等额本息 计算公式边数、顶点数及面数之间的数量关系教案

边数、顶点数及面数之间的数量关系
教学目标
1.了解平面中的欧拉公式和欧拉多面体公式。
2. 通过小组合作探究的方式经历探索欧拉公式的过程,体会从特殊
到一般的数学思想。
3.初步体验数学来源于生活，又为生活服务。

教学重点和难点
探索欧拉公式的过程,体会从特殊到一般的数学思想。

教学用具准备
每个学生准备好长方体土豆或萝卜或黄瓜 多媒体
教学过程设计








探究多边形的边通过实例，自然引
出扇形的定义 数、顶点数及面数
的数量关系
了解平面中的
欧拉公式
了解欧
拉的生
平
探究欧拉多
面体公式
布置课后探究题
课堂小结
让学生了解欧
拉公式的应用
一、 引入
我们知道三角形有三条边，三个顶 点；四边形有四条边，四个顶
点；如果我们将边围成的封闭区域称为面，那么三角形、四边形都只
有一个面。如果出现的是五边形、六边形甚至于n边形呢？
同学们考虑过它们的边数、顶点数及面数之间的数量关系吗？
二、新知识的探索
探究一：
1、学生活动卡（1）:填写下面表格
1


多边形
三角形
四边形
五边形
六边形







顶点数V





面数F





边数E





V+F-E
2、展开想象的翅膀：

四边形可以看作是三角形切去一个角以后构成的图形，则顶点数+1，
面数不变，边数+1，最 后：顶点数+面数-边数不变，依此类推。
得出平面中的欧拉公式：V+F-E=1

3、介绍欧拉的故事
探究二：
在空间有没有类似的公式呢？
即简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间的关系是怎样的
呢？
长方体的顶点数、面数和棱数告诉我们：V+F-E=2
我们将通过一刀切去一个长方体后所得到的多面体的顶点数V、面数
2

E和边数F（即棱）的关系作简单的探究。
学生以小组活动的方式依次完成下列表格，每张表 格填写完成之后老
师再用几何画板作演示，让学生们真正理解三个量之间的变与不变，
体验欧拉 公式的验证过程。
学生活动卡（2）: 切去长方体的一个角
多面体





学生活动卡（3）: 切去长方体的两个角
多面体





学生活动卡（4）: 切去长方体的三个角或四个角
多面体



顶点数V








面数F




边数E




V+F-E
顶点数V








面数F




边数E




V+F-E
顶点数V




面数F


边数E


V+F-E
3

简单多面体的顶点数V、面数F及边数E间有关系： V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。 公式描述了简单多面体顶点数、面数、边数
特有的规律。
三、练一练：完成下列表格
多面体
六面体
七面体
八面体
四、盘点收获
这节课中我们有哪些收获呢？
五、课后探究：
（1）欧拉公式的多种证明 ；
（2）欧拉公式的应用 ：
足球表面由五边型和六边 型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的
五边型和六边型？ （用欧拉公式解答）

12
顶点数V
8
7
8
面数F 边数E
12
14
V+F-E
2
2
2
4