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错位相减法在数列求和中的应用
近年来,高考中数列问题正向多元化发展,命题中 含有复合数列屡见不鲜.要
想在高考中从容应对,就需熟练掌握等差、等比数列的有关知识,同时要善于 把非等
差等比数列转化为等差等比数列来求解.现对数列求和的方法---- 错位相减法简要
分析如下:
一.利用错位相减法推导等比数列求和公式.
已知等比数列
,它的前项和是
,根据等比数列的通项公式,上式可写成
的两边乘
得
的两边减去
的两边,得
当
时,等比数列的前项和的公式
又因为
所以上面公式可写成
当
时,
点评:通过将
式的左右两边同时乘以公比
,使
式与
式产生错位后相减得出
.
二、应用错位相减法求和
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对 应项乘积组成,此
时求和可采用错位相减法.
例1、求数列
的前
项和
分析:数列
成等差数列,数列
成等比数列,此例用错位相减法可达到目的.同时应注意
和
两种情况.
解:若
,则
若
,则
式两边同乘以
,得
减去
得
所以
点评:这个数列可以看成一个等差数 列和一个等比数列的对应项的乘积,这
种数列我们称为“混合数列”,解决这类问题的常用方法是:依照 等比数列前项和
公式的推导方法——错位相减法,特别注意分和两种情况讨论.
例2、(2007全国卷文,21题)设
是等差数列,
是各项都为正数的等比数列,且
,
,
.
求
,
的通项公式.
求数列
的前项和
.
解:
设
的公差为
,
的公比为
则依题意有
>0且
解得
所以,
,
,
减去
得
=
=
点评:本题主要考查数列的概念,等差数列,等比数列,及求数列前项和的
方法等基础知识,考查运算能力.第
问就运用了混合数列的求和方法---- 错位相减法.
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