中国政法大学mba-中国政法大学mba
2018-2019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（一）
一
选择题
1
．
已
知
a
、
b
、
c
是
不
全
相
等
的
任
意
实
数
.
若
x
?
a
2
?
bc
,
y
?
b
2
?
ac
,
z
?
c
2
?
ab
，则
x
、
y
、
z
的值
( )
（
A
）
都大于
0
；
（
B
）
至少有一个大于
0
；
（
C
）至少有一个小于
0
；
（
D
）都不小于
0.
2
．
在复平面上，
满足方程
zz
z
?
z
?
3
的复数
z
所对应的点构成的图形
是（
）
（
A
）圆；
（
B
）两个点；
（
C
）线段；
（
D
）直线
.
3
．设函数
f
(
x
)
?
x
8
?
x
< br>5
?
x
2
?
x
?
1
，则
f
(
x
)
有性质（
）
（
A
）对任意实数< /p>
x
，
f
(
x
)
总是大于
0
；
（
B
）对任意实数
x
，
f
(
x
)
总是小于
0
；
（
C
）当
x
?
0
时，
f
(
x
)
?
0
；
（
D
）以上均不对
.
< br>4
．
若空间三条直线两两成异面直线，
则与
a
、
b
、
c
都相
交直线有
（
）
（
A
）
0
条；
（
B
）
1
条；
< /p>
（
C
）多于
1
的有限条；< /p>
（
D
）无究多条
3
bx
?
2
cx
?
d
,
其
中
a
,
b
,
c
,
为
5
．
设
f
(
x
)
?
x
4
?
ax
?
d
常
数
。
若
1
。
< /p>
f
(1)
?
1,
f
(2)
?
2,
f
(3)
?< /p>
3
,
则
(
f
(4)
?
f
(0))
的值是（<
/p>
）
4
（
A
）
1
（
B
）
4
（
C
）
7
（
D
）
8
6
．
设
S
是由
n<
/p>
(
n
?
5)
个人组成的集合
，
如果
S
中任意
4
个人当中都至少
有
1
个人和其余
3
个人互相认识，
则下面判断正确的选项是
（
）
。
A
. <
/p>
S
中没有人认识
S
中所有人
B
.
S
中至少有
1
人认识
S
中所有人
C
.
S
中至
多有
2
人不认识
S
中所有人
D
.
S
中至多有
2
人认识
S
< br>中所有人
二
解答题
7
．
已知
f
(
x
)
?
x< /p>
2
?
px
?
q
,
求证：
f
(1)
,
f
(2)
,
f
(3)
中至少有一个不小于
8
．
< br>一袋中有
a
个白球和
b
个黑球，从中任取一球，如果取出白球，那么
把它放回袋中；如果取出黑
球，那么该黑球不再放回，另补一个白球
到袋中，在重复
n
次这样的操作后，记袋中白球的个数为
X
n
.
（
1
）求
< br>EX
1
；
（<
/p>
2
）设
P
(
X
n
?
a
?
k
)
?
p
k
，求
P
(
X
n
?
1
?
a
?
k
),
k
?
0,1,
,
b
;
（
3
）证明：
EX<
/p>
n
?
1
?
(1
?
9
．按要求完成下列各问
（<
/p>
1
）设
f
(
x
)
?
x
1
nx
,
求
f
'
(
x< /p>
)
;
（
2
）设< /p>
0
?
a
?
b
，求常数
C
，使得
1
b
1
nx
?
C
< p>dx
取得最小值；
?
a
b
?
a
1
)
EX
n
?
1.
a
?
b
1<
/p>
2
（
3
）记（
2
）中的最小值为
m
a<
/p>
,
b
，证明：
m
< br>a
,
b
?
1
n
2
.
10
．空间有
n
个平面，每三个平面交于一点，但无四面共点，试问：
这些平面将空间分成几部分？
2018-2019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（二）
一、
选择 题
(
本题共
15
分，
每小题
3
分．
在每小题给出的
4
个选项中，
只有一项正确，把所选项的字母填在括号内
)
1<
/p>
．若今天是星期二，则
3
1998
天之后是
A
．星期四
( )
B
．星期三
C
．星期二
D
．星期一
2
．用
13
个字母
A
，
< p>A，
A
，
C
，
E
，
H
，
I
，
I< /p>
，
M
，
M
，
N
，
T
，
T
作拼字
游戏，
若字母的各种排列是随机的，
恰好组成
“
M ATHEMATICIAN
”
一词的概率是
A
．
48
13!
( )
216
13!
B
．
C
．
1728
13!
D
．
8<
/p>
13!
3
．方程
cos
2
x
?
sin
2
x
+sin
< br>x
＝
m
+1
有实 数解，则实数
m
的取值范围是
A
．
m
?
1
8
(
)
B
．
m
>
?
3
C
．
m
>
?
1
D
．
?
3
?
m
?
1
8
4
．
若一项数为偶数
2
m
的等比数列的中间两项正好是方程
x
2
+
px
+
q
＝
0
的两 个根，则此数列各项的积是
A
．
p
m
B
．
p
2
m
( )
C
．
q
m
D
．
q
2
m
5
．设
f
’< /p>
(
x
0
)
＝
2
，则
lim
h
?
0
A
．
?
2
f<
/p>
(
x
0
?
h
)
?
f
(
x
0<
/p>
?
h
)
h
( )
B
．
2
C
．
?
4
D
．
4
二、填空题（本题共
分，每小题
3
分）
1
．设
f
(
x
)
的原函数是
x
?
1
，则
?
0
f<
/p>
(2
x
)
dx
?
__________
．
2
．设< /p>
x
?
(0,
)
，则
函数
(
sin
2
x
?
2
1
?
< br>1
1
2
)(cos
x
?
)
的最小值是
2
2
sin
x
cos
x
__________
．
3
．方程< /p>
3
?
16
x
?
2
?
81
x
?
5
?
36
x
的
解
x
＝
__________
．
4
．向量
a
?
i
?
2
j
在向量
b
?
3
i
?
4
j
上的投影
(
a
)< /p>
b
?
__________
．
5
．函数
y
?
2
x
?
3
3
x
2
的单调增加区间是
____ ______
．
6
．两个等差数列
200
，
203
，
206
，…和
50
，
54
，
58
…都有
100
项，
它们共同的项的个数是
__________
．
7
．
方程
7
x
2
?
(
k
+13)
x
+
k
2
?
k
?
2
＝
0
的两根分别在区间
(0,1)
和
(1,2)
内，
则
k
的取值范围是
__________
．
8
．将
3
个相同的球放到
4
个盒子中，假设每个盒子能容纳的球 数不
限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有
3
个盒
子各放一个球”的概率是
________
．
三、证明与计算（本题
61
分）
1
．
(6
分
)
已 知正数列
a
1
，
a
2
，
…，
a
n
，
且对大于
1
的
n
有
a
1
?
a
2
?
?
a
n
?
n
，
3
2
a
1
a
2
a
n
?
n
?
1
．
2
试证：
a
1
，
a
2
< br>，…，
a
n
中至少有一个小于<
/p>
1
．
2
．
(10
分
)
设
3
次多项式
f
(
x
)
满足：
f
(
x
+2)
＝
?
< p>f
(
?
x
)
，
f
(0)
＝
1
，
f
(3)
＝
4
，试求
f
(
x
)
．
1
p
?
2
p
< br>?
?
n
p
(
p
?
0)
．
3
．
(8
分
)
求极限
lim
n
??
n
p<
/p>
?
1
?
x
2
?
bx
?
c
,
x
?
0
4
．
(10
分
)
设
f
(
x< /p>
)
?
?
在
x
＝
0
处可导，且原点到
f
(
x
)
lx
?
m
,
x
?
0
< p>?
中直线的距离为
，原点到
f
(
x
)
中曲线部分的最短距 离为
3
，试
1
3
求
b
，
c
，
l
，
m
的值．
(
b
,
c
>0)
5
．
(8
分< /p>
)
证明不等式：
1
?
sin
x
?
cos
x
?
2
，
x
?
[0,
]
．
2
3
4
?
6
．
(8
分
)
两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目 标
的概率都是
．
若射手甲先射，
谁先命中 目标谁就获胜，
试求甲、
乙两射手获胜的概率．
7
．
(11
分
)
如图所示，
设曲线
y
?
上
的点与
x
轴上的点顺次构成等腰
直角
三角形
△
OB
1
A
1
，
△
A
< br>1
B
2
A
2
，
…，
直角顶点在曲线
y
?
上．试求
1
x
O
B
1
B
2
A
1
A
2
x
y
1
2
1
x
A
n
的坐标表达式，并说明这些三角形的面
积之和是否存在．
2018-2019
年最新南京大学自主招生 考试数学模拟考试
精品试题（三）
一、填空题（每小题
10
分，共
60
分）
1
．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第 二组含二个数，第三
组含三个数，
……，
第
n
组含
n
个数，
1
；
2
，
3
；
4
，
5
，
6
；< /p>
……．
令
a
n
为第
n
组数之和，则
a
n
＝
________________
．
2
．
sin
< br>2
?
?
sin
2
(
?
?
)
?
sin
2
(
?
?
)
＝
_____________ _
．
3
3
?<
/p>
?
3
．
lim[
(
n
?
2)log
2
(
n
?
2)
?
2(
< p>n?
1)log
2
(
n
?
1)
?
n
log
2
n
]
＝
_ ________________
．
n
??
< p>4
．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于
60
< p>度，又过此
锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成
60
< p>度角，则两对角面
面积之比为
_________________ _
．
5
．正实数
x
,
y
满足关系式
< br>x
2
?
xy
?
4
＝
0
，又若
x<
/p>
≤
1
，则
y
的最小值
为
_____________
．
< p>
6
．一列火车长
500
米以匀速在 直线轨道上前进，当车尾经过某站台
时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上
急件，然后
原速返回，
返回中与车尾相遇时，
此人发现这 时正在离站台
1000
米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站
台共行驶了
______________
米．
二、解答题（每小题
15
分，共
90
< p>分）
1
．数列
{
< br>a
n
}
适合递推式
a
n
+1
＝
3
a
n
+4
，又
a
1
＝
1
，求数列前< /p>
n
项和
S
n
．
2
．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一
个焦点．
你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证
< br>明．
3
．正六棱锥的高等于
h
，相邻侧面的两面角等于
2arcsin
( 3
2
?
6)
，
求该棱锥的体积．
(
cos
1
?
(
2
?
6)
)
12
4
1
2
?
<
/p>
4
．设
z
1
,
z
2
,
< br>z
3
,
z
4
是复平面上单位圆上的四点，若
z
1
+
z
2
+<
/p>
z
3
+
z
4
=0
．
求证：这四个点组成一个矩形．
5
．
设
1
(
?
2
)
n
?
x
n
?
y
2
n
，
其中
x
n
,
y
n
为整数，
求
n
→∞时，
n
的极限．
x
y
n
6
．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不 超过
1
．问：半径
至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．
请证明你的结论．
2018-2019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（四）
1.
直线
y
?
ax
?
b
关于
y
?
?
x
的对称直线为
__ _____________
。
2.
已知
a
,
b
,
< p>c
是
ABC
的三边，
a
?
1
，
b
?
c
，且满足
log
b
?
c
a
?
log< /p>
c
?
b
a
?
2log
b
?
c
a
log
c
?
b
a
，则
ABC
是
______ _________
的三
角形。
3.
已知
?
< br>3
x
?
1
?
?
a
8
x
8
?
a
7
x
7
?
?
a
1
< br>x
?
a
0
，则
a
8
?
a
6
?
a
4
?
2
?
a
0
?
_______________
。
1
?
f
?
x
?
4.
已知
f
?
x
?
< br>满足：
f
?
x
?
1
?
?
，则
f
?
x
?
的最小正周期是
1
?
f
?
x
?
8
__
_____________
。
5.
已知
f
?
x
?
是偶函数，
f
?
x
?
2
?
是奇函数，
且
f
?
0
?
?
1998
，
则
f
?
2000<
/p>
?
?
_______________<
/p>
。
6.
a
,
b
,
c
是
< br>ABC
的三边，且
?
b
?
c
?
:
?
a
?
c
?
:
?
a
?
b
?
?
4:5:6
，则
sin
A
:sin
B
:sin
C< /p>
?
_______________
。
7.
n
是十进制的数
，
f
?
n
?<
/p>
是
n
的各个数字之和，则使
f
?
n
?
< br>?
20
成立的
最小的
n
是
_______________
。
< p>
7
?
12
12< /p>
?
_______________
。
< p>8.
?
7
?
cos
?
cos
1
2
12
sin
?
sin
< br>?
9.
函数
f
?
x
?
?
3
x
?
1
?
x
2
?
3
x
?
1
?
x
2
< br>?
x
?
R
?
的反函数是
_______________
。
10.
已知数列
a
n
?
n
（
k<
/p>
是不等于
1
的常数）
，则
< br>a
1
?
a
2
?
a
3
?
< br>k
n
?
a
n
?
_______________
。
11.
从自然数
1
至
100
中任取
2
个相乘，其结果是
3
的倍数的情况有
种
_______________
。
（取出的数不分先后）
f
2<
/p>
?
x
0
?
3
h
?
?
f
< p>2
?
x
0
?
h
?
?
12
.
己知
f
?
x
?
在
x
0
处可导，则
lim
h
??
< p>h
_______________
。
< /p>
13.
已知
x
,
y
为整数，
n
为非负整数，
x
?
y
?
n
，
则整点
?
x
,
y
?
的个数为
_______________
。
?
?
,0
< p>14.
抛物线
y
?
x
2
?
x
?
0< /p>
?
上，
点
A
坐标为
?
抛物线在
P
点的切线与
?
?
，
3
?
?
1
y
轴及直线
PA
夹角相等，求点
P
的坐标。
a
1
?
4
，
15.
在
?
a
n
?
中，
①求证：
a
n
?
3
?
a
n
?
1
?
3
②求
lim
a
n
。
< p>
a
n
?
a
n
?
1
?
6
，<
/p>
n
??
1
3
16.
已知
u
?
y
< p>2
?
x
2
，
v
?
2
xy
，
①若点
?
x
,
y
?
在单位圆上以
?
0,1
?
为起点按顺时针方向转
一圈，
求点
?
u
,
v
?
的轨迹；
②若
点
?
x
,
y
?
在直线
y
?
< p>ax?
b
上运动，
而点
?
u
,
v
?
在过点
?
1
,1
?
的直线上运
动，求
a
，
b
的值。
17.
若
x
,
y
满足
x
2
?
2
xy
?
y
2
?<
/p>
3
x
?
3
y
?
12
?
0
，求下列函数的最小值：①
x
?
y
；②
xy<
/p>
；③
x
3
?
y
3
。
1
8.
若方程
x
3
?
27
x
?
m
?
0
有
3
个不同实根，求实数
m
的取值范围。
19.
己知函数
< p>f
?
x
?
满足
f
?
x
?
y
?
?
f
?
x
?
?
f
?
y
?
?
xy
?
x
?
y
?
，又
f
'
?
0
?
?
1
，求
函数
f
?
x
?
的解析式。
< br>20.
口袋中有
4
个白球，
2
个黄球，一次摸
2
个球，摸到的白球均退
回口袋，保留
黄球，到第
n
次两个黄球都被摸出，即第
n
?
1
次时所
摸出的只能是白
球，则令这种情况的发生概率是
P
n
，
求
P
2
,
P
< p>3
,
P
n
。
2018-2019
年最新南京大学自主招生考试数 学模拟考试
精品试题（五）
1.
设函数
y
?
x
的反函数是它自身，则常数
a
?
_______________
。
x
?
a
2
2
2.
不等式
?
?
log
2
?
?
x
?
?
?<
/p>
?
log
2
x
的解集是
_______________
。
3.
直线
2
x
?
7
y
?
8
?
0
与
2
x
?
7
y
?
6
?
0
间的距离是
_______________
。
4.
如果
?
< br>3
?
x
?
的展开式的系数
和是
?
1
?
y
< br>?
的展开式的系数和的
512
倍，那么自
然数
n
与
m
的
关系为
_______________
。
5.
椭圆
?
< br>?
3
的焦距是
____________ ___
。
4
?
2cos
?
2
2
n
m
6.
己知
4
x
?
3
y
?
5
?
0
，那么
?
x
?
1
?
?
?
y
?
3
?
< br>的最小值为
_______________
。
7.
与正实轴夹角为
arcs
in
?
sin3
?
的直线的斜率记为
k
，则
arct
an
k
?
_______________
。
（结果用数值表示）
8.
从
n
个人中选出
m
名正式代表与若干名非正式代表，
其中非正式代
表至少
1
名且名额不限，则共有
_______________
< p>种选法
?
m
?
n
< p>?
。
9.
正方体
ABCD
?
A
1
B
1
C
1<
/p>
D
1
中，
BC<
/p>
1
与截面
BB
1
D
1
D
所成的
角为
_______________
。
10.
sec50
?
1
（结果用数值表示）
?
_____
__________
。
cot10
3
?
?
?
?
x
?
?
11.
函数
< p>g
?
x
?
?
cos
?
x
?
cos
?
?
?
的最小正周期是（
）
2
A
．
2
?
< br> B
．
?
C
．
2 D
．
1
1
2.
设函数
f
?
x
?
?
x
的反函数为
f
?
1
?
x
?
，则对于
?
0,1
?
内的所有
x
值，一
定成立的是（
）
A
．
f
?
x
?
?
f
?
1
?
x
?
B
．
f
?
x
?
?
f
?
1
?
x
?
C
．
f
< br>?
x
?
?
f
?
1
?
x
< br>?
D
．
f
?
x
?
?
f
?
1
?
x
?
13.
8
13
除以
9
所得的余数是（
）
A
．
6 B
．
?
1
C
．
8 D
．
1
1
4.
抛物线
y
2
?
?
4
?
x
?
1
?
的准线方程为（
）
A
．
x
?
1
B
．
x
?
2
C
．
x
?
3
D
．
x
?
4
<
/p>
1
?
x
?
t
?
?
?
t
15.
由参数方程
?
所表示的曲线
是（
）
?
< br>y
?
t
?
1
?
t
?
A
．椭圆
B
．双曲线
C
．抛物线
D
．圆
16.
己知抛物线
y
?
x
2
?
5
x
?
2
与
y
?
ax
2
?
bx
?
c
关于点
?
3,2
?
对称，则
a
?
b
?
c
的值为（
）
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
17.
作坐标平移，
< p>使原坐标下的点
?
a
,0
< br>?
，
在新坐标下为
?
0,
b
?
，
则
y
?
f
x
?
?
在新坐标下的方程为（
）
< /p>
A
．
y
'
?
f
?
x
'
?
< p>a
?
?
b
B
．
y
'
?
f
?
x
'
?
a
< br>?
?
b
C
．
y
'
?
f
?
x
'
?
?
a
?
b
D
．
y
'
?
f
?
x
'
?
a
?
b
?
18.
设有四个命题：
①两条
直线无公共点，
是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；
②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平
面的充要条件
；
③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或<
/p>
互补的充要条件。
④
a
,
b
是平面
?
< br>外的两条直线，且
a
//
?
，则
a
//
b
是
b
//
?
的必要而不充
分条件，其中真命题的个数是（
）
A
．
3 B
．
2 C
．
1 D
．
0
1
9.
集合
A
,
B
各有四个元素，
A
B
有一个元素，
C
?
A
B
，
集 合
C
含有
三个元素，
且 其中至少有一个
A
的元素，
符合上述条件的集合
C
的
个数是（
）
A
．
55 B
．
52 C
．
34 D
．
35
2
20.
?
a
（其中
的圆锥中，
体积的最大值为
（
）
a
?
0
）
A
．
?
a
3
B
．
2
3
2
3
3
1
?
a
C
．
?
a
3
D
．
?
a
3<
/p>
12
6
6
21.
已知：
sin
?
?
sin
?
?
a< /p>
，
cos
?
?<
/p>
cos
?
?
a
?< /p>
1
，
求
s
n
i
?
?
?
?
?
及
cos
?
?
?
?
?
。
22.
设复数
< p>z
1
,
z
2
满足：
z
1
?
z
1
?
z
2
，
z
1
z
2
?
a
?
1
?
3
i
?
，
其中
i
是虚数单位，
a
是非零实数，求
z
2
。
z
1
x
?
a
?
?
23.
已知椭圆
2
2
?
y
2
?
1
与抛物线
y
2
?
1
x
在第一象限内有两个公共
2<
/p>
点
A
,
B
，线段
AB
的中点
M
在抛物线< /p>
y
2
?
?
x
?
1
?
上，
求
a
。
24.
设数列
?
b
n
?
满足
b
1
< br>?
1
，
b
n
?
0
，
?
< br>n
?
2,3,
?
其前
n
项乘积
T
n
?
?
a
n
?
1
b
n
?
n
1
4
?
n
?
1
,2,
?
，
①证明
?
b
< br>n
?
是等比数列。
②求
< br>?
b
n
?
中所有不同两项的乘
积之和。
25.
己知棱柱
ABC
?
A
1
B
1
C
1
的底面是等腰三角形，
AB
?
AC< /p>
，
上底面的项
?
A
1
AB
?
，
点
A
1
在下底面的射影是
ABC
的外接圆圆心，
设
BC
?
a
，
3
?
棱柱的侧面积为
2
3
a
2
。
①证明
:
侧面
A
1
ABB
1
和
A
1
ACC
1
都是菱形，
B
1
BCC
1
是矩形。
②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。
③求棱柱的体积。
26.
在直 角坐标系中，
O
是原点，
A
B
是第一象限内的点，并且
A
在直
?
,
线
y
?
?
tan
?
?
x
上（其中
?
?
?
，
OA
?
?
?
）
< br>4
2
?
?
?
?
1
2
s
o
?
c
?
，
B
是双曲线
x
2
?
2
?
1
上使
OAB
的面积最小的点，求：当
时，
OAB
的面积最大，最大值是多少
?
?
取
?
?
?
?
?
?
4
,
2
?
?
中什么值
2018-2019
年最新南京大学自主招生考试 数学模拟考试
精品试题（六）
1.
数
N
?
2
12
?
5
8
的位数是
______________ _
。
2.
l
og
2
?
?
l
og
3
?
log
4
x
?
?
?
?
log
3
?
?
log
4
?
log
2
y
?
?
?
?
log
< br>4
?
?
log
< br>2
?
log
3
< br>z
?
?
?
?
0
求
x
?
y
?
z
?
_______________
。
3.
p<
/p>
?
log
8
3
，
q
?
log
3
5
，则用
p
,
q< /p>
表示
lg
5
?
_______________
。
sin
2
?
?
sin
?
cos
?
，
4.
2sin
?
?<
/p>
sin
?
?
cos
?
，
求
c
o
< p>s2
c
o
s
2
?
?
_______________
。
?
?
0,
5.
x
?
?
，求
f
?
x
?
?
cos
x
?
x
sin
x
的最小值为
_______________
。
?
?
2
?
?
?
6.
有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个 正三
角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多
2
个小球，球
数为
_______________
。
7.
数列
1,3
,2,
中，
a
n
?
2
?
a
n
?
1
?
a
n
，求<
/p>
?
a
i
?
_______________
。
i
?
1
100
8.
?
1
?
2
x
?
x
2
4
?
展开式中
x
7
系数为
_______________
。
9.
一人排版，有三角形的一个角，大小为
< p>60
，角的两边一边长
x
，
一边长
9
cm
，排版
时把长
x
的那边错排成
x
?
1
长，但发现角和对边
长度没变，则
x
?
_______________
。
10.
掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列
?
d
?
1
?
的概率为
_______________
。
11.
?
a
?
1
??
b
?
1
?
?
2
，则
arctan
a
?
arctan
b< /p>
?
（
）
12.A
．
B
．
C
．
D
．
13.
某人向正东走
xkm
，再左转
< br>150
朝新方向走了
3
km
，结果离出发点
3
km
，则
x
?
（
）
?
2
?
3
?
4
?
6
A
．
3
B
．
2
3
C
．
3 D
．不确定
1
1
?
??
?
14.
?
1
?
2
32
??
1
?
2
16
?
?
??
?
?
1
1
?
2
1
?
2
?
?
?
（
）
?
?
?
1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
1
?
1
A
．
?
1
?
2
32
?
B
．
< br>?
1
?
2
32
?
C
．
1
?
2
32
D
．
?
1
?
2
32
?
2
?
2
?
?
?
?
?
15.
t
?
0
，
S
?
?
x
,
y
?
?
x
?
t
?
2
?
y
2
?
t
2
，则（
）
A
．
?
t
，
?
0,0
?
?
S
B
．
S
的面积
?
?
0,
?
?
C
．对
?
t
?
5
< br>，
S
?
第一象限
D
．
?
t
，
S
的圆心在
y
?
x
< p>上
16.
一个圆盘被
2
n
条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最
多有（
）个
A<
/p>
．
2
n
?
2
B
．
3
n
?
1
C
．
3
n
D
．
3
n
?
1
17.
?
i
k
cos
?
45
?
90
k
?
?
（
）
k
?
0
40
?
?
A
．
2
1
1
21
B
．
2
C
．
?
21
?
20
i
?
D
．
?
21
?
20
i
?
2
2
2
2
18.
对
x
,
y
?
R
?
，定义
x
*
y
?
xy
< br>，则
?
*
?
满足（
）
x
y
A
．交换律
B
．结合律
C
．都不
D
．都可
19.
60
?
90
?
125
?
mod
N
?
，则
81
?
（
）
?
mod
N
?
A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6
2
0.
f
?
x
?
?
x
2
?
2
x
?
2
，在
x
?
?
t
,
t< /p>
?
1
?
上最小值为
g
?
t
?
，求
g
?
t
?
。
1
?
?
6
?
6
x
?
?
?
?
?
x
?
x
?
?
2
21.
x
?
R
?
，求
f
?
x
?
?
?
x
?
3
的最小值。
1
?
?
3<
/p>
?
3
x
?
?
?
?
x
?
x
x
?
?
6
22.<
/p>
f
1
?
x
?
?
2
x
?< /p>
1
，
f
n
?
1
?
x
?
?
f
1
?
?
f
n
?
x<
/p>
?
?
?
，求
f
28
?
x
?
x
?
1< /p>
23.
2
y
?
x< /p>
2
?
6
x
cos< /p>
t
?
9sin
2
t
?
8sin
t
?
9
（
t
?
R
,
t< /p>
为参数）
①求顶点轨迹，②求在
y
?
12
上截得最大弦长的抛物线及其长。
24.
a
n
为递增数列，
a
1
?
1
，
a
2
?
4
，在
y
?
x
上对应为
P
n
?
a
n
,
a
n
?
，以
OP
n
,
OP
n
?
1
与曲线
P
n
P
n
?
1
围成面
积为
S
n
，若
?
S
n
?
为<
/p>
q
?
4
的等比数列，
5
求
?
S
i
和
lim
a
< br>n
。
i
?
1
?
n
??
2018
-2019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（七）
一
、填空题（本题共
40
分，每小题
4
分）
1
．数
N
?
< p>2
12
?
5
8
的位数是
________________
．
2
．
若
log
2
[log
3
(log
4
x
)]
＝
log< /p>
3
[log
4
(
log
2
y
)]
＝
log
4
[log
2
(log
3
z
)]<
/p>
＝
0
，
则
x
+
y
+
z
＝
_________
．
3
．
若
log
2
3
＝
p
，
log
3
5
＝
q
，<
/p>
则用
p
和
q
表示
log
10
5
为
________________
．
4
．设
sin
?
和
sin
?
分别是
sin
?
与
cos
?
的算术
平均和几何平均，则
cos2
?
:co
s2
?
＝
____________
< p>．
5
．设
x
?
[0,
]
，则函数
f
(
x
)
＝
co s
x
+
x
si
n
x
的最小值为
2
?
________________
．
6
．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排
成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多
2
个小球，则这
盒小球的个数为
____________
．
7
．若在数列
1
，
3
，
2
，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一
项减去再前面一项，则这个数列的前
100
项之和是
_______________
．
8
．在
(1+2
x
?
x<
/p>
2
)
4
的二项展
开式中
x
7
的系数是
_ ______________
．
9
． 某编辑在校阅教材时，发现这句：
“从
60
°角的顶点开始，在一
边截取
9
厘米的线段，在另一边截取
a
厘米的线段，求两个端点
间的距离”
，< /p>
其中
a
厘米在排版时比原稿上多
1
．
虽然如此，
答案
却不必改动，即题目与
答案仍相符合，则排错的
a
＝
____
____________
．
10
．任 意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰
能排列成公差为
的等差数列的概率为
_________________
．
二、选择题（本题共
32
分，每小题
4
分）
11
．
a
>0
，
b
>0
，若
(
a
+1)(
b
+1)
＝
2
，则< /p>
arctan
a
+arctan
< br>b
＝
A
．
?
2
( )
B
．
?
3
C
．
?
< br>4
D
．
?
6
12
．一个人向正东方向走
x
公里，他向左转
150
°后朝新方向走了
3< /p>
公里，结果他离出发点
3
公里，则
x
是
A
．
3
?
1
32
?
1
16
< br>B
．
2
3
?
1
8
?
< br>1
4
?
1
2
( )
C
．
3
D
．不能确定
13
．< /p>
(1
?
2
)(1
?
2
)(1
?
2
)(1
?
2
)(1
?
2
)
?
( )
C
．
1
?
2
?
1
32
1
?
1
32
D
．
(1
?
2
)
2
1
1
?
?
1
32
?
1
32
?
1
A
．
(1
?
2
)
< p>B
．
(1
?
2
)
2
14
．设
[
t
]
表示≤
t
的最大整数，其中
t<
/p>
≥
0
且
S
＝
{(
x
,
y
)|(
x
?
T
)
2
+
y
2
≤
T
2
< br>,
T
＝
t
?
[
t
]}
，则
( )
B
．
S
的面积
A
．对于任何
t
，点
(0,0)
不属于
S
介于
0
和
?
之间
C
．对于所有的
t
≥
5
，
S
< br>被包含在第一象限
D
．对于任何
t
，
S
的圆心在直线
< br>y
＝
x
上
15
．若一个圆盘被
2
n
(
n
>0)
条相等间隔的半径和一 条割线所分隔，则
这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是
A
．
2
n
+2
B
．
3
n
?
1
( )
C
．
3
n
D
．
3
n
+1
16
．若
i
2
＝
?
1
，则
cos45
< p>°+
i
cos135
°
+
…
+
i
n
cos(45+90
n
)
°
+
…
+
i
4
0
cos3645
°＝
A
．
1
2
21
2
2
2
(21
?
20
i
)
2
( )
2
(21
?
20
i
)
2
B
．
D<
/p>
．
C
．
17
．若对 于正实数
x
和
y
定义
x
?
y
?
( )
xy
，则
x
?
y
A
．
”
*
”是可以交换的，但不可以结合
以结合的，但不可以交换
C
．
”
*
”既不可以交换，也不可以结合
以交换和结合的
B
．
”
*
”是可
D
．
”
*
”是可
18
．两个或两个以上的整数除 以
N(N
为整数，
N>1)
，若所得的余数相
同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同
余．若
69
，
90
和
125
对于某个
N
是同余的，则对于同样的
N
，
81
同余于
A
．
3
( )
B
．
4
C
．
5
D
．
7
三、计算题（本题共
78
分）
19
．
(
本题
10
分
)
已知函数
f
(
x
)
＝
x
2
+2
x
+2
，
x
∈
[
t
,
t
+1]
的最小值是
g
(
t
)
．试写出< /p>
g
(
t
)
的解析表达式．
1
1
(
x
?
)
6<
/p>
?
(
x
6
?
6
)
?
2
x
x
20
．
(
本题< /p>
12
分
)
设对于
x
>0
，
f
(
x
< p>)?
，
求
f
(
x
)
的最
1
3
3
1
(
x
?
)
?
x
?
< br>3
x
x
小值．
21
．
(
本题
16
分
)
已知函数
f
1
(
x
)
?
2
x
?
1
，
对于
n
＝
1,2,3,
…定义
f
n
+1
(<
/p>
x
)
x
?
1
＝
f
1
[<
/p>
f
n
(
x
)]
．若
f
35
(x)
＝
f
5
(
x
)
，则
f
28
(
x
)
的解析表达式是什么？
22
．
(
本题
20
分
)
已知抛物线族
2
y
＝
x
2
-6
x
cos
t
-9sin
2
t
+8sin
t
+9
，其
中参数
t
∈
R
．
(1)
求抛物线顶点的轨迹方程；
(2)
求 在直线
y
＝
12
上截得最大弦长 的抛物线及最大弦长．
23
．
(
本题
20
分
)
设
{
x
n
}
x
1
＝
1
，
x
2
＝
4
，在曲线
y
?
x
上
与之对应的点列为
y
P
n
+1
P
n
P
1
(1,1),
P
2
(4,2),
且
P
< br>3
(
x
3
,
x
3
)
,
…
,
P
n
(
x
n
,
x
n
)
…，
以
O
为原点，由
OP
n
、
OP
n
+1
与
曲线
P
n
P
n
+1
所围成部分的面积
为
S
n
，若
{
S
n
}(
n
∈
N
)
是公比为
O
Xn
Xn
+1
x
3
2
3<
/p>
4
2
的等比数列，图形
< br>X
n
X
n
+1
P
n
+1
P
n
的面积为
(
x< /p>
n
?
1
?
x
n
2
)
，
3
5
试求
S
1
+
S
2
+
…
+
S
n
+
…和
lim
x
< p>n
．
n
??
2018-2
019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（八）
一
、填空
(
每小题
5
分，共
45
分
)
1
．
sin
< p>x
?
sin
y
?
0
，则
cos
2
< br>x
?
sin
2
y
?
___________________
．
2
．
平面
?
1
,
?
2
成
?
的二面角，
平面
?
1
中的椭圆在平面
< br>?
2
中的射影是圆，
那么椭圆短
轴与长轴之比为
__________
．
3
．
(
x
2
< br>+2
x
+2)(
y
2
-2
y
+2)
1
，则
x
+
y
?
________________________< /p>
．
4
．电话号码
0
，
1
不能是首位，则本市电话号码从
7
位 升到
8
位，
使得电话号码资源增加
___ _
．
5
．
2002
?
8
3
a
3
+8
2
a
2<
/p>
+8
a
1
+
a
0
，
0
≤
a
0
,
a
1
,
a
2
,
a
3
≤
7
正整数，则
a
0
?
______________
．
6<
/p>
．
(
x
?
1
15
)
的常数项为
_____ ____________
．
x
n
(
n
?
1
?
n
)
＝
__________________
< p>．
7
．
lim
n
??
8
．空间两平面
?<
/p>
,
?
，是否一定存在一个平面均与平面<
/p>
?
,
?
垂直？<
/p>
___________
．
9<
/p>
．在
△
ABC
中，
cos(2
A
?
C
)
＝
cos(2
C
?
B
)
，则此三角形的形状是
_
_______________
．
二、解答题
(
共
87
分
)
1
．求解：
cos3
x
tan5
x
＝
sin7
x
．
2
．数列
3
，
3
?
< p>lg2，…
,3
?
(
n
?
1)lg2
．问当
n
为几时，前
n
项的和最
大？
3
．求证：
x
∈
R
时，< /p>
|
x
?
1|
≤
4|
x
3
?
1|
．
< br>4
．
a
为何值时，方程
< br>
5
．一艘 船向西以每小时
10
公里的速度航行，在它的西南方向有一
台风中心正以每小时
20
公里速度向正北方向移动，船与台风中
心距离
300
米，在台风中心周围
100
米处将受到影响，问此船航
行受台风影响的时间段长度？
1
x
4
6
．
x
-2
y
＝
1
< p>的所有整数解(
x
,
y
)
，试证明：
|
?
2
3
|
?
3
．
y
|
y
|
lg
x
lg(
a
?
x
)
?
?
log
2
(
a
2
?
1)
有解？只有一解？
lg
2
lg
2
3
3
2018-2
019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（九）
1.
已知：
sin
?
sin
y
?
0
< p>则
cos
2
x
cos
2
y
?
< p>_______________
。
2.
x
,
y< /p>
?
R
，
?
x
2
?
2
x
?< /p>
2
??
y
2
?
2
y
?
2
?
?
1
，则
x
y
?
_______________
3.
空间两平面
?
1
,
?
< br>2
，
_______________
?
3
与
?
1<
/p>
,
?
2
均垂直<
/p>
?
（请填
“存
在”或“不存在”
）
4.
从奇偶性看：函数
y
?
ln
x
?
x
2
?
1
是
。
5.
平面
?
< br>1
,
?
2
成
?
角，一椭圆
E
?
?
1
在
?
2
内射影为一个圆，求椭圆长轴
与短轴之比
_______________
。
6.
2002
?
8
3
a
3
?
8
2
a
2
?
8
a
1
?
a
0
?
1
?
a
i
?
7,
a
i
?
N
?
，
a
3
?
_______________
。
7.
ABC
中，
cos
?
2
A
?
C
?
?
cos
?
2
B
?
C
< br>?
，则
ABC
为
_______________
。
8.
若
0,1
作为特殊 号码不能放在首位，则电话号码由
7
位升至
8
位< /p>
后，理论上可以增加
_______________
电话 资源。
1
?
?
9.
?
3
x
?
?
中不含
x
的项为
_______________
。
x
?
?
15
?
?
10.
解方程：
< br>cos3
x
?
tan5
x
?
sin7
x
11.
v
1
?
1 0
km
/
h
向西行驶，
在 西南方向
300
km
处有一台风中心，
周围
100
km
为暴雨区，且以
v
2
?
20
< p>km/
h
向北移动，问该船遭遇暴雨
的时间段长度。
12.
已知：
0.3010
?
lg
2
?
0.3011
，要使数列
3,3
?
lg2,
,3
?
?
n
?
1
?
lg2
的
前
n
项和最大，求
n
。
13.
参数
a
取何值时：
log
a
x
log
x
?
2
a
?
x
?
1
?
?
log
a
2
log
x
2<
/p>
log
a
2
?
2
①有解
?
②仅有一解< /p>
?
14.
在
?
< br>0,
?
?
内，方程
a
cos2
x
?
3
a< /p>
sin
x
?
2
?
0< /p>
有且仅有二解，求
a
的范围。
1
x
4
15.<
/p>
证明方程：
x
?
2
y
?
1
的任一组整数解
?
x
,
y
??
y
?
0
?
都有：
?
2
3
?
3
。
3
3
y
y
2018-2019
年最新南京大学自主招生考试数学 模拟考试
精品试题（十）
1.
?
3
?
1
，
?
是虚数，则
?
2
n
?<
/p>
?
n
?
1
?
_______________
。
2.
函数
y
?
ax
?
b
?
a<
/p>
,
b
?
Z
?
的图象与三条抛物线
y
?
x
2
?
3
、
y
?
x
2
?
6
< p>x?
7
、
y
?
x
2
?
4
x< /p>
?
5
分别有
2
，
< p>1，
0
个交点，则
?
a
,
b
?
?
_______________
。
3.
若
3
a
?
4
b
?
6
c
，则
?
< br>1
a
1
1
?
?
_______________
。
2
b
c
4.
< /p>
若
2
x
?
2
?
x
?
2
，则
8
x
?
_______________
。
sec
2
x
?
tan
x
5.
函数
y
?
2
的值域为
_______________
< p>。
sec
x
?
ta n
x
1
??
1
?
?
1
?
1
?
1
?
1
?
?
_______________
。
6.
?
?
?< /p>
2
??
2
?
2
?
?
2
??
3
?
?
n
?
7.
正实数
x
,
y
,
z
满足
x
2
?
y
2
?
z
2
?
1
，则
_______________
。
1
1
1
?
?
的最小值是
x
< br>2
y
2
z
2
8.
一个圆内接四边形
ABCD< /p>
，已知
AB
＝
4
，
B C
＝
8
，
CD
＝
9
，
DA
＝
7
，则
< br>cos
A
?
_______________
。
9.
实数
a
,
b
满足
a
1
?
b
2
?
1
?
a
2
?
1
，则
a
2
?
b
2
?
_______________
。
1
?
9
2
10.
?
x
?
1
?
< br>?
?
的展开式中
x
的系数为
_______________
。
2
x
?
?
9
11.
方程
a
2
< br>?
x
2
?
2
?
x
，
1
?
a
?
2
，则方程有
___________ ____
个实
数解。
12.<
/p>
ABC
三边长
a
,
b
,
c
满足
a
?
b
?
c
，
b
?
n
，
?
< br>a
,
b
,
c
?
N
*
?
，则不同的三角
形有
_______________
个。
13.
掷
3
个骰子，
掷出点数之和 为
9
的倍数的概率为
_______________
< p>。
14.
若不等式
0
?
x
2
?
ax
?
5
?
4
只有唯一实数解，则<
/p>
a
?
_______________
15.
有两个两位数，
它们的差 是
56
，
两数分别平方后，
末两位数相同，
则这两个两位数为
_______________
。
16.
在一个环形地带上顺次有五所学校
A
、
B
、
C
、
D
、
E
，
它们各有
15
、
7
、
11
、
3
、
14
台机器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必
须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则
A
应给
B_______________
台，
B
应给
C _______________
台，
A
给
E_______________
台，总共运输
_____ __________
台。
17.
①用 数学归纳法证明以下结论：
1
?
?
n
?
2,
n
?
N
*
?
。
x
2
sin
x< /p>
?
1
，利用①的结论求
②若有
1
?
?
6
x
1
?
1
lim
?
1
?
sin1
?
2
?
sin
?
n
??
n
2
?
1
?
?
n
?
sin
?
n
?
1
1
?
2
?
2
2
3
?
1
1
?
2
?
< br>n
2
n
18.
若
x
?
f
?
x
?
，称
x
为
f
?
x
?<
/p>
的不动点，
f
?
x
?
?
2
x
< p>?a
x
?
b
①若
f
?
x
?
有关于原点对称的两个不动点，求
a
,
b
满足的关系；
②画出这两个不动点的草图。
19.
有
50
cm
的铁丝，要与一面墙成面积为
144
cm
2
长方形区
域，为使用
料最省，求矩形的长与宽。
20.
数列
?
a
n
?
满足
a
n
?
1
?
2
a
n
2
?
1
，
a
N
?
1
且
a
N
?
1
?
1
，其中
N
?
?
2,3,4,
?
①求证：
a
1
?
1
；
②求证：
a
1
?
cos
k<
/p>
?
k
?
Z
?
。
N
?
2< /p>
?
2
21.
函数
f
?
x
?
?
lg
x
，有
0
?
a
?
b
且
< br>f
?
a
?
?
f
?
b
?
?
2
f
?
?
①求
a
,
b
满足的关系；
②证明：存在这样的
b
，使
3
?
b
?
< p>4
。
a
?
b
?
?
?<
/p>
2
?
22.
A<
/p>
,
B
两人轮流掷一个骰子，第一次由
A
先掷，若
A
掷到一点，下
次仍由
A
掷：
若
A
掷不到一点，
下次换
B
掷，
对
B
同样适用规则。
如此依次投掷，记第
n
次由
A
掷的概率为
A
n
。
①求
A
n
?
1
与
A
n
的关系；
②求
lim
n
。
n
??
2018-2
019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（十一）
一、填空题
（本题共
64
分，每小题
4
< p>分）
1
．
设
方
程
x
3
=1
的
一
个
虚
数
根
为< /p>
?
,
则
?
2
n
?
?
n<
/p>
?
1
(
n
是
正
整
数
)=________ __
．
2
．设
a
,
b
是整数，直线
< br>y
=
ax
+
b
和
3
条抛物线：
y
=
x
2
+3,
y
=
x
2
+6
x
+7
与
y
=
x
2
+4
x
+5
的交点个数分别是
2
，
1
，
0
，
则
(
a
,
b
)=___________
．
3
．
投掷
3
个骰子，
其中点数之积为
9
的倍数的概率为
___________
．
4
．
若
x
,
y
,
z
< br>>0
且
x
2
+<
/p>
y
2
+
z
2
=1
，
则
1
1
1
?
2
?
2
x
y
z
< br>2
的最小值为
___________
．
5
．若
2
x
?
2
?
x
=2
，则
8
x
=_______
_______
．
6
．若
a
,
b
,
< br>c
为正实数，且
3
a
=4
b
=6
c
，则
?
7
．
(1<
/p>
?
1
1
)(1
?< /p>
)
2
2
3
2
(1
?
1
a
1
1
?
=______
_______
．
2
b
c
1
)
的值为
____ _________
．
n
2<
/p>
sec
2
x
?
< p>tgx
8
．函数
y
?
2
的值域为
______________
< p>．
sec
x
?
tg x
9
．若圆内接四边形
ABCD
的边长
AB
=4
，
BC
=8
，
CD
=
9
，
DA
=7
，则
cos
A
=__________
．
10
．若
a
< br>,
b
满足关系：
a
1
?
b
2
?
b
1
?
a
2
?
1
，则
a
2
+
b
2
=_________
___
．
11
．
(
x
2
?
1
?
1
9
9
)
的展开式中
x
的系数是
__ ___________
．
2
x
12
．
当
1
?
a
?
2
时
，
方
程
a
2
?
x
2
?
2
?
|
x
|
的
相
异
实
根
个
数
共
有
_____________
个．
13
．若不等式
0
?
x
2
?
ax
?
5
?
4< /p>
有唯一解，则
a
=__________
_____
．
14
．设
a
,
b
,
c
表示三角形三边的长，均为整数，且
a
?
b
?
c
，若
b<
/p>
=
n
（正整数）
，则可组 成这样的三角形
______
个．
15
．有两个二位数，它们的差是
56
，它们的平方数的末两位数字相
同，则这两个数为
_______
．
< /p>
16
．
某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等
5
所小学，
各小学
分别有电脑
1 5
，
7
，
11
，
3
，
14
台，现在为使各小学的电脑数相
等
，
各向相邻小学移交若干台，
且要使移交的电脑的总台数最小，
< br>因此，
从第一小学向第二小学移交了
________
台，
从第二小学向
第三小学移交了
______
台，从第五小学向第一小学移交了
________
台，移动总数是< /p>
_________
台．
二、计算与证明
题
（本题共
86
分）
1
7
．
（本题
12
分）
（
< p>1）设
n
为大于
2
的整数，试 用数学归纳法证明下
列不等式：
1
(1)
1
?
2<
/p>
?
2
?
2
3
x
2
sin
x
1
1
?
1
，
?
2
?
2
?
；
(2)
已知当
< p>0
?
x
?
1
时
,1
?
?
6
x
< br>n
n
试用此式与
(1)
的不等式求
lim
(sin1
?
2sin
?
3sin
?
?
n
sin
)
n
??
18
．
（本题
14
分）若存在实数< /p>
x
，使
f
(
x
)=
x
，则称<
/p>
x
为
f
(
x
)
的不动
点，已知函数
f
(
x
)
?
< br>2
x
?
a
有两个关于原点对称的不
动点
x
?
b
1
n
1
2
1
3
1
n
(1) <
/p>
求
a
,
b
须满足的充要条件；
(2)
试用
< p>y
=
f
(
x
)
和
y
=<
/p>
x
的图形表示上述两个不动点的位置（画
草图）
19
．
< p>（本题
14
分）
欲建面积为
1 44m
2
的长方形围栏，
它的一边靠墙
（如图）
，现有铁丝网
50m
，问
筑成这
样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．
20
．
（本题
14
分）设数列
{
a
n
}
满足关系
a
n
?
1
< p>?
2
a
n
2
?
1
(
n
?
1,
2,
)
，若
N
< br>满
足
a
N
?
1(
N
?
2,3,
)
，
试证明：
(1)
< br>|
a
1
|
?
1
；
21<
/p>
．
（本题
16
分）设
f
(
x
)
?
|
lg
x
|,
a
,
b
为
实数，且
(2)
a
1
?
cos
k
?
（
k
为整数）
N
?
2
2
x
144m
2
y
0
?
a
?< /p>
b
,
若
a
,
b
满足
f
(
a
)
?
f
(
b
)
?
2
f
(
a
?
b
)
2
试写出
a
与
b
的关系，并证明在这一关系中存在
b
满足
3<
b
<4
22
．
< p>（本题16
分）
A
和
B
两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再
继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由
A
开始掷，
设第
n
次由
A
掷的概率是
P
n
．试求：
(1)
P
n
+1
用
P
n
表示的式子；
(2)
极限
lim
P
n
n
??
2003
年南京大学冬令营选拔测试数学试题
2003.1.4
一、填空题（本大题共
40
分，每题
4
分）
1
．三次多项式
f
(
x
)
满足
f
(3)
＝
2
f
(1)
，且有两个相等的实数根
2
，
则第三个根为
__________ _
．
2
．用长度为
12
的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积
S
的
最大值是
_______________
．
3
．已知
x
,
y
?
R
?
，
x
+2
y
＝
1
，则
?
的最小值是
_____________ _
．
4
．有
4
个数，前
3
个成等比数列，后
3
个成等差数 列，首末两数和
为
32
，中间两数和为
2 4
，则这四个数是
___________________
．< /p>
5
．
已知
f
(
x
)
?
< br>ax
7
+
bx
< br>5
+
x
2
+2
x
?
1
，
f
(2)
??
8
，
则
f
(
?
2)
?
_______________
．
6
．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是
________
_______
．
7
．正四面体的各个 面无限延伸，把空间分为
________________
个部
分．
8
．有
n
个元素的集合分为两部分，空集除外，可有
___________
< p>种
分法．
9
．有一个整数 的首位是
7
，当
7
换至末位时，得到的数是原数的 三
分之一，则原数的最小值是
___________
．
10
．
100!
末尾连 续有
______________
个零．
二、解答题（本大题共
60
分，每题
10
分）
11
．数列
{
a
n
}
的
a
1
?
1
，
a
2
?
3
，
3
< p>a
n
+2
?
2
a
n
+1
+
a
n
，求
a
n
和
lim
a
n
．
n
??
2
x
2
y
12
．
3
个自然数倒数和为
1
< p>．求所有的解．
13
．已知
x
1000
+
x
999
(
x
+1)+
…
+(
x
+1)
1000
，求
x
50
的系数．
1
2
?
C
14
．化简：
(1) < /p>
1
?
1!
?
2
?
2!
?
?
n
?
n
!
；
(2)
C
n
?
1
n
?
2
?
k
?
C
n
?
k
．
a
3
?
2
a
1
5
．求证：
4
为最简分式．
< /p>
2
a
?
3
a
?
1
<
/p>
16
．证明不等式
(
)
< p>n
?
n
!
?
(
)
n
，当自然数
n<
/p>
≥
6
时成立．
n
2
n
3
2018-2019
年最新南京大学自主招生考试 数学模拟考试
精品试题（十二）
一、填空题
(
本大题共
80
分，每题
8
分
)
< br>t
2
1
1
．函数
y
?
f
(
t
?
x
)
，当
x
=1
时，
y
?
?
t
?
5
，则
f
< br>(
x
)
＝
2
2
x
________________
2
．方程
x
2
+(
a
?
2)
x
+
a
+1
?
0
的两根
x
1
,
x
2
在
圆
x
2
+
y<
/p>
2
?
4
上，则
a
?
_______________
．
< p>
3
．
划船时有
8
人 ，
有
3
人只能划右边，
1
人只能划 左边，
共有
________
种分配方法．
4
．
A
＝
{
x
|log
2
(
x
2
?
4< /p>
x
?
4)>0}
，
B
＝
{
x
||
x
+1|+|
x
?
3|
≥
6}
，则
A<
/p>
?
B
=_______________
．
5
．数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
k
=
k
·
p
k
(1
?
p
),(
p
≠
1)
，则
S
k
＝
______________
．
6
．若
(
x
?<
/p>
1)
2
+(
y
?
1)
2
?
1
，则
y
?
1
的范围是
___________________
．
< br>x
?
3
7
．
边长为
4
的正方形
ABCD
沿
BD
折成
60
o
二面角，
则
BC
中点与
A
的
距离是
_________
．
8
．已知
|
z
1
|
?
2
< p>，|
z
2
|
?
3
，
|
z
1
+
z
2
|
?
4
，则
z
1
?
______________
．
< /p>
z
2
9
．解方程
x
log
a
x
x
3
?
2
，
x
＝
_____________ ___
．
a
a
n
10
．
(
a
>0)
，
lim
＝
______________
．
n
??
2
n
?
a
n
二、解答题
(
本大题共
120
分
)
11
．已知
|
z
|
＝
1
，求
|
z
2
+
z
+4|
的最小值．
12
．
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
是各不相同的自然数，
a
≥
2
，求证：
1
1
1
(
)
a
?
(
)
a
?
(
)
a
?
a
1
a
2
a
3
?
(
1
a<
/p>
)
?
2
．
a
n
13<
/p>
．已知
sin
?
?
cos
?
?
14
．
一矩形的一边在
x
轴上，
另两个顶点在函数
y
?
上，
x
(
x
>0)
的图象
1
?
< p>x
2
3
，
cos
?
?
sin
?<
/p>
?
2
，求
tan
?
?
cot
?
< br>的值．
2
求此矩形绕
< br>x
轴旋转而成的几何体的体积的最大值．
15<
/p>
．一圆锥的底面半径为
12
，高为
16
，球
O
1
内切于圆锥，球
于圆锥侧面，与球
O
1
外
切，…，以次类推，
(1)
求所有这些球的半径
r
n
的通项公式；
(2)
所有这些球的体积分别为
V
1
,
V
2
,
…
,
V
n
,
…．求
lim(
n
??
V
1
?
V
2
?
?
V
n<
/p>
)
．
16
．已知数列< /p>
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
n
?
1
(
n
?
1
?
n
)(
n
?
1
?
n
?
1)(
n
?
n
?
1)
，求
S
2003
．
O
2
内切
17
．定义闭集合
S
，若
a
,
< p>b?
S
，则
a
?
b
?
S
，
a
?
b
?
S
．
(1)
举一例，真
包含于
R
的无限闭集合．
(2)
求证对任意两个闭集合
S
1
,
S
2<
/p>
?
R
，
存在
c
?
R
，但
c
?
S
1
?
S< /p>
2
．
201
8-2019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（十三）
一、填空题
1
．
f
(
x
)
是 周期为
2
的函数，
在区间
[
?
1,1]
上，
f
(
< br>x
)
?
|
x
|
，
则
f
(
2
m
?
)
?
___(
m
为整数
)
．
2
．函数
y
?
cos2
x
?
2cos
x
,
x
∈
[0,2
?
]
的单调区间是
____
______________
．
3
． 函数
y
?
2
x
2
?
x
2
的值域是
____ ______________
．
4
．
5
．函数
y
＝
f
(
x
)
，
f
< br>(
x
+1)
?
f
(
x
)
称为
< p>f
(
x
)
在
x
处的一阶差分，记作
△
y
，对于△
y
在
x
处的一阶差分，称为
f
(
x
)
在
x
处的二阶差分
△
2
y<
/p>
，
则
y
＝
f
(
x
)
＝< /p>
3
x
·
x
在
x
处的二阶差分△
2
y
?
____________
．
6
．
7
．
从
1
～
100
这
100
个自然数中取
2
个数，
它们
z
3
2
的和小于等于
50
的概率是
__________
．
< p>
8
．正四面体
ABCD
< br>，如图建立直角坐标系，
O
为
M
B
A
N
O
C
D
x
y
A
在
底面的投影，则
M
点坐标是
_________
，
CN
与
DM
所成角是
_________
．
9
．双曲线
x
2
?
y
2
＝
1
上一点
P
与左右焦点所围成三角形的面积
___________
．
x
2
y
2
10
． 椭圆
?
?
1
在第一象限上一点<
/p>
P
(
x
0
,
y
0
)
P
的切线与坐标
4
3
轴所围成的三角形的面积是
_________
．
二、解答题
2
2
?
2
kx
?
k
?
0
对于任意
x
∈
R
都成立，
11
．
不等式
log
2
2
求
k
的取值范围．
3
x
?
6
x
?
4
12
．
不动点，
f
(
x
)
?
1
2
bx
?
c
1
．
(1)
,3
为不动点，
求
a
,
b
,
c
的关系；
(2)
x
?
a
2
若
f
(1)
?
，求
f
(
x
)
的解析式；
(3)
13
．已知
y
?
sin
?
?
cos
?
(
?
?
[0,2
?
))
，
(1)
求
y
的最小值；
(2)
求取
2
?
sin
?
?
cos
?
得最小值时的<
/p>
?
．
14
．正三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
< br>1
，
|
AA
1<
/p>
|
?
h
，
|
BB
1
|
?
a
，点
E
从
A
1
出发沿棱
A
1
A
运动，
后沿
AD
运动，
∠
A
1
D
1
E
?
?
，
求过
EB
1
C
1
的平面
截三棱柱所得的截面面积
S
与
?
的函数关系式．
15
．已知数列
{
a
n
}
满 足
a
n
?
1
?
a
n
?
a
n
?
1
．
2
A
1
D
1
B
1
A
D
B
C
1
C
(1)
若
b
n
＝
a
n
?
a
n
?
1
(n=2,3,
…
)
，
求
b
n
；
(2 )
求
?
b
i
；
(3)
求
lim
a< /p>
n
．
i
?
1
n
n
??
< br>16
．抛物线
y
2
＝
2
px
，
(1)
过焦点的直线斜率为
k
，交抛物线与
A
,
B
，
求
|
AB
|
．
( 2)
是否存在正方形
ABCD
，使
C
在抛物线上，
D
在抛物
线内，若存在，求这样的
k
，正方形<
/p>
ABCD
有什么特点？
南京大学
2004
年保送生考试数学试题
(90
分钟
)2004.1.3
一、填空题：
1
．已知
x
,
y
,
z
是非负整数，且
x
+
y
+
z
=10
，
x
< br>+2
y
+3
z
< br>=30
，则
x
+5
y
+3
z
的范围是
_ _________
．
2
．长为
l
的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的
最大
值是
_________
．
3
．函数
y
?
sin
x
?
cos
x
（
0
?
x
?
?
2
< br>）的值域是
_____________
．
4
．已知
a
,
b
,
c
为三角形三边的长，
b
=
n
，且
a
≤
b
≤
c
，则满足条件的
三角形的个数为
__ ______
．
5
．
< br>x
2
?
ax
?
< p>b
和
x
2
?
bx
?
c
的最大公约数为
x
?
1
，最小公倍数为
x
3
?
(
c
?
1
)
x
2
?
(
b
?
3
)
x
?
d
，则
a
=_
_____,
b
=_______,
c
=_______,
d
=______
____
．
6
．已知
< br>1
?
a
?
2
,
则方程
a
2
?
x
2
?
2
?
x
的相异实根的个数是
__________
．< /p>
7
．
(
7
2004
?
36
)
818
的个位数是
______________
．
8
．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
1
,<
/p>
a
2
?
2
，且
a
n
?
2
?
3
a
n
?
1
?
2
a
n
< br>，则
a
2004
=______
______
．
9
．
< br>n
?
n
的正方格
,
任取得长方形是正方形的概率是
__________
．
10
．已知
6
xyzabc
< p>?7
abcxyz
,
则
xyzabc
=_______________
．
11
．
12
．
二、解答题
1
．已知矩形的长 、宽分别为
a
、
b
，现在把矩形对折，使矩形的对顶
点重合，求所得折线长．
2
．某二项展开式中，相邻
< br>a
项的二项式系数之比为
1
：
2
：
3
：…：
a
，
求二项式的次数、
a
、以及二项式系数．
3
．
f
(
x
)=
ax
4
+
x
3
< br>+(5
?
8
a
)
x
2
+6
x
?
9
a
，证明：
（
1
）总有
f
(
< br>x
)=0
；
（
2
） 总
有
f
(
x<
/p>
)
≠
0
．
4
．
f
1
(
x
)
?
< br>1
?
x
，对于一切自然数
n
，都有
f
n
?
1
(
x
)
?
f< /p>
1
[
f
n
(
x
)]
，且
x
?
1
f
36
(
x
)
?
f
6
(
x
)
，求
f
28
(
x
)
．
5
．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条
直线相切，求椭圆中
心的轨迹．
6<
/p>
．已知
?
b
n
?
为公差为
6
的等差数列
，
b
n
?
1
?
a
n
?
1
?
a
n
(
n
?< /p>
N
)
．
(1)
用
a
1
、
b
1
、
n
< br>表示数列
?
a
n
?
的通项公式；
(2)
a
1
?
?
b
1
?
a
，<
/p>
a
?
[
27
,
33
]
，
求
a
n
的最小值及取最小值时的
n
的
值．
< br>2018-2019
年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试
精品试题（十四）
一、填空题（每题
8
分，共
80
分）
1
．
x
8
?
1
?
(
x
4
?
2
x
2
< br>?
1
)(
x
4
?
ax
2
?
1
)
，则
a
?
____
_____
．
2
．已知
5
x
?
3
?
5
< p>x?
4
?
7
，则
x
的范围是
___________
．
x
2
y
2
3
．椭圆
?
?< /p>
1
，则椭圆内接矩形的周长最大值是
__________ _
．
16
9
4
．
12
只手套（左右有区别）形成
6
双不同的搭配，要从中取出
4
只正好能形成
2
双，有
____
种取法．
5
．
已知等比数列
?
a
n
?
中
a
1
?
3
，
且第一项至第八项 的几何平均数为
9
，
则第三项为
____ __
．
6
．
x
2
?
(
a
?
1
)
x
?
a
?
0
的所有整数解之和为
27
，
则实 数
a
的取值范围是
_________
__
．
x
2
< br>y
2
(
x
?
4
)
2
y
2
?
?
1
，则
?<
/p>
7
．已知
的最大值为
__________ __
．
4
9
4
9
8
．设
x
1
,
x
2
是方程<
/p>
x
2
?
x
sin
?
?
cos
?<
/p>
?
0
的两解，则
arct
gx
1
?
arctgx
2
=__________
．
9
．
z
3
?
的非零解是
___________
．
< p>
10
．
y
?
2
1
?
x
1
?
x
3
5
3
5
的值域是
____________
．
二、解答题（每题
15
分，共
120
分）
1
．解方程：
< p>log
5
(
x
?< /p>
x
?
3
)
?
1
．
2
．
已知
sin(
?
?
< br>?
)
?
3
．已知过两抛物 线
C
1
：
x<
/p>
?
1
?
(
y
?
1
)
2
，
C<
/p>
2
：
(
y
?
1)
2
?
?
4
x
?
a
?
1
的交点的
各自的切线互相垂直，求
a
．
4
．
若存在
M
，<
/p>
使任意
t
?
D
（<
/p>
D
为函数
f
(
< p>x)
的定义域）
，
都有
f
(
x
)
?
M
，
则称函数
f
(
x
)
有界．问函数
f
(
x
)
?
sin
在
< br>x
?
(
0
,
)
上是否有界？
5
．求证：
1
?
1
2
3
12
4
?
，
且
?
< br>?
0
,
?
?
0
,
?
?
?
?
，
求
tg
2< /p>
?
．
sin(
?
?
?
)
?
?
，
13
5
2
1
x
1
x<
/p>
1
2
?
1
3
3
?
?
?
1
n
3
?
3
．
广州老人大学-广州老人大学
华北理工大学怎么样-华北理工大学怎么样
东大学位-东大学位
圣三一大学-圣三一大学
铁路大学生-铁路大学生
东华大学服装学院-东华大学服装学院
思创大学-思创大学
大学政审表-大学政审表
-
上一篇：大学自主招生面试题
下一篇：9大高校自主招生考试真题汇总(2017年)