天津津南大学-天津津南大学
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学
号
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姓
名
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学
生
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封
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年
级
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密
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专
业
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系
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院
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华中师范大学
2010
–
2011
学年第二学期
期末考试试卷（
A
卷）答案
课程名称
微分几何
课程编号
83410019
任课教师
周振荣、程亮、陈永发
题型
叙述
计算
证明
应用
总分
分值
25
45
15
15
100
得分
得分
评阅人
一、叙述题：
（共
5
题，每题
5
分 ，共
25
分）
1
．
叙述高斯奇妙定理。
答：
高斯曲率是内蕴量。
2
．
叙述曲面基本定理。
2
2
答：给定两个二次型
I
?
?
g
i
j
ij
du
du
,
II
?
?
L
i
j
ij
du
du
，其中
I
正定。如果
g
ij
,
L
ij
满足高斯方程
i
,
j
?
1
i
,
j
?
1
和科达齐方程，
则存在一张曲面
S
以
I
为第一
基本形式，
以
II
为第二基本形式，
过运动可以重合。
3
．
叙述曲面映射是等距的一个等价条件。
答：保持内积。
4
．
叙述高斯波涅公式。
答：高斯曲率的积分、测地曲率在
边界上的积分与边界的外角之和等于
2
π
。
5
．
叙述克氏符号的定义。
答：
?
k
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1
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g
jl
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g
ij
ij
2
g
kl
(
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g
il
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u
j
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u
i
?
?
u
l
)
。
得分
评阅人
二、计算题：
（共
3
题，每题
< p>15分，共
45
分）
6
．设曲线的参数 表示为
r
?
(
a
cos< /p>
t
,
a
sin
t
,< /p>
bt
)
。计算它的曲率、挠率和三个基本向量。
解：
r
?
?
{
?
a
sin
t
,
a
cos
t
,
b
}
，
?
r
??
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{
?
a
< p>cost
,
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a
sin
t
,
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r
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{
a
sin
t
,
?
a
c os
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,
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sin
t
,
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ab
cos
t
,
a
}
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,
???
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,
b
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|
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7
．
计算球面
r
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{< /p>
R
cos
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cos
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,
R
cos
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sin
?
,
R
sin
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}
的第一基本形式、
第二基本形式、
高斯曲率、
平均
曲率。
解：
r
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{
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R
cos
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sin
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,
R
cos
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2
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