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单元格求和公式“等比数列前n项和”公式推导的教学反思

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-09 09:57
tags:等比数列前n项和公式

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“等比数列前n项和”公式推导的教学反思

我国自20世纪90年代引入 “反思教学”以来,
在基础教育各学科进行了一系列的理论与实践研究。
新课程的实施,需要教 师不断反思自己的教学行为是
否体现新课程理念,是否有利于学生的身心发展。
每节课 下来,反思教学过程,总感觉有些不如意的
地方,需要进行改进。“学然后知不足,教然后知困”。这< br>既是对学生说的,更是对我们教师讲的。一般来说,设计
一个好的教学案例并非难事,难的是将好 的课案变成
好课。课案与课堂教学有机结合,新课程的教育理念与
教学实践相融合。作为一线的 高中数学教师,更多地要
依靠教学反思,通过教学这一平台,进行教学活动,提升
自己的教学水 平。
等比数列前n项和公式推导的思维方法产生是一
个教学难点。如何突破这一难点, 在新课改教学理念的
指导下,笔者试将这一问题交给学生讨论,取得了较好
的教学效果。下面是 其中的教学片段:
[导入新课]
师:国际象棋起源于古印度,相传国王要奖赏国际
象棋的发明者。这个故事大家听说过吗?
生:知道一些。
师“请在第一个格子里放上:1颗麦粒,第二个格子
里放上2颗麦粒, 第三个格子里放上4颗麦粒,依此类推,
每个格子里放的麦粒数都是前一个格子的麦粒数的2
倍 ,直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述
要求。”这就是国际象棋的发明者向国王提出的要求 。
师:假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦
年产量6亿吨计算,你认为国王能满足他的要求吗?
生开始各执己见,动笔、列式、计算。
生1:能列出式子:1+2+22+…+263=
师:这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?
同学们可以展开讨论与交流。
(有 的同学用求等差数列前n项和的方法做尝试,
但失败了。有的同学想把每项都算出来逐项相加求和,也失败了……一时,难以找到解题思路)
师:求和的过程,实际上就是设法减少项数,同学们
不妨依此思路再想想看。(经过一番讨论)
生2:(迫不及待地)我知道了,设①S64=1+2+22+…
+263
将①式两边同乘以2,得
②2S64=2+22+…+263+264
②-①即可减少项数,求出S64的值。
师:很好!请同学们按此方法做做看。
生3:老师,我做出来了,S64=264-1。
师:回答得非常好!264-1这个数很大, 假定千粒麦
子质量为40g,麦粒的总质量超过7000亿吨,目前世界
小麦年产量大约6亿吨 ,因此国王无法兑现他的诺言。
师:国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,
导致 一个很不幸的后果,这都是因为他不具备基本数
学知识所造成的,这些知识即为我们本节课要探究的内容。
[推进新课]
师:同学们解决了这一具体的等比数列求和问题,
那么如何得出等比数列a■的前n项和呢?
我们记③Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
生4:(胸有成竹地)将③式两边同乘以q,得
④qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn
③-④即可得到答案。
师:分析得不错!请同学们继续完成,并将你的结果
告诉老师好不好?
生5:Sn=■
生6:当q=1时,上式不成立。
师:(顺势引导)当q=1时,是不是该数列不能求和?
生6:不是,当q=1时,数列a■为常数列,此时
Sn=na1。
(师生共同探索)
考虑问题要全面,综合生5和生6的结果,我们有:
S■=■=■=■(q≠1) na1(q=1)
师:(总结)这种推导方法称之为“错位相减法”。
生7:(急切地举手)老师,还有别的求和方法吗?
师:问得好!我们求的是等比数列的前n项和,请同
学们继续讨论、交流。
(经过几分钟的思考,有学生举手发言)
生8:利用等比数列的定义,得⑤■=■=…=■=q
又由等比性质,得⑥■=q
将an=a1qn-1代入⑥,得
⑦■=q
师:⑦式是一个恒等式,显然得不出前n项和公式,
谁能完成?
生9:将⑥式改写成⑧■=■=q
解得Sn=■(q≠1)
师:回答得非常精彩!
反思等比数列前n项求和公式的推导,我看到学生
的潜能所在。 同学们能从一个具体的求和问题,推广到
一般情形。使重点、难点得以突破,这是我课前所未想
到的。当用方法1推出求和公式后,处于兴奋状态的同
学们,不满足于现状,进而探求新的方法。我因势 利导,
出现了方法2。从学生身上我看到教学改革的成效,只
要大胆地“放手”给学生,为学生 创设宽松的学习环境,
提供多渠道获取知识的机会,凭借自己已有的知识和
经验对新的问题情境 进行建构。方法2学生利用自己
已经学习过的等比定理推出求和公式,这两种不同的
思路是学生 从自己已有的知识和经验出发,在老师的
组织下完成的。
课堂教学是新课程实施的基本 途径,是教师进行
课程参与,实现专业化发展的重要渠道。“一切为了每
一位学生的发展”是新 课程改革的核心理念。教师应
该积极关注和引导学生在教学过程中的各种道德表现
和发展,使教 学过程成为高尚的道德生活和丰富的人
生体验,提高教学的人文价值,培养学生的应用能力,发
展学生的创新意识。
课例《等比数列的前n项和公式推导的教学反思》
正是基于这个理 念而设计的,本人运用“以问题为中心”
的讨论发现法进行施教,围绕这一主线――学会用数
据 说话,将具体实例抽象成一般情形,培养学生应用数
学的意识及创新能力。
从教法与学 法、教学设计与反思等几个方面进行
剖析,从整个课例可看出,新课程改革的理念在本人的
教学 中得以全面实施。表现在以下几个方面:
1.让学生经历知识的形成与应用过程
执教者运用“问题情景―合作讨论―理性概括―
反思提高”四个环节展开教学活动,让学生亲身经历知< br>识的形成与应用过程,课例从一个身边的故事开始,导
入新课教学,让学生体会教学的价值,增强 学生应用数
学的意识,课例的字里行间,弥漫着学生的积极思维,构
建等比数列前n项和公式的 探求过程。
2.突出学生自主探究与合作交流
有效的数学教学过程,不是单纯 地模仿与记忆,教
师应引导学生主动地观察、猜测、推理、合作与交流
等数学活动,从而使学生 形成自己对数学知识的理解
和有效的学习策略。本课例中,教师仅扮演了引导、点
评的角色,将 教学活动的主动权交给了学生,学生成了
学习的主人。
3.注重对学生发现问题、解决问题能力的评价
不会赞美学生的老师不是好老师,赞美是学生创
新精神和能力培养的生长剂。本课例中赞美艺术的运
用体现得淋漓尽致:“很好”“回答得非常 好”“分析得
不错”“回答得非常精彩”这些富有激情和赞美的话语,
拉近了师生之间的距离, 增强了学生展示自我、各抒己
见的信心和勇气,活跃了课堂气氛。
这节课我发挥了组织 者、指导者的作用,而学生是
实实在在的主体活动者,在同学们的共同研究中,他们
的思维在交 流、启发中得以激活,从而使这节课在热烈
的气氛中进行,学生获得了情感上的经验和知识上的
补充。
参考文献:
[1]熊川武.反思教学.上海:华东师范大学出版
社,2000.
[2]郭霞.对中学数学教学的几点反思.中小学数
学.2008.
[3]任志鸿.高中数学优秀教案.海南:南方出版
社,2006.
作者单位:安徽省滁州市乌衣中学

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