结尾的作用-水解反应条件
主讲：黄冈中学高级教师
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax
2
＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b
2－4ac≥0时的根为
．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，
简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax
2
＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b
2
－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b
2
－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是
在对四种 方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“
得多余的了。
”类型的题目，如果用“公式法”就显
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非 常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简
化作用，思考于“因式分解法”之后，“ 公式法”之前。如方程
则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确 了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实
；用因式分解，
，就易
根，就一定可 以用求根公式求出根，但因为要代入
某些特殊方程，解法又显得复杂了。
(≥0)求值，所以 对
2、在运用b
2
－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b
2
－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时 ，才能确定a、
b、c，求出b
2
－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b
2
－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以
总结：
．
(1)用求根公式 法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通
常将其化为正数；如果方程的系 数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好 特殊方
法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴ 公式法是最一般的方法， 只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实
根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要 代入一元二次方程的求根公式求
值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如①，可以直接开平方，就能 马上得出解；若此时
还用求根公式就显得繁琐了。
⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在 解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不
用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中 的一次项系数有因数是偶数，则可使用，
计算量也不大。如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中 一次项系数是-2。可以利用用配
方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。
⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是 解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，
若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系 数较大难以分解时，应考虑变换
方法。
解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以 =4＋20=24
所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各 题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方
法，下面给出常规思考 方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax
2
－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax
2
－3x＋ 1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两
种情况．
例4、已知一元二次方程x
2
－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x
2－4x＋k=0与x
2
＋mx－1=0有一个相
同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x
2
－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b
2
－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x
2
－4x＋3=0 ，解得x
1
=1，x
2
=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3
有两个整数根求m
解：
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。
∵3
∴m的值可以为4，12，24。
，
当m=4时方程为 解得x=2或x=8
当m=12时方程为 解得x=26或x=16
当m=24时方程为 解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确 定2m＋1是完全平方数，再由3
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