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高二数学欧拉公式
教学目标：
1、了解简单多面体的概念，掌握多面体的欧拉公式。
2、会用欧拉公式解题，了解欧拉公式的证明方法。
3、通过学生的主动参与，培养他们观察发现规律并证明所
得猜想的能力
教学重点：简单多面体的欧拉公式
教学难点：简单多面体概念，欧拉公式的应用
教学过程
复习引入
⑴什么是多面体?多面体的面?多面体的棱?多面体的顶点?
问题1：课本P52有5个多面体，试分别写出它们的顶点数
V，面数F和棱数E
⑶观察上述数据，写出你发现的规律
二.新课讲解
欧拉公式
问题2：从 上看出有V+E-F=2,再看课本P57表格上方的几个
多面体，分别写出它们的顶点数V，面数F和 棱数E，并回
答它们是否满足上面的规律。
问题3：若上面的多面体的表面都是用橡皮簿膜制 作的，并
且可以向它们的内部充气那么那些多面体能够连续变形，最
后其表面可变为一个球面? 那些变为环面?那些变为对接的
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球面?
简单多面体：在连续的变形中，表面可变为一个球面的多面
体，叫做简单多面体
思考 ：前面的多面体中那些是简单多面体?棱锥，棱柱，正
多面体，凸多面体是不是简单多面体?
将问题1、2、3联系起来，能得出什么猜想?用式子表示你
的猜想?
V+F﹣E=2此公式叫做欧拉公式
二、欧拉公式的证明
⑴将多面体转化为由多边形组成的平面图形
⑵变形中的不变量
⑶计算多边形的内角和
①设多面体的F个面分别是n1,n2,nF边形，各个面的内角
总和是多少?
②n1+n2++nF和多面体的棱数E有什么关系?
③设图中的最大的多边形为m边形，则 它的内角和是多少?
它的内部包含的其他多边形的顶点数是多少?所有其他多边
形内角总和是多 少?
④图中所有多边形的内角总和是多少?它是否等于
(V-2)360?
从上有(E-F)360=(V-2)360
所以V+F-E=2
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三、欧拉公式的应用
例1.(1)一个凸多面体的各个面都为五边形，则E与F的关
系为
V与F的关系为
(2)一个凸多面体的各个顶点都有三条棱相交，则E与V的
关系为
(3)一个凸多面体的各个面都为五边形，各个顶点都有三条
棱相交，求E、F、V
例2.(1)C60是由60个原子组成的分子，它结构为简单多面
体形状。这个多面体有60个顶点， 从每个顶点都引出3条
棱，各面的形状为五边形或六边形两种，试计算C60分子中
形状为五边 形和六边形的面各有多少种?
(2)有没有棱数为7的简单多面体?
四、练习：求证：如果间单多面体的所有面都是有奇数条边
的多边形，那么面数为偶数。
欧拉

著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过.他
16岁获 得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习
数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家. 在世发
表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表.其论著几
乎涉及所有数学分支.他 首先使用f(x)表示函数，首先用表
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示连加，首先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究
中，首先发现并证明欧拉公式.


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