昆明理工大学宿舍-昆明理工大学宿舍
2017
年自主招生数学试题
(
分值
: 100
分
时间
:90
分钟
)
一、
选择题（本大题共
6
小题，每小题
5
分，共
30
分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的）
1
、若对于任意实数
a
，关于
x
的方程
x<
/p>
?
2
ax
?
a
?
2
b
?
0
都有实数根，则实数
b
的取
值范围是（
）
2
1
1
C
b
≤
?
D
b
≤
-1
2
8
2
、如图，
D
、
E
分别是△
ABC
的边
AB
、
BC
上的点，且
DE
∥
AC
，已知
S
△
BDE
∶
S
△
CDE
=1
∶
3
，
则
S
△
DOE
∶
S
△
AOC
的值为（
）
A
．
1
∶
3
B
．
1
∶
4
C
．
1
∶
9
D
．
1
∶
16
< /p>
3
、
某校吴老师组织九
(1)
班同学开展数学活动，
带领同学们测量学校附近一电线杆的高
(
如
图所示
)
。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的 照射下，电线杆的影子
(
折线
BCD)
恰
好落在水平地面和斜坡上，在
D
处测得电线杆顶端
A
的仰角为
30
0
，在
C
处测得电线
杆顶端
A
得仰角为
4 5
0
，斜坡与地面成
60
0
角，
CD=4m
，则电线杆的高
(A B)
是（
）
A
b
≤
0
B
b
≤
?
A
．
(
4
?
4
3
)
m
B
．
(
4
3
?
4
)
m
C
．
(
6
?
2
3
)
< br>m
D
．
12m
< br>4
、如图，矩形
ABCD
中，
AB=8
，
AD=3
．点
E
从
D
向
C
以每秒
1
个单位的速度运动， 以
AE
为一边在
AE
的右下方作正方形< /p>
AEFG
．同时垂直于
CD
的直线
M N
也从
C
向
D
以每秒
2
个单位的速度运动，当经过（
）秒时，直线
MN
和正方形< /p>
AEFG
开始有公共点。
A
．
B
．
5
3
1
4
2
< br>
C
．
D
．
2
3
3
(
第
2
题图
)
(
第
3
题图
)
(
第
4
题图
)
< /p>
5
、如图，在反比例函数
y
?
?
2
的图象上有一动点<
/p>
A
，连接
AO
并延长交图象的另一支于
x
k
点
B
，在第一象 限内有一点
C
，满足
AC=BC
，当点
< p>A运动时，点
C
始终在函数
y
?
的图
x
象
上运动，若
tan
∠
CAB=2
，则
k
的值为
(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
6
、如图，
O
是等边三角形
ABC
内一点，且
OA=3
，
OB=4
，
OC=5
．将线段
OB
绕点
B
逆时
针旋转
60
0
得到线段
O′B
，则下列结论：①
△
AO′B
可以由
△
COB
绕点
B
逆时针旋转
60
0
得
到；②∠
AOB=150
0
；③
S
四边形
AOBO'<
/p>
?
6
?
3
3
；④
S
△
AOB
?
S
△
AOC
?
6
?
9
3
。其中正确的
4
是（
）
A.
②③④
B.
①②④
C.
①④
D.
①②③
A
O'
O
B
(
第
5
题图
)
(
第
6
题图
)
二、填空题（本大题共
6
小题 ，每小题
5
分，共
30
分）
7
、已知方程组
?
8
、一次函数
y
?
C
?
x
?
2
y
?
4
k
，且
?
1
?
x
?
y
?
?
，则
k
的取值范围是
。
?
2
x
?
y
?
2
k
?
1
4
4
x
?
b
与
y
?
x
?
1
的图象之间的距离等于
3
，则
b
的值是
。
3
3
9
、如图，△
ABC
中，∠
ACB=90
0
，
BC=6cm
，
AC=8c m
，动点
P
从
A
出发，以
2cm/s
的速度
沿
AB
移动到< /p>
B
，则点
P
出发
s
时，△
BCP
为等腰三角形。
2
x
?
m
10<
/p>
、已知关于
x
的方程
?<
/p>
3
的解为正数，则
m
的取
值范围
。
x
?
2
11
、如图，
AC
⊥
BC
于点
C
，
BC=4
，
AB=5
，⊙
O
与直线
A B
、
BC
、
CA
都相切，则⊙
O
的半
径等于
。
12
ABO
绕点
B
< p>顺时针旋转到△A
1
BO
< br>1
的位置，使点
A
3
x
上，再将△
A
1
BO
1
绕点
A
1
顺时针旋转到△
A
1
B
1
O
2
的位置，
3
3
使点
O
1
的对应点
O
2
落在直线
y
?
x
上，依次进行
下去
…
，若点
A
的坐标是
(0,1 )
，点
B
3
的坐标是
3
,1)
，则点
A
8
的横坐标是
。
的对应点
A
1
落在直线
y
?
A
O
C
(
第
9
题图
)
(
第
11
题图
)
(
第
12
题图
)
B
三、解答题（本大题共
3
小题 ，满分
40
分）
13
、
(
本题共
12
分
)
如图，在△
ABC
中，∠
C=90
0<
/p>
，以
AB
上一点
O
为圆心，
OA
长为半径
的圆与
BC
相切于点
D
，分别交
AC
、
AB< /p>
于点
E
、
F
。
(1)
若
AC=6
，
AB=1 0
，求⊙
O
的半径；
(
2)
连接
OE
、
ED
、
< p>DF、
EF
，若四边形
BDEF
是平行四边形，试判断四边形
OFDE
的形状，
并说明
理由。
C
E
D
A
O
F
B
14
、
(
本题 共
14
分
)
(1)
已知：△
ABC
是等腰三角形，其底边是
BC
，点
D
在线段
AB
上，
E
是
直线
BC
上一点，且∠
DEC=
∠
DCE
，若∠
A=60
0
(
如图①
)
，求证：
EB=AD
；
(2)
若将
(1)
中的
“
点
D
在线段
AB
上
”
改为
“
点
D
在线段< /p>
AB
的延长线上
”
，
其它条件不变< /p>
(
如图
②
)
，
(1)
的结论是否成立，并说明理由；
EB
(3)
若将
(1)
中的
“
若∠
A=60
0
”
改为< /p>
“
若∠
A=90
0
”
，其它条件不变，则
的值是多少
(
直接写
AD
出结论，不要求写解答过程
)
15
、
< p>(本题共
14
分
)
在平面直角 坐标系中，抛物线
y=ax
2
-x+3(
a≠0
)
交
x
轴于
A
、
B
两点，交
y
轴于点
C
，且对称轴为直线
x=-2
。
(1)
求该抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；< /p>
(2)
若点
P(0,t)
是
y
轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：
如图
1
，
设△
PAD< /p>
的面积为
S
，
令
W=tS
< p>，当
0
＜
t
＜
4
时，
W
是否有最大值如果有，
求出
W
的最大值和此时
t
的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图
2
，是否存在以
P
、
A
、
D
为顶点的三角形与< /p>
Rt
△
AOC
相似如果存在，求点
< br>P
的坐标；如果不存在，请说明理由。