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word如何编辑公式倍角和半角公式汇总

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-09 23:29
tags:二倍角公式

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倍角和半角公式

田云江
[基本要求]
掌握倍、半角公式,并能熟练地正用、逆用和变用。
[知识要点]
1、二倍角公式
在S
α+β
,C
α+β
,T
α+β
中含α=β得到:
S

: sin2α=2sinαcosα
C

: cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα
2222
T

: tg2α=
说明:①在运用二倍角 公式时,要注意不仅限于2α是α的二倍的形式,还有
如4α是2α的二倍,3α是的二倍,α+β是的 二倍等。
②由二倍角公式可以推出如下变形公式:(1)降幂公式:
sinαcosα= ,sinα=,cosα=,如需讨论函数性质如
求函数的值域、最值、单调区间,周期、画图等,一般 利用降幂公式化函数为
y=Asin(ωx+φ)+B或Acos(ωx+φ)+B形式,(2)升幂化 积公式:
1+cosα=2cos
2,
22
1-cosα=2sin
2
如遇开方,用此公式较方便,
(3)cosα=,如求coscos的值,求cos20°c os40°cos60°的值等用
此公式就非常简便。
2、三倍角公式: sin3α=3sinα-3sinα, cos3α=4cosα-3cosα
3、半角公式:
33
: sin=±
: cos=±
: tg=± ,
:tg==
对于半角公式,必须明确,“半角”是相对而言,不能认为
是4α的 半角,α是3α的半角,反之
二倍角公式与半角公式是互逆的。
,5α分别是,
才是半角如2α
的倍角,因此
对于半角公式中根号前的双 重符号,它取决于所在的象限,若没有给出决定
的所符号的条件,则在根号前保留正负号;若α属于某一 给定区间,则先求出
在范围,然后根据

所在范围选用符号。
无“土”号和根式 ∴在化简证明中更常用
4、万能公式
sinα= cosα= tgα=
说明:①从左到右,α范围变小
②右端周期均为2π
5、合一变形
①asinx+bcosx=(sinx+cosx)
=(sinxcosφ+cosxsinφ)
=sin(x+φ)
sinφ=
其中
φ由

确定或由tgφ=及点(a,b)所在象限(即角φ所在象限)确定

cosφ=


②asinx+bcosx=(sinx+cosx)
=(sinxsinφ+cosxcosφ)
=cos(x-φ)
sinφ=
其中φ

{

确定或由tgφ=及点(b,a)所在象限(即角φ所在象限)确定
cosφ=
[例题选讲]
1、已知α是第三象限的角,sinα+cosα=
44
,求s ni2α,cos2α,tg2α的值
解:∵(2k+1)π<α<2kπ+ (k∈z)
∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π (k∈z)
又∵sinα+cosα=(sinα+cosα)-2sinαcosα
4422222
∴1-sin2α=
2
∴sin2α= ∴sin2α=
2

∴cos2α=
∴tg2α=
2、求sin10°sin50°sin70°的值

解:sin10°sin50 °sin70°=cos20°cos40°cos80°=
cos40°cos80°=
4< br>cos80°=
4
=
3、求函数y=cosx-sinx的最小正周期
解:y=cosx-sinx=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cos2x
∴周期T=π
4、求值
442222
①已知sin- cos=-,450°<θ<540° 求tg的值
②已知7cos2α+5sin2α=5 求tgα的值
③已知= 求cosθ的值
④已知=-5 求3cos2θ+4sin2θ的值
解①:∵sin-cos=- 两边平方
∴1-2sincos= ∴sinθ=
∵450°<θ<540° ∴cosθ=- =-
∴tg== 又112.5°<<135°
∴tg== 又tg<0
∴tg=
②由万能公式及已知有

2
+5×=5
2
即7-7tgα+10tgα=5+5tgα
即6tgα-5tgα-1=0
2
∴tgα=-或1
③ctg===== (等比定理)
∴tg=2
∴cosθ==-
④解由万能公式:
3cos2θ+4sin2θ=+

∴tgθ=2
==-5
∴3cos2θ+sin2θ=
22
=
2
5、若tgα=2tgβ+1 求证 cos2α+sinβ=0
证明:∵tgα=2tgβ+1
∴1+tgα=2(1+tgβ)
22
22
∴secα=2secβ ∴
∴cosβ=2cosα
∴1-cosβ=1-2cosα
∴sinβ=-cos2α
∴cos2α+sinβ=0
2
2
22
22
22
=
[自我检测]
1、如果函数y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正实数ω的值等于
( )
A、4 B、2 C、 D、
2、的值是( )
A、sin2 B、-cos2 C、cos2 D、-cos2
3、已知sin= cos=-则角α在第( )象限
A、一 B、二 C、三 D、四
4、若<α<2π则等于( )
A、cos B、-sin C、-cos D、sin
5、化简得( )
A、tg2α B、ctg2α C、tgα D、ctgα
6、如果|cosθ|=,<θ<3π ,则sin的值( )
A、- B、 C、- D、
7、X∈[
A、1+
,π]且sinxcosx=-,则tg等于( )
B、-1 C、1± D、-1
8、化简得( )
A、ctg B、ctg(-) C、tg D、tg(-)
9、已知2sinθ=1+cosθ则ctg的值为( )
A、2 B、 C、或0 D、2或0
10、已知sin(θ-)= 则等于( )
A、 B、± C、 D、±
[参考答案]
1、D 2、D 3、C 4、C 5、B 6、C 7、A 8、B

、D 10、B 9

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