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小学奥数题讲解: 高斯求和(等差数列)
德国数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题
让同学们计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高 斯却很快算出答案
等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发
现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1~100正好能够分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,
小高斯把这道题巧算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法 ,真是聪明极了,简单快捷,并且广
泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若 干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中
第一项称为首项,最后一项称为末项。后项 与前项之差都相等的数列
称为等差数列,后项与前项之差称为公差。例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;
(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中(1)是首项为1,末项为10 0,公差为1的等差数列;(2)
是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8, 末
项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
例1 1+2+3+…+1999=?
分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,
末项是1999 ,共有1999个数。由等差数列求和公式可得
原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。
注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加
数是否构成等差数列。
例2 11+12+13+…+31=?
分析与解:这串加数11,1 2,13,…,31是等差数列,首项是
11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。
原式=(11+31)×21÷2=441。
在利用等差数列求和 公式时,有时项数并不是一目了然的,这时
就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,能够得到
项数=(末项-首项)÷公差+1,
末项=首项+公差×(项数-1)。
例3 3+7+11+…+99=?
分析与解:3,7,11,…,99是公差为4的等差数列,
项数=(99-3)÷4+1=25,
原式=(3+99)×25÷2=1275。
例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
解:末项=25+3×(40-1)=142,
和=(25+142)×40÷2=3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,能够解决各种与
等差数列求和相关的问题。
例5 盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一
只球,将它变成3只球 后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,
将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里 拿出十只球,
将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓
球?
分析与解:一只球变成3只球,实际上多了2只球。第一次多了
2只球,第二次多了2× 2只球……第十次多了2×10只球。所以拿了
十次后,多了
2×1+2×2+…+2×10
=2×(1+2+…+10)
=2×55=110(只)。
加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
综合列式为:
(3-1)×(1+2+…+10)+3
=2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。
练习题
1.计算下列各题:
(1)2+4+6+…+200;
(2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+10+17+24+…+101。
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打, 敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也
敲一下。问:时钟一昼夜敲打多少次?
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?
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