裂项公式一元三次方程求根公式

一元三次方程求根公式
目录
盛金公式
盛金判别法
盛金定理
传统解法
方程公式历史
一元三次方程求根公式
1. 卡尔丹公式的推导
2. 卡尔丹公式
3. 卡尔丹判别法
根与系数的关系
一个三次方求根计算方法
一元三次方程置换群解法
盛金公式
三次方程新解法——盛金公式解题法
三次方程应用广泛。用根 号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公
式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺 乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的
一般式 新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）
一元三次方程aX
3
+bX
2
+cX+d=0，（a，b，c， d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b
2
－3ac；B=bc－9ad；C=c
2
－3bd，
总判别式：Δ=B
2
－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b(3a)=－cb=－3dc。
















当Δ=B
2
－4AC>0时，盛金公式②：
X1=(－b－(Y1)
13
－(Y2)
13
)(3a)； X2，X3=(－2b+(Y1)
13
+(Y2)
13
)(6a)±3< br>12
((Y1)
13
)－(Y2)
13
)i(6a)， < br>其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B
2
－4AC)
12
)2，i
2
=－1。
当Δ=B
2
－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－ba+K；X2=X3=－K2，
其中K=BA，(A≠0)。
当Δ=B
2
－4AC<0时，盛金公式④：
X1=(－b－2A
12
cos(θ3))(3a)；
X2，X3=(－b+ A
12
(cos(θ3)±3
12
sin(θ3)))(3a)，
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)(2A
32
)，(A>0，－1
盛金判别法





盛金定理
盛金定理（Shengjin's Theorems）
当b=0，c=0时，盛金公式①无意 义；当A=0时，盛金公式③无意义；
当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公 式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否
存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如
下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一
个三重实根0，盛金公 式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公
式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公
式②解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式
①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值
（此时，适用盛金公式③解题） 。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，
适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，
即T出现的值必 定是-1 显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。




盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）
① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；
② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方
程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式
相比较，盛金公 式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较
高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别 式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；
C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的 总判别式Δ=B^2－4AC也
是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判
别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B
2
－4AC)^(12))2具有一元二 次
方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简
洁美。
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，
第2期；1989年12月，中国海 南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98
页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新 判别法。（NATURAL SCIENCE
JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol.
2, No. 2；Dec，1989）,
A new extracting formula and a new distinguishing
means on the one variable cubic equation.，
Fan Shengjin. PP·91—98 .

传统解法



一元
三次ax^3 +bx^2+cx+d=0可用求根公式x= 求解，它是由方程 系数
直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花
木子米给出。南 宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的
求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是
以那个欧洲人的名字来命名的。 （《数学九章》等）

一元三次方程求根公式
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来 的，用类似解一元二次方
程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型 一元三次方程形式化
为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导
第一步：
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便，约去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k3 ，
代入方程(y-k3)^3+k(y-k3)^2+m(y-k3)+n=0 ，

(y-k3)^3中的y^2项系数是-k ，
k(y-k3)^2中的y^2项系数是k ，
所以相加后y^2抵消 ，
得到y^3+py+q=0，
其中p=(-k^23)+m ，
q=(2(k3)^3)-(km3)+n。
第二步：
方程x^3+px+q=0的三个根为：
x1=[-q2+((q2)^2+(p3)^3)^(12)]^(13)+
+[-q2-((q2)^2+(p3)^3)^(12)]^(13)；
x2=w[-q2+((q2)^2+(p3)^3)^(12)]^(13)+
+w^2[-q2-((q2)^2+(p3)^3)^(12)]^(13)；
x3=w^2[-q2+((q2)^2+(p3)^3)^(12)]^(13)+
+w[-q2-((q2)^2+(p3)^3)^(12)]^(13)，
其中w=(-1+i√3)2。
×推导过程：
1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-12+i√32=ω，x3=-12-i√32=ω^2 ；
2、方程x^3=A的解为x1=A^(13)，x2=A^(13)ω，x3=A^(13)ω^2 ，
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成
x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
再令x=y-s3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，
如果u和v满足uv=-p3,u^3+v^3=-q则①成立，
由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p3)^3=0的两个根。
解之得，y=-q2±((q2)^2+(p3)^3)^(12)，
不妨设A=-q2-(( q2)^2+(p3)^3)^(12),B=-q2+((q2)^2+(p3)^3)^(12)，
则u^3=A；v^3=B ，
u= A^(13)或者A^(13)ω或者A^(13)ω^2 ；
v= B^(13)或者B^(13)ω或者B^(13)ω^2 ，
但是考虑到uv=-p3，所以u、v只有三组解：
u1= A^(13)，v1= B^(13)；
u2=A^(13)ω，v2=B^(13)ω^2；
u3=A^(13)ω^2，v3=B^(13)ω，
最后：
方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1=A^(13)+B^(13)；
x2=A^(13)ω+B^(13)ω^2；
x3=A^(13)ω^2+B^(13)ω。
卡尔丹公式
方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）
判别式△=(q2)^2+(p3)^3。
x1=A^(13)+B^(13)；
x2=A^(13)ω+B^(13)ω^2；
x3=A^(13)ω^2+B^(13)ω。
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹判别法
当△=(q2)^2+(p3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；
当△=(q2)^2+(p3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；
当△=(q2)^2+(p3)^3<0时，有三个不相等的实根。

根与系数的关系
设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则
x1+x2+x3=-ba；
x1x2+x2x3+x1x3=ca；
x1x2x3=-da。

一个三次方求根计算方法
下面介绍一个三次方求根计算方法：
X(n+1)=Xn+[AX^2-Xn）13
n,n+1是下角标，A被开方数。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次 方之间。X0可以取1.1；1.2；
1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2 .0我们可以随意代入一个数，例
如2，那么：
第一步，2+[5（2×2）-2]×13=1.7=X1；
第二步，1.7+[5(1.7×1.7)-1.7]×13=1.71=X2；
第三步，1.71+[5(1.71×1.71)-1.71]×13=1.709=X3；
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

一元三次方程置换群解法
一元三次方程 系数和根的关系如下：

求出X,Y，后有


这是个线性方程，其中

为原方程的三个根！

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