原型法公式高中数学两角和与差的三角函数公式的证明

2020年10月20日发(作者：梅谷)

两角和与差的三角函数公式的证明

三角函数
两角和与差
单位圆
托勒密定理
数学

利用单位圆方法证明
sin（α+β）= …

与cos（α+β）= …，是进一步证
明大部分三角函数公式的基础。

1、sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ
在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：

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如图中所示，容易看出：
sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB； sinβ=CD；cosβ=OD
则：


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平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示
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（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不
可言！）


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附：如何证明托勒密定理？
见 http:
http:

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线
的乘积 。
原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面
积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、 余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密
定理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方法 详见数学目录下的博文，
来自网友的提供！）

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思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两
条线段DE和B E。第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还
需要证一对旋转的三角形相似△ ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才
能得到结论。

证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；
在ΔABE和ΔACD中，
∵ ∠BAE=∠DAC；
∠ABE=∠ACD；
∴ △ABE∽△ACD；
∴ AB·DC=BE·AC ①
∵ ∠BAE=∠DAC；
∴ ∠DAE=∠CAB；
在ΔADE和ΔACB中，
∵ ∠ADE=∠ACB；
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∠DAE=∠CAB；
∴ △ADE∽△ACB；
∴ AD·BC=DE·AC ②
∴ ①+②得：
AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。

结论：该命题对于圆内接的任意四边 形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的，
叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=A C·BD这样的等积式时，如果等
式左边可以合二为一，则考虑证一对三角形相似，否则，在AC、BD 的其中一条
线段上找到一个分点，构造两个三角形相似。”

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