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山东省济宁一中内部讲义
贾广素
第三讲
自主招生试题中的数论问题
初等数论由于其形式简单
,
所用的知识不多且富有灵巧性
,
因而受到大学自主
招生考试的青睐
.
自主招生考试中的数论内容和方法涵盖了数论的主要 内容和主
体方法
.
本讲以近几年自主招生考试中出现的 问题来探讨数论的几个主体方法
.?
一
.
有理数和无理数
例
?1
．求证：当
?
p
、
q
< br>都为奇数时，曲线
?
x
2?
-
2
px
+
2
q
=
0
?
与
x
轴交点的横坐标为
无理数
.?
（
2009
年清华 大学）
P10?
例
2
．是否存在实数
x
，使得
tan
x
+
3
?
与
cot
x
+
3
?
均为有理数
.?
（<
/p>
2009
年北京大学）
P12?
例
3
．设
a
、
b
、
c
都是有理数，
?
a
+
b
+
c
也是有理数
.?
求证：
?
a?
、
?< /p>
b?
、
?
c
都是有理数
.?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< /p>
?
?
(2008
年清华大学
)?
?
P9?
例
?4.
若
?
x
3
+
ax
< p>2?
+
bx
+
c
< p>=
0
?
的三根分别为
a< /p>
、
b
、
c
，并且< /p>
a
、
b
、
c
为不全为零
的实数，求
a
、
< br>b
、
c
的值
.?
（
2005
年上海交通大学）
P23?
例<
/p>
5.
证明：
?
2?
是一个无理数
.?
二．同余的性质
例
6.
求
?
(7
20
04
+
36)
818?
的个位数
.?
（
2008
年复旦大学）
P205?
（
2004
年上海交通大学）
例
7
．
求出所有的由
?3
个质数组成的公差
?8
的等差数列
.
（
2009
年清华大学）
P48?
例
8.
求正整数区间
[m
，n 中不能被
]?
3
整除的数之和
.?
（
2008
年清华大学）
P206?
?
三．构造法
例
9.
已知
?
A< /p>
=
{
x
|
n
!
+
n
,
n
?
N
*?
}
?< /p>
，
B
是
A
在
?
N?
*
?
< br>上的补集
.?
（
1
）求证：不能在 集合
B
中取得一个有无限项的公差不是
0
的等差数列；
、
（
2
）是否能 在集合
B
中找到一个有无限多项的等比数列？
（
2009
年中国科技大学）
P50