物理学公式五年级数学培优之发现规律巧求和

第七讲 发现规律巧求和

知识要点与学法指导：
1. 通过学习求给 定的数列的和，分析按一定规律排列的数字，
提高学生归纳概括的能力，提高学生运用所学知识解决问题 的能力。
并掌握求奇数列、偶数列的和的方法。
2. 培养学生从多方位、多角度观察事物，发现规律，并按规律
解决问题的能力
3．有关数列的计算公式：
等差数列：项数＝（末项－首项）÷公差＋1
和＝（首项＋末项）×项数÷2
等比数列： 和＝（数列各项×公比－原数列）÷（公比－1）

数列3、6、12、24、48…是一个 等比数列。在这一数列中，从
第二项开始每一项是前一项的2倍，或者说，后一项除以前一项的
商都相等，我们称这个商为公比。
例1
计算：
（1）10＋11＋12＋13＋……＋89＋90
（2）4＋7＋10＋13＋16＋……＋403
【
分析与解
】
（1）第一小题是一个连续的自然数列，也是一个等差数列。首
项是10，末项是90，公差是1，一共 有80项，我们可以直接用等差
数列的求和公式：
（10＋90）×80÷2
＝100×80÷2
＝4000
（2）第二小题也是一个等差数列，首项是4，末 项是403，公
差是3。但项数较多不容易看出来，因此要先用项数公式求出项数，
再用求和公 式求和。
1
项数＝（403－4）÷3＋1 和＝（4＋403）×134÷2
＝399÷3＋1 ＝407×134÷2
＝133＋1 ＝54538÷2
＝134 ＝27269
试一试1
计算：（1）5＋10＋15＋……＋50
（2）8＋16＋24＋32＋……＋248

例2
计算：
(1)3＋6＋12＋24＋48＋96＋192
(2)l＋5＋25＋125＋625＋3125
【
分析与解
】
（1）第 一小题3＋6＋12＋24＋48＋96＋192是一个公比是2的
等比数列。求这个数列的和，可以借 助我们学过的消去的方法。
第一步：先把这个数列的每一项乘以公比2。
得到算式：
（3＋6＋12＋24＋48＋96＋192）×2
＝6＋12＋24＋48＋96＋192＋384 ①
通过观察①式和原数列，不难发现：①式是原数列的2倍，
用①式减去原数列就是原数列的和。
第二步：用①式减去原数列。
即：原式＝ （3＋6＋12＋24＋48＋96＋192）×2
－（3＋6＋12＋24＋48＋96＋192）
＝384－3
＝381
（2）这也是一个求等比数列的和，可以仿照第一小题的 做法，
把数列的每一项都乘以公比5。就可以找到一个相当于求1＋5＋25
＋125＋625 ＋3125的和5倍的算式，这一等比数列的每一项与原题
中从第二项开始的每一项相同，即可以用消去 的方法求出原题的和。
即：原式＝ [(1＋5＋25＋125＋625＋3125) ×5
2
一(1＋5＋25＋125＋625＋3125)]÷（5—1）
＝ [(5＋25＋125＋625＋3125＋15625)
一(1＋5＋25＋125＋625＋3125)]÷4
＝（15625－l）÷4
＝15624÷4
＝3906
请同学们想一想，为什么1 5624要除以4才是原式的结果呢?请
总结一下上题这样的等比数列求和的方法。
这样的等 比数列求和的方法是：把数列的每一项都乘以公比，
用这个相当于所求数列的和公比倍的算式与所求数列 消去，得的和
即是所求数列和的(公比一1)倍，从而再计算出所求数列的和。
即 和＝（数列各项×公比－原数列）÷（公比－1）
也就是 和＝（末项×公比－首项）÷（公比－1）
试一试2
（1）用等比数列的求和公式计算例1的（1）小题。
（2）1＋3＋9＋27＋81＋243＋729

例3
计算小于100的所有奇数的和。
【
分析与解
】
本题实际上是计算下面算式的结果：
l＋3＋5＋…＋95＋97＋99＝? 这是一个从1开始的奇数列，当然可以用等差数列的求和方法
来计算。如果我们再仔细观察一下就会 发现这里还有规律可循。在
这个数列中：
前两项：1＋3＝4＝2×2
前三项：l＋3＋5＝9＝3×3
前四项：l＋3＋5＋7＝16＝4×4
前五项：l＋3＋5＋7＋9＝25＝5×5
如果我们把前五项与一个5×5的网格图结合起来看，不 难发现
2
1＋3＋5＋7＋9＝25＝5。（如下图所示）
3






2
也就是说，从1开始连续N个奇数之和恰好等于N，这样计算
起来就更简单了。
2
解： 1＋3＋5＋…＋95＋97＋99＝50＝2500
如果是一个从2开始 的偶数列，例如计算2＋4＋6＋8＋10＝?
都有怎样的计算方法呢?请你自己试一试，并总结规律! 从2开始连
续N个偶数之和是N×（N＋1）。

试一试3
计算（1）1＋3＋5＋……＋25＝
（2）2＋4＋6＋8＋……＋100＝
从以上练 习我们可以得出：计算一个从1开始的连续奇数列的
和，等于这个奇数列的项数的平方；计算一个从2开 始的连续的偶
数列的和，等于这个数列的项数×（项数＋1）。

例4
计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋l
【
分析与解
】
可以把它看成两个等差数列来求和，即分别求1＋2＋3＋4 ＋5
＋6＋7＋8与7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的和，再把结果相加。也可以先
求出l＋2＋ 3＋4＋5＋6＋7＋8的和，再乘以2，这样实际上等于多
加上了一个8，再减去就可以了，列成算式 是：(1＋8)×8÷2×2—8
＝64。还可以把相同的数相加，组成一个新的数列。
(1＋1)＋(2＋2)＋(3＋3)＋(4＋4)＋(5＋5)＋(6＋6)
＋(7＋7)＋8
＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋8
4
组成的新数列的前七项正好是 一个偶数列，利用上题我们学习
的偶数列的计算方法算出前七项的和，再加上8就可得到计算的结
果：
2＋4＋6＋8＋lO＋12＋14＋8＝7×8＋8＝64
算到这里同学 们一定发现了什么?好像这样的数列还有规律可
循。我们可以把1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋ 6＋5＋4＋3＋2＋l
的和与8×8的方格网中小正方形的个数对应起来，如下图。








每一斜行中小正方形的个 数正好是1、2、3、4、5、6、7、8、7、
6、5、4、3、2、l 个。所以，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋7＋6＋5
＋4＋3＋2＋l的和是8×8＝64。
请总结一下这种数列的特征，并归纳一下求和的方法：
2
1＋2＋3＋4＋……＋N＋(N－1)＋(N－2)＋……＋1＝N
（N为自然数）
试一试4
计算：1＋2＋3＋4＋……＋11＋10＋9＋8＋……＋1

例5
计算l＋2－3＋4＋5－6＋7＋8—9＋…＋97＋98－99＝?
【
分析与解
】
让我们仔细观察，这实际上是一列自然数列。可以把每三项看
成一组，每组前两项相加，再减去第三项。计算出每组的结果，我
们会发现它是一个等差数列， 3＋6＋9＋…96，只要计算出这个等差
数列的和就可以了。
5
1＋2—3＋4＋5－6＋7＋8—9＋…＋97＋98—99
＝(1＋2－3)＋(4＋5—6)＋(7＋8－9)＋…＋(97＋98－
99)
＝0＋3＋6＋9＋…96
＝(3＋96)×32÷2
＝1584 认真观察所给数列，发现规律，按规律对原数列进行重新分拆
与组合，变繁为简，是一种有效的方法 。
试一试5
计算：1＋2＋3—4＋5＋6＋7—8＋9＋10＋11—12＋……＋97＋
98＋99—100

例6
计算：1
2
＋2
2
＋3
2
＋4
2
【
分析与解
】
计算 1＋2＋3＋4＋……＋N，的计算方法是：
1＋2＋3＋4＋……＋N＝
即：1＋2＋3＋4
＝
＝
＝
4×（4+1）×(2×4+1)

6
4×5×9

6
180

6
222 2
22222
22222
N×（N+1）×(2N+1)

6
＝30

试一试6
2222
计算：1＋2＋3＋……＋10

例7
计算：
6
123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345＝?
【
分析与解
】
本题中六个加数都是由1、2、3、4、5、6六个数字组成的，而
且排列是非常有规律的。
我们知道123456可以表示成l×100000＋2×10000＋3×1000
＋4×1 00＋5×10＋6×l。整个算式六个数的和就应当是(1＋2＋3＋
4＋5＋6)×100000＋ (1＋2＋3＋4＋5＋6)×10000＋(1＋2＋3＋4＋
5＋6)×1000＋(1＋2＋3＋ 4＋5＋6)×100＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)×
10＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)×1，整理 一下，就可以得到结果。
123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×(100000＋10000＋1000＋100
＋10＋1)
＝233333l
试一试7
34567＋45673＋56734＋67345＋73456


练习七

计算下面各题。
1.2＋6＋10＋14＋18＋……＋502
2．1＋8＋15＋22＋29＋……＋211
3．2＋6＋18＋54＋162＋486
4．1＋4＋16＋64＋256＋1024
5．2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＋256
6．1＋3＋5＋……＋195＋197＋199
7．2＋4＋6＋……＋196＋198＋200
8．2＋6＋10＋14＋18＋……＋198
7
9．1＋2＋3＋4＋……＋10＋9＋8＋……＋1
10．1＋2＋3＋4＋……＋30＋29＋28＋……＋1
11．30＋29—28＋27＋26—25＋24＋23—22＋……＋3＋2—1
12．2002—2000＋1998—1996＋……＋6—4＋2
13．100＋99＋ 98—97—96—95＋94＋93＋92—91—90—89
＋……＋10＋9＋8—7—6—5＋ 4＋3＋2—1
2222
14．1＋2＋3＋……＋8
2222
15．1＋2＋3＋……＋30
16．45678＋56784＋67845＋78456＋84567
17．12345＋23451＋34512＋45123＋51234
18．89＋899＋8999＋89999＋899999
19．（2＋4＋6＋……＋9 6＋98＋100）—（1＋3＋5＋……＋95
＋97＋99）

















8

9