cosx

（3）f(x)=cosx
f'(x)
=lim (cos(x+Δx)-cosx)Δx
=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx- cosx)Δx
-cos)Δx=lim (cosx-sinxsinΔx =lim -sinxsinΔxΔx=-sinx

f(x)=a^x ）（4 证法一：f'(x)
-a^x)Δx=lim (a^(x+Δx) 1)Δx=lim a^x*(a^Δx-
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（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）
=lim a^x*mloga^(m+1)
=lim a^x*m[ln(m+1)lna]
=lim a^x*lna*mln(m+1)
=lim a^x*lna[(1m)*ln(m+1)]
=lim a^x*lnaln[(m+1)^(1m)]
=lim a^x*lnalne
=a^x*lna

证法二：
f(x)=a^x
lnf(x)=xlna
[lnf(x)] '=[xlna] '
f' (x)f(x)=lna
f' (x)=f(x)lna
f' (x)=a^xlna
若a=e，原函数f(x)=e^x
则f'(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x
f'(x)

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=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)Δx
=lim loga^[(x+Δx)x]Δx
=lim loga^(1+Δxx)Δx
=lim ln(1+Δxx)(lna*Δx)
=lim x*ln(1+Δxx)(x*lna*Δx)
=lim (xΔx)*ln(1+Δxx)(x*lna)
=lim ln[(1+Δxx)^(xΔx)](x*lna)
=lim lne(x*lna)
=1(x*lna)

若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx
则f'(x)=1(x*lne)=1x
（6）f(x)=tanx
f'(x)
=lim (tan(x+Δx)-tanx)Δx
=lim (sin(x+Δx)cos(x+Δx)-sinxcosx)Δx
=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim
(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx- sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)(Δ
xcosxcos(x+Δx))
=lim sinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))
=1(cosx)^2=secxcosx=(secx)^2=1+(tanx)^2


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（7）f(x)=cotx
f'(x)
=lim (cot(x+Δx)-cotx)Δx
=lim (cos(x+Δx)sin(x+Δx)-cosxsinx)Δx
=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim
(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx- cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)(Δ
xsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔx(Δxsinxsin(x+Δx))
=-1(sinx)^2=-cscxsinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx
f'(x)
=lim (sec(x+Δx)-secx)Δx
=lim (1cos(x+Δx)-1cosx)Δx
=lim (cosx-cos(x+Δx)(ΔxcosxcosΔx)
=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)(Δxcosxcos(x+Δx))
=lim sinxsinΔx(Δxcosxcos(x+Δx))
=sinx(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx
f'(x)
=lim (csc(x+Δx)-cscx)Δx

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=lim (1sin(x+Δx)-1sinx)Δx
=lim (sinx- sin(x+Δx))(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim (sinx- sinxcosΔx-sinΔxcosx)(Δxsinxsin(x+Δx))
=lim -sinΔxcosx(Δxsinxsin(x+Δx))
=-cosx(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'=(xlnx)'
f'(x)f(x)=lnx+1
f'(x)=(lnx+1)*f(x)
f'(x)=(lnx+1)*x^x
（12）h(x)=f(x)g(x)
h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim [(f(x+Δx)-f( x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]Δx
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f( x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+
Δx)]Δx
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)Δx
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

（13）h(x)=f(x)g(x)

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h'(x)
=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))Δx
=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))(Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x) ](Δxg(x)g(x+Δx))
=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g (x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)](Δ
xg(x)g(x +Δx))
=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)(Δxg(x)g(x+Δx)) -(g(x+Δx)-g(x))*f(x)(Δ
xg(x)g(x+Δx))
=f'(x)g(x)(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)(g(x)*g(x))
=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)](g(x)*g(x))x

（14）h(x)=f(g(x))
h'(x)
=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]Δx
=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]Δx
（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）
=lim (f(u+Δu)-f(u))Δx
=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu(Δx*Δu)
=lim f'(u)*ΔuΔx
=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))Δx
=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)
(反三角函数的导数与三角函数 的导数的乘积为1，因为函数与反函数
关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为 1)
（15）y=f(x)=arcsinx

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siny=x 则(siny)'=cosy
所以(arcsinx)'=1(siny)'=1cosy
-(siny)^2 =1√1(siny=x)
-x^2 =1√1-x^2 f'(x)=1√1即(16)y=f(x)=arctanx
tany=x
则(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2
所以(arctanx)'=11+x^2
f'(x)= 11+x^2 即 总结一下'=nx^(n-1) x^n）（'=cosx sinx）（'=-sinx ）
（cosx'=a^xlna ）（a^x'=e^x e^x）（'=1(xlna)
）（loga^x
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（lnx）'=1x
(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2
(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2
(secx)'=tanx*secx
(cscx)'=-cotx*cscx
(x^x)'=(lnx+1)*x^x
(arcsinx)'=1√1-x^2
(arctanx)'=11+x^2
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[f(x)g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)](g(x)*g(x))
[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)


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