刀剑乱舞锻刀公式三角形的等积变换

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三角形的等积变形

我们已经掌握了三角形面积的计算公式：
三角形面积=底×高÷2
这个公 式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，
高越大（小），三 角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积
也就越大（小）．这说明 ；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，
当三角形的底和高同时发生变 化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来

角形的面积变化与否取决于它的高和底的 乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数 多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的
各种形状以及它们之间的关系．
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等．
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两
个三角形面积相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个 三角形的几倍，那
么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
，它们所对的顶
点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．
同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．

例如 在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底
BC平 行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．

例如右图中， △ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D
是AB中点 ，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．

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上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．
例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．


方法2 ：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC
等积．然 后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△
DCE、△ADE等积．



例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．
方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、
△ ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．


DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．
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当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．
例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．

证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面 积相
等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，

把顶点A移到CB的 延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边
形ABCD面积也相 等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是
依据三角形等积 变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．
解：①连结BD；
②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．
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例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平 方厘米．求三角形ABC的面
积．

解法1：连结BD，在△ABD中
∵ BE=3AE，
∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．
在△ABC中，∵CD=2AD，
∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，

∵ CD=2AD，
∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．
在△ABC中，∵BE=3AE
∴ S△ABC=4S△ACE
=4×3=12（平方厘米）．
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=

解：连结BG，在△ABG中，


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∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG


例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形C DF的面
积．

解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF =S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；
∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE ，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．

解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1 所以S△
CGF=S△DFC=2S1．
同理 S△AEH=2S2，
因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．
同理，连结A C之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1 ，求△BEF
的面积．

解：连结AC，∵ABCD，∴S△ADE=S△ACE
又∵ADBC，∴S△ACF=S△ABF
而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF
∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
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专题四 机械能和能源
[典型例题]
1、一人用力踢质量为 10 kg的皮球，使球由静止以 20ms 的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是 200N ，球在水平方向运动了20m 停止 .那么人对球所做的功为（ ）
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专题四 机械能和能源
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[典型例题]
1、一人用力踢质量为 10 kg的皮球，使球由静止以 20ms 的速度飞出．假定人踢球瞬间对球平均作用力是 200N ，球在水平方向运动了20m 停止 .那么人对球所做的功为（ ）
A . 50 J B . 200 J C 500 J D . 4 000 J
2、关于功的概念，下列说法中正确的是（ ）
A．力对物体做功多，说明物体的位移一定大
B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小
C．力对物体不做功，说明物体一定无位移
D．功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确定的

3、关于重力势能和重力做功的说法中正确的是（ ）
A．重力做负功，物体的重力势能一定增加
B．当物体向上运动时，重力势能增大
C．质量较大的物体，其重力势能也一定较大
D．地面上物体的重力势能一定为零

4、下面的实例中，机械能守恒的是（ ）
A、自由下落的小球
B、拉着物体沿光滑的斜面匀速上升。
C、跳伞运动员张开伞后，在空中匀速下降。
D、飘落的树叶
5、关于能源和能量，下列说法中正确的是（ ）
A ．自然界的能量是守恒的，所以地球上能源永不枯竭
B 。能源的利用过程中有能量耗散，这表明自然界的能量是不守恒的
C. 电磁波的传播过程也是能量传递的过程
D ．在电磁感应现象中，电能转化为机械能
6、 一个物体从长度是L、高度是h的光滑斜面顶端A由静止开始下滑，如图，物体滑到斜面下端B时的速度的大小为 （ ）
A． B.
C. D.

7、人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为 v，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（ ）
A.人对小球做的功是 B．人对小球做的功是
C.小球落地时的机械能是 D．小球落地时的机械能是
8 、如图，一质量为m=10kg的物体，由14光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动 1m距离后停止。已知轨道半径R=0.8m，g=10ms
2
，求：
沁园春·雪
北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。
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望长城内外， 惟余莽莽； 大河上下， 顿失
滔滔。
山舞银蛇， 原驰蜡象， 欲与天公试比高。
须晴日， 看红装素裹， 分外妖娆。
江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武， 略输文采； 唐宗宋祖， 稍逊
风骚。
一代天骄， 成吉思汗， 只识弯弓射大雕。
俱往矣， 数风流人物， 还看今朝。


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