四阶魔方公式三角形面积公式的另类推导方法

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三角形面积公式的另类推导方法
在讲单位换算时时 常强调，一平方米即边长为一米的正方形的
面积。转而又想，能否以此定义为基础，导出三角形的面积等 于底
乘高除以2呢？仔细想想，确实可行。
过三角形A的两个顶点作各自对边的平行线，可得 一与之全等
的三角形和一由此两全等三角形组成的平行四边形B。显然，平行
四边形B的面积是 三角形A的面积的两倍。
过平行四边形B的任一边的两个顶点作其对边的高，可得一矩
形C。 由这两条高与各自的邻边所围成的两个直角三角形全等，可
推知矩形C与平行四边形B的面积相等。这样 ，三角形A的面积就
等于矩形C的一半。因此，问题也就转化为证明矩形的面积等于两
邻边边长 的乘积。
若矩形C的两邻边的边长分别是单位长一米的m与n倍（注：
m、n与下文中的p、 q均为自然数），则将此两条邻边分别均分m
与n等份。过这两条邻边的这些等分点作各自对边的垂线。 显然，
这些垂线将矩形C分成mn个边长为一米的正方形。由一平方米的
定义可推知，矩形C的 面积等于两邻边边长的乘积。
若矩形C的两相邻边边长分别为一米的m与n分之一，则可将
边 长为一米的正方形的两邻边分别均分为m与n等份。过这两条邻
边的这些等分点作各自对边的垂线。显然 ，这些垂线将此正方形分
成mn个小矩形，所有的小矩形都与矩形C全等。这样，矩形C的
面积 就等于一平方米的mn分之一，因而也就等于矩形C的两相邻
邻边边长的乘积。
将上述两种情 形结合起来，不难导出两邻边边长分别为单位长
一米的mp与nq倍的矩形C的面积计算公式。具体地讲 ，先将矩
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形C的两邻边各自均分m与n等份，再过各自的等分 点作对边的垂
线。这些垂线将矩形C分为mn个邻边边长分别为单位长一米的p
与q分之一小矩 形。由于小矩形的面积等于一平方米的pq分之一，
故矩形C的面积为一平方米的mnpq倍。这样，矩 形C的面积也就
等于其两相邻邻边边长的乘积。
若矩形C的两相邻邻边之一或两者的长度均为 单位长一米的无
理数倍，则由任何一个无理数都可用一组有理数无限逼近可推知，
矩形C也可用 一组边长为单位长一米的有理数倍的矩形逼近。这
样，矩形C的面积也就也等于其两相邻邻边边长的乘积 。
后记：
物理学是建立在测量的基础上的。测量是将待测量与标准量进
行比较的过 程，测量结果的含义即为待测量是标准量的多少倍。与
之相类似，数学也应可建立在度量的基础上。基于 这样的一种想
法，我就试着以面积的度量单位为基础导出三角形的面积公式。
在导出了三角形 的面积公式后，我想依此类推应当可以导出锥
体体积的计算公式。在推导锥体体积的过程中，突然想起了 祖暅原
理。运用比例相关的知识与祖暅原理，不难导出锥体体积公式。
进一步将三角形的面积 公式与祖暅原理对照起来看，发现在某
种意义上讲，前者可视作二维情形下祖暅原理的一个推论。将任一
三角形与一与之等底等高的直角三角形放在一起，使它们的底边处
在同一直线上。过直角三角形 斜边上的任一点作底边的平行线，由
比例知识可知，此线被上述的两个三角形所切割得的两线段相等。< br>由祖暅原理可知，上述的两个三角形的面积相等。这样，就可由直
角三角形的面积公式导出一般三 角形的面积公式。
由三角形面积公式含系数12，三维锥体体积公式含系数13，
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很容易猜想出n维锥体体积公式应含系数1n。后一点由微积分不难
得到。这里非常有意思的一 点是，利用上述结论可导出正n体
（注：正2体即二维空间上正方形，正3体即三维空间上的正方
体，依此类推正n体即n维空间上的“正方体”）有多少个“侧面
（注：正2体的侧面即其四边，正3 体的侧面即其上下左右前后的
六个正2体，依此类推，正4体的各个侧面即其侧的各个正3
体） ”。
为简明起见，考虑边长为1的正n体。显然 ，其中心点到其各
个侧面的距离为12。这 样，由其中心点与其任一侧面所连接而成的
n维锥体的体积为12n。因为所有的这样的n维锥体的总体 积为1，
所以这样的n维锥体的总数为2n。这样，一个正n体所拥有的侧面
的总数为2n。换 句话讲，一个正n体是由2n个正n-1体围成的。
一个正n体有2n个“侧面”其实是很“显然”的 事。因为每一维都
有“前后”或“左右”或“上下”两个侧面，所以正n体就有2n个“侧
面” 。由此结论再结合“伸缩版”的祖暅原理，也可以导出一般n维
锥体的体积计算公式。
设待求 体积的n维锥体“底面”上的高为h，“底面”的“面
积”为S。为求其体积，可先取一边长为2h的正 n体。显然，所取
的正n体的体积为(2h)
n
，各个侧面的“面积”为(2h)n-1
。由正n体有
2n个“侧面”可知，若将此正n体的中心与其各个侧面连接起来，即
可将此正n体均分为2n个全等的n维锥体，每个锥体的高均为h，
体积均为(2h)
n
／2n。这样，这些分割来的n维锥体的体积就都等于
它们的“底面积”与高的乘积的1／n 。现将这样分割而来的一个n
维锥体与待求体积的n维锥体一起“平”放在同一“平面”。因二
者的高相等，所以若沿二者之中的一条高上的任一点作“底面”的
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“面积”之比就等于二者的“底面 积”之比。因为所有的“等高
面”上的“截面面积”之比都等于“底面积”之比，所以由“伸缩
版”的祖暅原理即推知此二锥体的体积之比就等于二者的“底面
积”之比（旁白：在微积分中有这样的一 个定理，若一个被积项始
终等于另一个被积项的c倍，则其累积后的值也等于后者累积后的
值的 c倍，此即笔者所谓的“伸缩版”的祖暅原理。在刚才的论述
中是利用高相等，通过“水平伸缩”导出一 般n维锥体的体积。其
实，也可利用“底面积”相等，通过“竖直伸缩”导出一般n维锥
体的体 积。这两种方法之所以等效，是因为多重积分的求和顺序是
可换的。将二者结合起来，即在“水平”与“ 竖直”两个方向同时
伸缩，那从单位边长的正n体的体积出发也可导出一般n维锥体的
体积计算 公式。）。这样，一般的n维锥体体积也就等于其“底面
积”与高的乘积的n分之一。
下面再来看看一个正n体有多少个顶点有多少条边。
正2体有4个顶点，正3体比正2体多一 个与之相垂直的维
度。与这一维度相对应的“前后”两个“侧面”各有4个顶点，故正3
体共有 2×4个顶点。依此类推，由数学归纳法即可导出正n体共有
2
n
个顶点。
将顶点坐标化也可导出正n体的顶点个数。建立一个平面直角
坐标系。显然点（0，0）、（0，1）、 （1，0）、（1，1）为一单
位边长的正2体的4个顶点。增加一个与之垂直的维度，此4点
（第3个分坐标均为0）与它们沿所添加的维度正向平移一个单位
长所得的4点（第3个分坐标为1）显 然为一单位边长的正3体的8
个顶点。再增加一个与此三维空间相垂直的第四个维度，此8点
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（第4个分坐标均为0）与它们沿第四个维度正向平移一个单位长
所得的8个点（第4个分坐标为1）显然为一单位边长的正4体的
16个顶点。依此类推，由于n维空 间共有n个分坐标，而利用上述
方法所构造出的正n体的顶点的分坐标显然都有且只有两种可能
性，即要么为0要么为1，故而顶点的总数为2
n
。
再看边数。因为正n体的每个顶 点都是n条边的公共顶点（因
为是n维，所以每个顶点都是n条边的交点），且每条边都有且仅
有两个顶点，所以正n体的总边数为n2
n
-1
。
这一结论也可利用递推关系得到。
正n体有
a
n
条边。由正n体共 有2
n
个顶点，结合前述的由正n
体构造正n+1体的过程不难得到下述的关系式：
由n＝1、2、3、4时的
a
n
值很容易猜测出
a
n
＝n2
n
-1
，再利用数
学归纳法证明即可。事实上，笔者最开始就是利用 这种方法得到此
式的。
回头再仔细审视所得到的正n体的顶点、“侧面”与边的计算
公式，特别令人感到惊奇的是，所有的这些公式不仅对1维空间成
立，而且也适用于0维世界。事实上， 结合正n体的构造过程不难
看出，n维空间确实可以由0维空间一步一步地拓展出来。