排列数公式圆的面积计算公式创新教法

圆的面积计算公式创新教法

[摘 要]利用切分重组法来推导圆的面积计 算公式，一
直是圆的面积教学多年来沿袭下来的“古方”，在其中初步
渗透极限思想已成为教学 的最大亮点。为了打破圆形与多边
形面积求法理论割裂的尴尬局面，利用圆形与正方形的关联
性 展开教学，将圆形置于整个面积求法的大背景下，使学生
对圆的面积计算公式的认识更加全面深刻。
[关键词]圆的面积；计算公式；极限思想
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号]
1007-9068（2018）20-0026-02
“圆的面积”是小学几何学习的重点，它是平面线条由
直线向曲线过渡的知识转折，线条由 直到曲，需要学生的思
维有一些突破。理论上，曲边形应该采用微积分知识求面积，
教材采用的 实验法推导面积公式，间接渗透了极限思想。推
导出圆的面积计算公式后，教材编排了两道公式应用类习
题。课后，笔者进行了后测。后测试题如下：（1） 如图1，
若正方形的面积为36 cm2，则圆的面积是多少？（2）若正
方形的面积为20 cm2，则圆的面积是多少？答题情况如下
表。
一、分析诊断
1.对面积的意义理解不够深刻
在学习“圆的面积”之前，学生已经学过了简单的平面
几何图形的面积，并能够说明白什么是面积。于是在教学“圆
的面积”时笔者就没有复习面积的概念。后 测结果显示，当
正方形面积为20cm2时，学生求出正方形的边长为5 cm，其
实是将面积与周长概念混淆了。
2.对公式的推理过程不清楚
后测数据显示，学生能顺利将平方数“36”分解成6cm
×6cm，求出正方形的边长为6cm，观察 图形可知，正方形
边长等于圆形半径，然后根据圆的面积公式S=πr2，代入数
据即可求出圆 的面积。但是数据“36”变成“20”后，学生
就做错了。他们总是先求出半径的具体数值，再代入圆 的面
积公式，完全没想到能将r2作为一个整体代入公式就可求
解。
3.缺乏探究经历
教材是通过剪、切、拼、贴等将圆形分割成若干个近似
的等腰三角形 ，然后交叉嵌入，形成一个近似的平行四边形
（或者长方形），最终利用求四边形面积法推导出圆的面积
计算公式。许多教师认为圆的面积计算公式的推导过程含有
极限思想，超出小学生的认知范围， 于是只要求学生记住面
积公式。用单一的方法推导公式，学生无法经历“异中求同”
的思维训练 ，缺乏对面积计算公式权威性和严谨性的认同。
二、解决对策
1.重视情境操作，感悟“面积意义”
研究表明，通过实践操作得到的面积概念信息是深刻、< br>稳固而理性的。教学中，教师应设计一些操作环节，引导学
生揣摩并体会圆的面积意义。
例如，在“圆的面积”一课开始，笔者设计这样的活动：
（1）描画，区分周长和面积
出示四个大小不一的圆形（如图2），让学生尝试描绘周
长和面积。学生能用绕线法来感知周长，用剪纸法来感知面
积，在比较中发现，周长是线条的长度，而面 积是平面展开
的大小。
（2）比较、感悟面积与什么有关
面对四个不 同大小的圆形，学生会在观察和比较中思
考：圆的面积大小跟圆的什么有关？在初步交流中发现，影响圆的面积大小的因素主要是直径和半径。在教学中，充分
运用比较的方法，有助于突出引起面积大 小变化的主因。
2.借助几何直观，聚焦“公式本质”
在探究“圆的面积”时，可利用几何直观充分揭示其与
正方形面积的关系，并通过计算理解公式本质。
（1）感知圆与正方形面积的大小关系
呈示三个不同的正方形和一个圆（如图3），引导学生观
察分析，判断它们的面积大小?P系。
先让学生比较三个正方形的面积大小，通过计算，学生
发现图（b）正方形面积是图（a） 正方形面积的4倍，图（c）
正方形面积是图（a）正方形面积的2倍。学生会感到好奇，
“图 （d）圆的面积是图（a）正方形面积的多少倍呢？”从
而发现正方形面积和圆的面积有个共同部分就是 1cm2。
（2）感知圆的面积与正方形面积的大小关系
先画出一个正方形， 再以正方形的顶点为圆心、边长为
半径画圆，估测：圆的面积与正方形面积的倍数关系。（如
图 4）
从原始的“数方格”起步，作出辅助线、圆的内接正方
形和外切正方形，进行转换 和间接对比，得出圆的面积约为
正方形面积的2至4倍，让学生明确：圆的面积与r2成正比，
比值为圆周率。
三、探索验证
1.于多种形式的探索中体验转化思想
可直接要求学生用割补法将圆形转化为已经学过的几
何图形，以小组为单位合作探究圆的面 积计算公式。由于圆
的大小以及分割的份数不一样，学生得到了多种多样的方
案。学生通过观察 实践，发现可以将圆形转化为近似的长方
形，分得越精细，越接近长方形，再通过转化前后的对比，发现了变化量和恒等量，从而推导出圆的面积计算公式。
2.以不同的推演方案验证公式的可信度
教材只提供了“转化为长方形”这一种转化模式。为了
追求多样性，笔者引导学生求异求变：“以平分成16份为例，
除了长方形，还可以拼接成什么 图形？能利用新图形推导圆
的面积计算公式吗？”
学生通过将圆转化成三角形、梯形（ 如图5），从不同角
度推导出了圆的面积计算公式，经历不同的推导过程后，转
化思想得以培养 。
站得高才能看得远。一切尝试得出的结果只有经过多番
证明，才显得真实可靠。正是 因为有了前面正方形的引领，
后面的多样性重组法才有了坚固的理论根基。
综上，圆的 面积计算公式推导是几何教学中的重要内
容。只有创新教学方法，让学生通过观察、拼接等探究方法，< br>将面积计算公式盘活，并能融会贯通、运用自如，才能有效
解决面积计算问题。
（责编 黄春香）