阶乘公式圆的面积公式探索

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数学有形 思想无痕
——圆的面积公式的探索
董文华
一、 在折剪中悟“极限”
师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平
面 图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有
纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂 亮？
（小组活动后交流）
小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也< br>剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是
仍不太圆。
小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，
剪起来比较接近圆。
小组 3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到
了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一 样。
师：其他小组有没有这种情况？
小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次 后
发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪
出花瓣形状。
师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。
（学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷
把最得意的作品展示在黑板上。）
.
.
师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展
开后才会更圆？
学生1：受刘 徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，
“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。
学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接
近圆。
师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现？
学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下 了许多折痕，
其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折
的次数越多的作品越接 近三角形。
学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成
的。
二、在探究中巧“转化”
师：如何求圆的面积？能不能像推导三角形、平行四边
形的 面积公式那样推导出圆的面积计算公式？
（小组活动后交流）
小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角
1
形的底是圆周长的 ，三角形的高也就是圆的半径r，推出
8
1
圆的面积公式： ×2∏r×r÷2×8＝∏r
2
；
8
小组2：折的次数越 多分的份数就越多，我们可以这样想
1
像分成了x个小三角形，就可以推出圆的面积公式： ×2
X
.
.
∏r×r÷2×X＝∏r
2
；
小 组3：我们小组想到了三角形的面积公式推导过程，把
圆剪成8个小三角形一正一倒反插在一起，拼成了 一个近似
平行四边形。拼成的平行四边形的面积和原来的圆的面积是
相等的，平行四边形的底等 于圆周长的一半，平行四边形的
高等于圆的半径，平行四边形的面积等于底乘高，圆面积公
1< br>式等于 ×2∏r×r＝∏r
2
。
2
小组4：如果分的份数越多比如 16份、32份，拼成的图
形越接近于长方形，根据长方形的长、宽与圆的关系，也能
1
得出圆的面积公式 ×2∏r×r＝∏r
2
。
2
师生共同完成板书：S＝∏r
2

【我的思考】圆的面积公式推导 与以前学过的平面图形
的面积公式推导有质的区别，学生在已有的学习经验基础上
建构这一知识 是有难度的，如何建立圆这个曲边图形和直线
图形之间的转化是教学的突破口。本环节中借助“剪纸”这
一学生喜闻乐见的活动，在剪圆的过程中思考 “如何剪得
更圆”、“为什么我剪出的圆象花瓣”、 “为什么要直着剪”，
学生带着问题尝试和探索，联想到刘徽的“割圆术”， 思维
步步逼近， 逐步达成共识：对折的次数越多，剪的越直，越
接近圆。此时，在学生的头脑中圆已经化身为一个正多边 形。
圆与直线型图形之间的转化、极限的思想是在学生看得见，
.
.
摸得着的学习过程中感悟出来的，分散了教学难点，面积公
式的推导也就顺理成章了。
特级教师钱阳辉说过：如果知识后面没有方法，知识只
能成为一种负担，如果方法背后没有思想，方法 只不过是一
种笨拙的工具。在上面的教学过程中，比得到一个公式更为
重要的东西，那就是数学 思想的熏陶，这才是数学的精髓，
花再多的时间也是值得的。
（作者单位：鹤壁市山城区实验小学）

“接受”与“探究”同样精彩
三门峡市实验小学 周国一

案例：
师：圆的面积公式怎样推导？是不是 也可以像平行四边
形、三角形、梯形一样可以转化成其它已学过的平面图形
呢？
生：可以把圆转化成长方形来推导面积公式。
师：好，请同学们动手试一试。
（几分钟过去了，无人转化成功，学生很茫然）
生：圆是曲线围成的，圆不可能转化成长方形。
（一语激起千层浪，大多数同学赞同这一说法，部分学
.
.
生否认） < br>师：从表面上看，曲线的圆是无法转化成有线段围成的
长方形的。但是，我们古代的科学家经过不 懈的努力，却转
化成功了。同学们想知道古人是怎样转化的吗？
生（迫不及待）：想。
师：请同学们认真观察多媒体课件演示，看看圆是如何
转化成直线图形的。
（电脑直观演示：先把圆等分成12份，然后剪开，接
着拼接成近似的平行四边形）
生：不是长方形，是不标准的平行四边形。
（电脑演示：把圆等分成16份后拼接， 接着是等分成
32份、64份、……）
师：如果一直这样无限地等分下去，结果将会怎样？
生：圆平均分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形
就越接近长方形。
师：同学们 ，刚才电脑演示的圆的转化方式叫“割圆术”，
公元3世纪，我国数学家刘徽采用“割圆术”推算出了圆 周
率。这种以直代曲，用有限逼近无限的数学思想为我国古代
数学家首创……
（师生共同总结：圆面积=转化后长方形面积=长×宽=
11
c× r= ×2πr ×r＝πr
2
）
22
师：同学们猜想一下，我们还能把圆转化成哪些平面图
.
.
形？
生：转化成近似的等腰三角形。
生：转化成近似的等腰梯形。
师：请同学们4人一 组合作探究，把圆转化成其中的任
意一种图形，推导出圆面积的计算公式。看谁能探究出与众
不 同的圆面积推导过程。
结果：
学生4人一组进行探究，探究结果如下：
小组1：把圆16等分后拼接成近似的等腰三角形，得出
1
三角形的底相当于圆周长的 ，高相当于圆半径的4倍，所
4
111
以圆面积=三角形面积= ×底×高= × ×2πr×4r=π
224
r
2
小组2：把圆等分后，拼成近似的等腰梯形 ，得出梯形
上底与下底的和就是圆周长的一半，高等于圆半径的2倍，
11
所以圆面积 = 梯形面积= ×（上底+下底）×高= ×πr×
22
2r =πr
2
。
小组3：把圆平均分成16份，得出一份即一个小三角形
1
所占的面积就是整个圆面积 的 ，小三角形的底相当于圆
16
1
的周长的 ，高相当于圆的半径，所以圆面积= 一个小三
16
.
.
111
角形的面积×16 = （底×高）×16= ×（2πr× ×r）
2216
×16=πr
2
。
最后师生归纳总结：S=πr
2
。
反思：
本片段教学中，我根据 学生的年龄特征，组织了有意义
的接受学习和探究活动。我首先让学生动手操作，当学生积
极探 究后仍无法转化成功时，再运用多媒体课件边演示边讲
授。此时，学生的注意力高度集中，思维也极其活 跃，这时
的接受学习就显得非常必要和有效。接着，在接受学习的基
础上，学生通过猜想、小组 合作探究，把圆转化成近似的梯
形或三角形，进一步验证了圆的面积公式。圆的面积公式是
刻板 的，而公式推导的再创造过程却是鲜活、生动而有趣的。
在推导过程中，学生最大限度地投入到观察、思 考、操作、
探究活动中，亲历“做数学”的过程，体验到成功喜悦。
学习如同“探路”，在达 到目标的过程中，数学上的规
定性、陈述性、事实性知识等如同“路标”需要学生接受，
数学上 的实验、尝试、推测、思考、发现等如同“行走方式”
需要学生探究，但有时也需要接受与探究交叉进行 。不管采
用什么方法，只要能根据教学特点和实际需要合理运用，教
学效果一样精彩！
2009年4月29日发表于《教育时报》
国内统一刊号：CN41-0026
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“曲直”转化显奇葩
——圆的面积公式探索
刘荣霞
一、开门见山提问题
师：同学们，前几节课我们学习了圆的有关知识，这节
课我们来探索圆的面积。请大家思考一下，我们可以用哪些
方法求解圆的面积呢？（学生思考交流） < br>生1：可以在圆的边外面画一个正方形。先求出正方形
的面积，然后再把多出来的部分减去就得到 了圆形的面积。
生2：有问题。多出来的部分面积怎么算？是不是可以
把正方形画在里面呢? （生挠挠头说：“好像也不太行”。）
师：你们想通过正方形解决圆的面积，非常了不起。你
们可以再找找有没有比正方形更接近圆面积的图形。
生3：在圆上画方格，数数有多少个方格，就可能会知
道圆的面积有多大了。
师：想法很独特，想到了求图形面积要用到面积单位。
一会可以尝试一下。
生4：（ 手中拿着一个圆边折叠边讲解）把圆形多折叠几
次，变成一个一个的小三角形，先求出每个小三角形的面 积，
再乘三角形的个数，也可以得到圆形的面积。
师：为什么要多折几次呢？
生4：折的次数越多，折出来的形状越像三角形。
.
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师：这是数学上的逼近思想！
生5：我们学过长方形、正方形、三角形、梯形和平行
四边行面积的求解方法，要是把圆形变成这几种图形就好
了。
师：（鼓掌）大家大发言太精彩 了，每个人的眼界顿时
开阔了起来。知道吗，在你们提出策略中，就有数学家用到
的“转化”和 “极限”的思想方法。（板书）下面，请有共
同想法的同学相互合作，探索圆的面积。如有什么困难，可
以和我交流，咱们共同解决。
二、动手操作探真知
师：哪个小组愿意把你们探索结果与大家共享。
生1：我们组用了数格子的方法。只能得出圆 的大概面
积，不能得到准确的结果，因为圆上的格子不一定都是正方
形的，有些地方没有办法知 道准确的面积。
生2：我们借鉴了转化的方法。把圆平均分成8份，拼
成了一个近似的平行四边形。
平行四边形的底是圆周长的一半，平行四边形的高是圆的半
径，因此，S平=2∏r2×r =∏r
2
（生板书）圆的面积公式：
2∏r2×r =∏r
2
生3：把圆对折4次平均分成16份，每一份看成是一个
三角形。三角形的底是圆周长的116，就是2 ∏r 16，三角
形的高也就是圆的半径r，一个三角形的面积是：2∏r 16×
.
.
r÷2；三角形的总面积等于圆形的面积。由此推出圆的面积
公式：2∏r16× r÷2×16＝∏r
2
；
生4：我们组把圆变化成了一个三角形。（指着拼好的三< br>角形图）这个三角形的底是圆周长的14，高是4r，三角形
的面积：2∏r4×4r÷2 那么圆形的面积=2∏r4×4r÷2=
∏r
2
生5：圆形也可以剪拼成梯形。（指梯形图讲解）先把圆
平均分成32份，剪开后拼成梯形。梯 形的面积=（上底+下
底）×高÷2=2∏r4×4r÷2，上下底合起来是2∏r4。
那么，圆的面积=2∏r4×4r÷2=∏r
2
师生看课件演示——把圆平均分成32、64、128等份，拼
成近似的平行四边形、长方形， 推导出圆形面积公式。
总结归纳，圆的面积和转化后图形的面积的大小相等，因
此圆面积公式 ：S=∏r
2

【课后反思】本课转化不是难点，关键是学生不知如
何把圆 转化成直线的图形。因此教师在开课初，没有过多的
铺垫与情景设置，直接提出核心问题：请大家思考一 下，我
们可以用哪些方法求解圆的面积呢？这样做的目的是给学
生较多的思考、探究的空间与时 间，让学生独立思考，通过
交流使大部分学生开拓思路，让学生都能有探究的方向，有
目的的操 作。使得学生在探索圆面积公式的过程中始终运用
了“转化”的数学思想，创造出了不同的“以直代曲” 推导
.
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出圆面积公式的朵朵奇葩，使学生对圆的面积公式的由来从
更多层面认识理解。
心理 学家米德说：“让一个二十世纪的儿童自己去发现：
在直角三角形里，勾股边的平方之和等于弦边的平方 ，那么
他也就完成了跟毕达哥拉斯一样的创造性劳动，尽管这个发
现的结果对于文化传统来说等 于零，但在孩子的心灵深处却
会认为自己是一个发现者、研究者、探索者。”从而激励孩
子的终 身学习的积极性和趣味性。



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