交通的古义和今义-吾观自古贤达人
考点规范练30 等比数列及其前n项和
基础巩固
1
.
已知等比 数列{
a
n
}满足
a
1
=
,
a
3
a
5
=
4(
a
4
-
1),则
a< br>2
=
(
)
A.2
A.
A.
S
n
=
2
a
n
-
1
C.
S
n
=
4
-
3
a
n
A.7
A.
n
(
n+
1)
C.
为
.
7
.
设数列{
a
n< br>}的前
n
项和为
S
n
,若
S
2
=< br>4,
a
n+
1
=
2
S
n
+
1,
n
∈N,则
a
1
=
,
S
5
= .
8
.
(201 7江苏,9)等比数列{
a
n
}的各项均为实数,其前
n
项和为S
n
.
已知
S
3
=
,
S
6< br>=
,则
a
8
= .
9
.
已知{
a
n
}是公差为3的等差数列,数列{
b
n
}满足
b
1
=
1,
b
2
=
,
a
n
b
n+
1
+b
n+
1
=nb
n
.
(1)求{
a
n
}的通项公式;
(2)求{
b
n
}的前
n
项和
.
10
.
已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
S
4
=
4(
a
3
+
1),3
a
3
=
5
a
4
,数列{
b
n
}是等比数列,且
b
1
b
2
=b
3
,2
b
1
=a
5< br>.
*
B.1
B.9
B.
S
n
=
3
a
n
-
2
D.
S
n
=
3
-
2
a
n
B.5
B.
n
(
n-
1)
D.
C.
2
D.
D.3
5
2
.
在正项等比数列{
a
n
}中,
a
2
,
a
48
是方程2x-
7
x+
6
=
0的两个根,则
a
1
·
a
2
·
a
25
·
a
48
·a
49
的值为(
)
C.
±
9
3
.
设首项为1,公比为的等比数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,则(
)
4
.
已知{
a
n
}为等比数列,
a
4
+a
7
=
2,
a
5
a
6
=-
8,则
a
1
+a
10
=
(
)
C.
-
5 D.
-
7
5
.
等差数列{
a
n
}的公差 为2,若
a
2
,
a
4
,
a
8
成等 比数列,则{
a
n
}的前
n
项和
S
n
=< br>(
)
6
.
设数列{
a
n
}是 首项为
a
1
,公差为
-
1的等差数列,
S
n
为其前
n
项和
.
若
S
1
,
S
2
,
S
4
成等比数列,则
a
1
的值
1 7
(1)求数列{
a
n
},{
b
n
}的通项公式;
(2)求数列{
|a
n
|
}的前
n
项和
T
n
.
11
.
在数列{
a
n
}中 ,
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和,且< br>S
n
=
1
+ka
n
(
k
≠0,且< br>k
≠1)
.
(1)求通项公式
a
n
; < br>(2)当
k=-
1时,求
+
…
+
的值
.
2 7
能力提升
12
.
(2017四 川广元二诊)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且对任意正整数
n
都有
a
n
=S
n
+< br>2成立
.
若
b
n
=
log
2
an
,则
b
1 008
=
(
)
A.2 017 B.2 016
2
C.2 015 D.2 014
1 3
.
若
a
,
b
是函数
f
(
x)
=x-px+q
(
p>
0,
q>
0)的两个不同的零 点,且
a
,
b
,
-
2这三个数可适当排序后成
等差 数列,也可适当排序后成等比数列,则
p+q
的值等于(
)
A.6 B.7 C.8 D.9
*
14
.
设等比数列{
a
n
}满足
a
1
+a
3
=
10,
a
2
+a
4
=
5,则
a
1
a
2< br>…
a
n
的最大值为
.
15
.
设数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
.
已知
S
2
=
4,
a
n+
1
=
2
S
n
+
1,
n
∈N
.
(1)求通项公式
a
n
;
(2)求数列{
|a
n
-n-
2
|
}的前
n
项和
.
3 7
高考预测
16
.
已知数列{
a
n
}满足
a
1
=
5,
a
2
=
5,
a
n+
1
=a
n
+
6
a
n-
1
(
n
≥2)
.
(1)求证:{
a
n+
1
+
2
a
n
}是等比数列;
(2)求数列{
a
n
}的通项公式
.
答案：
1
.
C
解析:
∵a
3
a
5
=
4(
a
4
-
1),
∴=
4 (
a
4
-
1),解得
a
4
=
2
.
又
a
4
=a
1
q
,且
a
1
=
,
∴q=
2
.∴a
2
=a
1
q=.
2
.
B
解析:
∵a
2
,
a
48
是方程2
x-
7
x+
6
=0的两个根,
2
3
∴a
2
·a
48
=
3
.
又
a
1
·a
49
=a
2
·a
48
==
3,
a
25
>
0,
∴a
1
·a
2
·a
25
·a
48
·a< br>49
==
9
.
选B.
3
.
D
< br>解析:
S
n
==
3
-
2
a
n
,故选D
.
4
.
D
解析:
∵
{
a
n
}为等比数列,
∴a
5
a
6
=a
4
a
7
=-
8
.
联立可解得
当时,
q=-
,
故
a
1
+a
10
=+a
7
q=-
7;
当时,
q=-
2,
故< br>a
1
+a
10
=+a
7
q=-
7
.
综上可知,
a
1
+a
10
=-
7
.
3
3
3
3
4 7
5
.
A
解析:
∵a
2
,
a4
,
a
8
成等比数列,
∴=a
2
·a
8
,即(
a
1
+
6)
2
=
(
a
1
+
2)(
a
1
+
14),解得
a
1
=
2
.
∴S
n
=na
1
+ d=
2
n+n
2
-n=n
2
+n=n
(
n +
1)
.
故选A
.
6
.-
解析:由已 知得
S
1
=a
1
,
S
2
=a
1< br>+a
2
=
2
a
1
-
1,
S
4
=
4
a
1
+×
(
-
1)
=4
a
1
-
6,
而
S
1
,
S
2
,
S
4
成等比数列,
∴
(2
a
1
-
1)
=a
1
(4
a
1
-
6) ,
整理,得2
a
1
+
1
=
0,解得
a< br>1
=-.
7
.
1
121
解析:由题意,可得
a
1
+a
2
=
4,
a2
=
2
a
1
+
1,
所以
a
1
=
1,
a
2
=
3
.
再由a
n+
1
=
2
S
n
+
1,
a
n
=
2
S
n-
1
+
1(
n
≥2),
得
a
n+
1
-a
n
=
2a
n
,即
a
n+
1
=
3
a
n
(
n
≥2)
.
又因为
a
2
=< br>3
a
1
,所以数列{
a
n
}是以1为首项,3为公比 的等比数列
.
所以
S
5
==
121
.
8
.
32
解析:设该等比数列的公比为
q
,则< br>S
6
-S
3
==
14,即
a
4
+a
5
+a
6
=
14
.①
2
∵S< br>3
=
,
∴a
1
+a
2
+a
3
=.
由
①
得(
a
1
+a
2
+ a
3
)
q=
14,
∴q==
8,即
q=
2
.
33
∴a
1
+
2
a
1
+
4
a
1
=
,
a
1
=
, ∴a
8
=a
1
·q
7
=×
2
7
=
32
.
9
.
解:(1)由已知,
a
1
b
2
+b
2
=b
1
,
b
1=
1,
b
2
=
,得
a
1
=
2
.
所以数列{
a
n
}是首项为2,公差为3的等差数列, 通项公式为
a
n
=
3
n-
1
.
(2)由(1)和
a
n
b
n+
1
+b
n+
1
=nb
n
得
b
n+
1
=
,
因此{
b
n
}是首项为1,公比为的等比数列
.
记{
b
n
}的前
n
项和为
S
n
,
则
S
n
=.
10
.
解:(1)设等差数 列{
a
n
}的公差为
d.
∵S
4
=4(
a
3
+
1),3
a
3
=
5
a
4
,
∴
解得
∴a
n
=
11
-
2
n.
设数列{
b
n
}的公比为
q.
∵b
1< br>b
2
=b
3
,2
b
1
=a
5
,
∴
解得
∴b
n
=.
(2)由(1)知,
S
n
=
10
n-n.
由
a
n
=
11
-
2
n
≤0可知
n
≥5
.
5,
即
a
1
>
0,
a
2
>
0,…,
a
5
>
0,
a
6< br><
0,
a
7
<
0,…,
a
n
<0
.
故当
n
≤5时,
T
n
=Sn
=
10
n-n
;
当
n
≥6时,
T
n
=
2
S
5
-S
n
=n-
10< br>n+
50
.
于是
T
n
=
11
.
解:(1)
∵S
1
=a
1
=
1< br>+ka
1
,
∴a
1
=.
又
an
=S
n
-S
n-
1
(
n
≥2),< br>∴a
n
=a
n-
1
(
n
≥2)
.< br>
2
2
2
∴a
n
==-.
5 7
(2)
∵
在数列{
a
n
}中,
a
1< br>=
,
q=
,
∴
{}是首项为,公比为的等比数列
.
当
k=-
1时,等比数列{}的首项为,公比为,
∴+
…
+.
12
.
A
解析: 在
a
n
=S
n
+
2中,令
n=
1得
a
1
=
8
.
∵a
n
=S
n< br>+
2成立,
∴a
n+
1
=S
n+
1
+
2成立,
两式相减得
a
n+
1
-a
n
=a
n+
1
,
∴a
n+
1
=
4
a
n
,
又
a
1
≠0,
∴
数列{
a
n
}为等比数列,
∴a
n
=
8
·
4
=
2
n-
12
n+
1
,
∴b
n
=
log
2
a
n
=
2
n+
1,
∴b
1 008
=
2 017,故选A
.
13
.
D
解析:
∵a
,
b
是函 数
f
(
x
)
=x-px+q
(
p>
0,< br>q>
0)的两个不同的零点,
2
∴a+b=p
,
ab=q.
∵p>
0,
q>
0,
∴a>
0,
b>
0
.
又a
,
b
,
-
2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序 后成等比数列,
∴①
或
②.
解
①
得解
②
得
∴p=a+b=
5,
q=
1
×
4
=
4
.∴p+q=
9
.
故 选D
.
14
.
64
解析:由已知
a< br>1
+a
3
=
10,
a
2
+a
4=a
1
q+a
3
q=
5,
两式相除得,解得
q=
,
a
1
=
8,
所 以
a
1
a
2
…
a
n
=
8
·
,抛物线
f
(
n
)
=-n+n
的对称轴为
n=-=
3
.
5,
又
n
∈N,所以当
n=3或
n=
4时,
a
1
a
2
…
a
n
取最大值为
=
2
=
64
.
15
.
解:(1)由题意得
又当
n
≥2时,由
a
n+
1
-a
n
=
(2
S
n
+1)
-
(2
S
n-
1
+
1)
=
2
a
n
,
得
a
n+
1
=
3
a
n
.
所以,数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=
3,
n
∈N
.
(2)设
b
n
=|
3
-n-
2
|
,
n
∈N,
b
1
=
2,
b
2
=
1
.
当
n
≥3时,由于3
>n+
2,故
b
n
=
3
-n-< br>2,
n
≥3
.
设数列{
b
n
}的 前
n
项和为
T
n
,则
T
1
=
2,
T
2
=
3
.
当
n
≥3时,
T
n
=
3
+
,
所以
T
n
=
16
.
(1)证明:
∵a
n+
1
=a
n
+
6
a
n-
1
(
n
≥2),
n-
1
n-
1
n-1
*
n-
1
*
*
6
n
2
∴a
n+
1
+
2
a
n
=
3
a
n
+
6
a
n-
1
=
3(
a
n+
2
a
n-
1
)(
n
≥2)
.
又
a
1
=
5,
a
2
=
5,< br>∴a
2
+
2
a
1
=
15,
∴a< br>n
+
2
a
n-
1
≠0(
n
≥2),
∴=
3(
n
≥2),
∴
数列{
a
n+< br>1
+
2
a
n
}是以15为首项,3为公比的等比数列
.
(2)解:由(1)得
a
n+
1
+
2
a
n
=
15
×
3
=
5
×
3, < br>则
a
n+
1
=-
2
a
n
+
5
×
3,
n
n-
1
n
∴a
n+
1
-
3
n+
1
=-
2(
a
n
-< br>3
n
)
.
又
a
1
-
3< br>=
2,
∴a
n
-
3≠0,
n
6 7 < br>∴
{
a
n
-
3
n
}是以2为首项,
-
2为公比的等比数列
.
∴a
n
-
3
n
=
2
×
(
-
2)
n-
1
, 即
a
n
=
2
×
(
-
2)
+< br>3
=
3
-
(
-
2)
.
n-
1
nnn
7 7
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