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第三章 三角函数
命题探究
(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-
),a∥b,
所以-
cos x=3sin x.
若cos x=0,则sin x=0,与sin
2
x+cos
2
x=1矛盾,故cos x≠0.
于是tan x=-
因为x∈[0,π],所以x+∈
,
从而-1≤cos
.
.
≤
.
于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3;
当x+
=π,即x=
时, f(x)取到最小值-2
.
又x∈[0,π],所以x=
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-
)=3cos x-
sin x=2
cos
.
§3.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
考纲解读
考点
三角函数的概念、
同角三角函数的基
本关系式及诱导公
式
内容解读
来源学科网ZXXK]
要求
五年高考统计
2013
2014
2015
2016
2017
常考题型预测热度
来
源:]
来
源学科网][来源:Z*xx*]
已知角求三角函数值;已
知一个三角函数 值求另
一个三角函数值;三角函
数化简求值
B
填空题
解答题
★★☆
分析解读 同角三角函数的基本关系式和诱导公式这部 分内容,虽然近年江苏高考没有单独出题,但仍需要认真掌握,因为它们是
三角恒等变换的基础.
五年高考
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.(2017北京,12,5分) 在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-
β)= .
答案 -
2.(2016四川,11,5分)sin 750°= .
答案
3.(2016课标全国Ⅲ理改编,5,5分)若tan α=,则cos
2
α+2sin 2α= .
答案
4.(2013课标全国Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan
=
,则sin θ+cos θ= .
答案 -
5.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解析 (1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.
-
,n=(sin x,cos x),x∈ .
即sin x=cos x,又x∈
,所以tan x=
=1.
(2)易求得|m|=1,|n|=
=1.
因为m与n的夹角为,
-
·
cos==
.
·
所以
则sin x-cos x=sin -
=
.
又因为x∈
,所以x-
∈ -
.
所以x-=,解得x=.
教师用书专用(6—7)
6.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin
,x∈R,且f =
.
(1)求A的值;
(2)若f(θ)+f(-θ)=
,θ∈
,求f
解析 (1)f
=Asin
- .
=
,
∴A·=,A=
.
(2)f(θ)+f(-θ)=
sin
+
sin - =
,
∴
- =
,
∴
cos θ=,cos θ=,
又 θ∈
,∴sin θ=
-
=
,
.
∴f
- =
sin(π-θ)=
sin θ=
7.(2013辽宁理,17,12分)设向量a=(
sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈
.
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.
解析 (1)由|a|
2
=(
sin x)
2
+(sin x)
2
=4sin
2
x,
|b|
2
=(cos x)
2
+(sin x)
2
=1及|a|=|b|,得4sin
2
x=1.
又x∈
,从而sin x=
,所以x=.(6分)
(2)f(x)=a·b=
sin x·cos x+sin
2
x
=sin 2x-cos 2x+
=sin -
+
,
当x=∈
时,sin - 取最大值1.
所以f(x)的最大值为.(12分)
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1.(2018江苏金陵中学高三阶段练习)已知sin α=,且α∈
,则tan α= .
答案 -
2.(2018江苏姜堰中学期中)若sin -
=1,则cos = .
答案 -1
3.(2018江苏盐城时杨中学高三月考)已知0
x的值为 .
答案
4.(2018江苏东台安丰高级中学月考)在平面直角坐 标系xOy中,角θ的终边经过点P(-2,t),且sin θ+cos θ=,则实数t的值
为 .
答案 4
5.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)已知sin α=cos
,0<α<π,则α的取值集合为 .
答案
6.(2017江苏泰州中学第一次质量检测)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为 .
答案
7.(苏教必4,一,二,变式)若sin x+cos x=
,那么sin
4
x+cos
4
x的值为 .
答案
8.(苏教必4,一,二,变式)已知f(x)=sin x,则下列式子中成立的是 .
①f(x+π)=sin x;
②f(2π-x)=sin x;
③f -
=-cos x;
④f(π-x)=-f(x).
答案 ③
9.(2016江苏苏州一模,8)已知θ是第三象限角,且sin θ-2cos θ=-,则sin θ+cos θ= .
答案 -
B组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:50分 时间:25分钟)
一、填空题(每小题5分,共20分)
1.(2018江苏海安中学测试)若一个扇形的圆心角为,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 .
答案
2.(2018江苏无锡高三期中检测)已知sin
2
x+2sin xcos x-3cos
2
x=0,则cos 2x= .
答案 0或-
3 .(2017江苏江都中学质检)已知圆O:x
2
+y
2
=4与y轴正半轴的 交点为M,点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N,以射线ON为终边
的角记为α,则tan α= .
答案 1
4.(2016江苏南通一模,10)已知sin
=
,则sin -
答案
+sin
2
- 的值是
.
二、解答题(共30分)
5.(2017江苏六校联考,15)在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个角α,β,它 们的终边分别经过点P,Q,其中
P
,Q(sin
2
θ,-1),θ∈R,且sin α=
.
(1)求cos 2θ的值;
(2)求tan(α+β)的值.
解析 (1)由sin α==
得
cos
2
θ=
,则sin
2
θ=
,所以cos 2θ=cos
2
θ-sin
2
θ=
.
(2)由sin
2
θ=
,cos
2
θ=
,得P
,Q - ,
故tan α=,tan β=-3.
因此tan(α+β)=
=-.
-
6.(2016 江苏常州武进期中,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(x
1
,y
1)在单位圆O上,∠xOA=α,且α∈
.
(1)若cos
=-
,求x
1
的值;
(2)若B(x
2
,y
2< br>)也是单位圆O上的点,且∠AOB=.过点A、B分别作x轴的垂线,垂足为C、D,记△AOC的面积 为S
1
,△BOD的面积为
S
2
.设f(α)=S
1
+S
2
,求函数f(α)的最大值.
解析 (1)由三角函数的定义有x
1
=cos α,
∵cos
=-
,α∈
,
∴sin
=
,
∴x
1
=cos α=cos
-
=cos
cos
+sin
sin
=-×+
×=.
(2)由y
1
=sin α,α∈
,得S
1
=x
1
y
1
=cos αsin α=sin 2α.
易知x
2
=cos
,y
2
=sin
,又由α∈ ,得α+
∈
于是,S
2
=|x
2
y
2
|=-cos
sin
=-sin
,
,
∴f(α)=S
1
+S
2
=sin 2α-sin
=sin 2α-
=sin 2α-cos 2α
=
- =
sin -
,
,
由α∈
可得2α-
∈
于是当2α-=,即α=时,f(α)取最大值,且f(α)
max
=.
C组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 三角函数概念的应用
1.已知角α的终边在直线y=-2x上,则sin α+cos α的值为 .
答案 ±
2.张明做作业时,遇到了这样的一道题:“若已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=
值;若不能,请说明理由.”他对此题百思不得其解.同学们,你们能帮张明求解吗?
解析 由题意,得r=OP=
,
则cos θ==
.
x,问能否求出sin θ,cos θ的值?若能,求出其
∵cos θ=
∴
x,
x.
=
∵x≠0,∴x=1或x=-1.
当x=1时,点P的坐标为(1,3),角θ为第一象限角,
此时,sin θ=
=,cos θ=.
当x=-1时,点P的坐标为(-1,3),此时角θ为第二象限角,
此时,sin θ=
=,cos θ=-.
方法2 “sin α±cos α”与“sin αcos α”的互化
3.已知sin α+cos α=,其中0<α<π,则sin α-cos α的值为 .
答案
实现“双弦齐次式”与“正切”的互化“共赢”
方法3 借tan α=
4.已知
-
=2,则
sin αcos α的值为 .
答案 -
5.已知α∈R,sin α+2cos α=
答案 3或-
,则tan α= .
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