个税的公式诱导公式及其运用

诱导公式及其运用
[学习目标]

了解诱导公式的推导；熟记诱导公式；熟练运用诱导公式解决问题。
[重点难点]
诱导公式的熟练运用。
[知识结构]
一、诱导公式的推导
当 角的概念作了进一步的推广之后，求任意角三角函数值的问题，主要运用诱导公式将之转化为锐角三角
函 数的求值。
由任意角三角函数的概念，可知终边相同的角的同名三角函数值相等。而终边相同的 角的大小一定相差2π
的整数倍，故有第一组诱导公式:（诱导公式一）


通过诱导公式一，可将任意角的三角函数值转化成一个周内角β(β∈[0, 2π))的三角函数值。
我们还需要将任意一个周内角β的三角函数值转化成锐角三角函数值。对于满足的β，
可令β=π-α ()或；对于满足的角β，可令β=π+α()或
；对于满足的角β，可令β=2π-α()或；
当β为0，这些轴上角时，可特殊情况特殊处理，直接由定义得出它们的三角函数值。综上，就可以将
任意一个周内角三角函数的求值问题解决了。
1. π+α与α
如图，在同一坐标系中做出角α与角π+α。
易知:角α终边OP
1
与角π+ α终边OP
2
在同一条直线上，且点P
1
与P
2
关于原点对
称。分别作α与π+α的正弦线与余弦线，显然有 M
1
P
1
=-M
2
P
2
, OM
1
=-OM
2
,
故有
∴

我们将以上四个公式并为一组，称为诱导公式二。
2．下面我们先来观察- α与α角三角函数关系。
若α终边为OP
1
，P
1
为α终边 与单位圆交点，-α角终边OP
2
，P
2
为-α终边与单位圆交点，显然，P
1
与P
2
两
点关于x轴对称。
分别作α与- α的正弦线与余弦线（如图），易知MP
1
=-MP
2
，OM=OM，
故有 sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
由
有 tan(-α)=-tanα
从而有 cot(-α)=-cotα
我们将上面四式称为诱导公式三。
3．π-α与α
，
类似地，通过作图，可以发现π- α终边与α终边关于y轴对称，故易有诱导公式四:

4. 与α。
学习了两角和与差三角函数公式后，易得诱导公式五、六、七、八:
sin(π2+α)=cosα, cos(π2+α)=-sinα
tan(π2+α)=-cotα,cot(π2+α)=-tanα （公式五）



二、公式的记忆

有记忆口诀如下:“奇变偶不变，符号 看象限”。所谓“奇”，指括号内前角为的奇数倍，如诱导公式五、
六、七、八；所谓“变”，指当括号 内前的角为的奇数倍时，右面的三角函数名称要变为与符号左边三角函
数名互余的名称，如左正弦右余弦 ，左余切右正切；所谓“偶不变”，指当括号内前角为的偶数倍时，如诱
角看导公式一、二、三、四，三 角函数名称不变，左右应一致；所谓“符号看象限”，指诱导公式中等号左边
成锐角，角所在象限的其三 角函数值的符号，即为等号右边所加的符号。如cos(π-α), 将α看成锐角，
则π- α是第二象限角，余弦值为负，故cos(π-α)=-cosα。
三、诱导公式的运用
求任意角三角函数值的问题，都可通过诱导公式，化归为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负 角化正
角”→“正角化周内角”→“周内角化锐角”→求值。
[典型例题分析]
例1．计算
解:原式=

。

例2．已知，求的值。
分析:观察题目中各角关系，注意到。
解:



例3．已知
求(1) sinα- cosα的值；(2) sin
3
(2π-α)+cos
3
(2π-α)的值。

分析:由最简化原则，应对已知等式进行化简。由已知有
(1) 欲求sinα- cosα, 考虑到(sinα+cosα)
2
+(sinα- cosα)
2
=2
。
∴
∵
(2)∵
, ∴ sinα>0, cosα<0。∴ sinα-cosα>0, ∴

。
而

例4．(1)已知，求sin(α-9π)的值。
(2)已知，求的值。
解:(1)由， 得，
若α是第一象限角，则sin(α-9π)=-sin(9π-α)=-sin(π-α)；
若α是第四象限角，则sin(α-9π)=。
(2)注意到∴
例5．化简
解:原式
(1) 当n为奇数时，设n=2k+1, k∈Z。

则原式

注意到 ∴ 上式

当n为偶数时，证n=2k, (k∈Z)。
则原式

例6．设
解:先化简f(θ)。
, 求。

∵
例7．ΔABC中，若
解:由已知:

,求ΔABC的三个内角。
.....(1) ....(2)
(1),(2)两式左右两边同时平方相加得: sin
2
A+3cos
2
A=2sin
2
B+2cos2
B=2
∴ 1+2cos
2
A=2, ∴ , ∴ 。
当时，由(2)式，，∴ 。
当时，由(2)式，，∴ 这时A+B>π，不合题意。
综上，
例8．已知
。

解:∵ |cos(π-θ)|=|cosθ|=cosθ, ∴ cosθ≥0,
∵
∴
, ∴ tanθ=-α
2
≤0。∴ θ为第四象限角或θ角终边在x轴上。
。