高中数学复习公式三角形面积计算公式的推导

三角形面积计算公式的推导
三角形面积计算公式的推导三角形面积计算公式的推
导
教学内容：人教版9册 三角形面积公式推导部分
教学目的：
1、通过让学生主动探索三角形面积计算公式，经 历三角
形面积公式的探索过程，进一步感受转化的数学思想和方
法。
2、使学生理解三角形面积计算公式，能正确地计算三角
形的面积。
3、通过操作、观察、比较，培养学生问题意识、概括能
力和推理能力，发展学生的空间观念。
教学过程：
一、阅读质疑。
先请同学们自己阅读以下材料，然后以小组为单 位交流一
下你们都学会了哪些知识，可以提出什么问题，并把问题随
手记录下来。
1厘米
学生阅读后首先回顾了平行四边形、长方形地面积公式及
推导过程。然后学生提出了质疑，主要问题有：
（1）数方格怎么求三角形的面积？
（2）不数方格怎么求三角形的面积？有没有一个通用公
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式？
（3）能把三角形也转化成我们学过的图形求面积吗？
（4）转化成的这些图形跟三角形有什么关系吗？
（析：孔子曾说：“疑是思之始，学之端”。这里 老师打
破了学生等待老师提问的常规，要求学生把阅读材料作为学
习主题，通过阅读提出问题， 真正体现了“以生为本”。）
二、点拨激思
1.数方格的问题
学生根据学习材料可以解答用数方格的方法求三角形的
面积。
老师接着问：有一个很大的三角形池塘，你来用数方格求
它的面积。
学生小声笑了起来。为什么笑？老师问到。学生说数方格
太麻烦了，池塘也不好划分方格。
嗯，看来数方格求面积是有一定局限性的， 今天我们就
来研究三角形的面积。
（析：一石 激起千层浪，学生由数方格方法的局限性这一
认识的困惑与冲突，有效地引发了学生探究面积计算公式的
生长点，使学生有了探究发现的空间。）
2.转化的问题
你想把三角形转化成 什么图形？学生会转化成平行四边
形、长方形、正方形。梯形行吗？这时学生会有两种答案，
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有的说行，有的说不行，为什么不行？老师追问，学生在讨
论中达成共识:必须转化成 学过的，可以计算面积的图形。
师：三角形怎样才能转化成这些图形？请同学们利用手中
学 具，通过拼一拼，折一折，剪一剪，利用转化成这些图形
来解决下面的几个问题。
（析：这 里把“新”问题转化成了“老”问题来解决，有
效地把学法指导融入到了教学中，给学生创造了更广阔、 更
真实的自主空间，无疑有利于学生可持续性发展。）
三、探索解疑
学生操作，讨论，汇报。
1.转化的图形
学生的答案有很多种，把两个完全一样的三角 形转化成了
平行四边形、长方形和正方形，还有把一个三角形沿高剪下
拼成了正方形、长方形， 还有把一个三角形沿中位线对折，
两边也折转化成了2层的长方形。
2. 解决转化前后图形间的关系
（1）大小的关系
通过比较学生们发现，两个完全一样的三角形拼成的图形
跟三角形关系是S = S÷2。一个三角形转化成的图形
跟三角形关系是S =S
（2）底和高的关系
拼割前后各部分有什么关系？（指底和高）能推导出三角
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形的面积公式吗？
生1：两个完全一样的锐角三角形转化成了平行四边形，
三角形 的高就是平行四边形的高，三角形的底就是平行四边
形的底。因为平行四边形的面积是底× 高，它是由两
个三角形拼成的，所以三角形的面积是底×高
÷2
师：思路真清晰，为什么÷2，谁还想说。
（学生依次讲拼成的长方形，正方形这两种情况）
（3）公式推导
师；同学们真了不起 ，想出了这么多好方法推出了三角形
的面积公式，那谁能给大家说说三角形的面积等于什么？
生：底×高÷2
师：如果我用S表示三角形的面积，a表示三角形的底 ，
h表示三角形的高，那三角形的面积公式该怎么表示呢？
生：S=a×h÷2
（4）推导拓展
师：我们再来看第二组，你能通过一个三角形的转化来推
导它的面积公式吗？
学生1：我是 把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼
成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高< br>是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形
的面积等于三角形的面积，所以 三角形的面积是底×
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高÷2。
学生2： 我是把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪
开，把它补在一边，拼成了一个长方形。这个长方形的长 是
三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的
面积是底×高&di vide;2。
生3：我是把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把
底边的重点这样对 折，折成了一个长方形，这个长方形的底
是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷2
师：这个方法怎样，谁来评价一下。学生评价，太棒了。
生4：我还有一种办法。把一个长方形沿对 角线折叠，因
为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成
的，所以，三角 形的面积是底×高÷2
（析：把探究的权利充分的交给学生，学生自由 组合，利
用已有的知识经验，通过折、移、拼、剪，得到了不同的图
形，虽然是不同的角度、不 同的手段、不同的方法，但达到
了同一目的，得到了正确的三角形面积计算公式，更重要的
是探 究过程中学生的思维空间得到了拓展，思维个性得到了
发挥。）
<三>归纳小结
出示学习材料2，学生阅读后谈感想。体会祖国的古代科
学家 得了不起，2019多年前就推导出了这个公式。今天同学
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们通过自己的研究也推 导出了三角形的面积计算公式，说明
同学们也很聪明，相信将来你们还会有更多更大的发现，到
那时你们的名字也将载如史册，大家有信心吗？
师：好，今天这节课我们研究了三角形的面积，你们 学到
了哪些知识，有什么收获？回去继续反思整理，写出你们的
反思报告。
（析： 课堂总结不仅要关注学生学会了什么，更要关注用
什么方法学，学后有什么感想，要有意识的促进学生反 思：
我还有什么疑问？打算怎么办？，把课后反思纳入到学习的
系统连续的过程中。）
总析：本节课有以下两个特点
1. 充分体现了“问题意识的培养”。
老师 用了一种新的教学流程进行教学。即以“提出问
题”，“研究问题”，“解决问题”为主线。当一个问题 得
到解决后，新的问题接着出现，学生始终处于“愤”和
“悱”及对问题的探究中，有效地调动 学生的学习的兴奋
点，学生的问题意识得到发展。

2.重视研究问题的过程。
这节课以思维训练代替了重复练习，以发展学生的创造思
维为重点，引导学生用多种方法进行 转化，然后通过观察、
操作、比较、归纳、抽象概括推导出公式，没有通过太多的
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练习却获得了超常规的解题能力。这个过程是学生自主探究
的过程，这个过程是学生综合能力培 养和提高的过程。

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