魔方第三层公式锐角三角函数公式和面积公式

锐角三角函数公式
正弦：sin α=∠α的对边∠α的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边∠α的对边

面积公式


长方形，正方形以及圆的面积公式
面积公式包括 扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公 式，菱形面积公式，
三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。
扇形面积公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，
所 以圆心角为n°的扇形面积：
S＝nπR^2÷360
比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：
C＝2R＋nπR÷180
＝2×1＋135×3.14×1÷180
＝2＋2.355
＝4.355(cm)＝43.55(mm)
扇形的面积：
S＝nπR^2÷360
＝135×3.14×1×1÷360
＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)
扇形还有另一个面积公式
S=12lR
其中l为弧长，R为半径
三角形面积公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）2,a.b.c,
为三角形三边。
证明： 证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出
海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× =
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：
由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的
变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证
明。
证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，
故得证。
证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，
可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg
+ tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③
代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴
x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得：
r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理
r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz
圆面积公式
设圆半径为 ：r 面积为 ：S
则 面积 S= π·r ² π 表示圆周率
既 圆面积 等于 圆周率 乘 圆半径的平方
弓形面积公式
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB是劣弧时，那么S弓形＝S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆
心）。
当弧AB是半圆时，那么S弓形＝S扇形＝12S圆＝12×πr^2。
当弧AB是优弧时，那么S弓形＝S扇形＋S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆
心）
计算公式分别是：
S＝nπR^2÷360－ah÷2
S＝πR^22
S＝nπR^2÷360+ah÷2
椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长
半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
菱形面积公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确 地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它
来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题 目.方法简单明了,以供参
考.
抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接
三角形的34，即：
抛物线弓形面积=S+14*S+116*S+164*S+……=43*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2),
于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y2=2Px截得的弦
AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y2=2Px
Ⅰ)当P＞2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P＜2bk时,l与C无交点(相离).
定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.
解 曲线方程可变形为x2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,
即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y2－2x－2y+3=0的最短距离.
分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y－1)2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论 2,令2bk=P,
解得b=－.∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.
解 曲线可变形为(y+1)2=x+1
(x≥－1,y≥－1) ,则P=12.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,
令2b k≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.
例4 抛物线y2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛
物线的方程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y2=x.
例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方 程为
y2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.
常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2． 两个全等图形的面积相等；
3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）
的面积相等；
4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或
底）的比；
5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6． 等角或补角的三角形面积的 比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角
的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比；