大学生社会实践意义-大学生社会实践意义
上海交通大学
2007
年冬令营选拔测试数学试题
一、填空题（每小题
5
分，共
50
分）
1
．
设函数
f
(
x
)
满足
2
f
(3
x
)
?
f
(2
?
3
x
)
< p>?6
x
?
1
，
则
f
(
x
)
?< /p>
．
2
．设
a
,
b
,
c
均为实数，且
3
a
?
6
b
?
4
，则
?
?
．
3
．
设
a
?
0
且
a
?
1
，
则
方
程
a
x
?
1
?
?
x
2
?
2
x
?
2
a
的
解
的
个
数
为
．
4
．设扇形的周长为
6
，则其面积的最大值为
．
5
．
1
?
1!
?
2
?
2!
?
3
?
3!
?
L
?
n
?
n
!
?
< p>．
6
．
设不等式
x
(
x
< p>?1)
?
y
(1
?
< p>y)
与
x
2
?
y
2
?
k< /p>
的解集分别为
M
和
N
．
若
M
?
N
，
则
k
的最小
值为
．
7
．
设
函
数
f
x
)
?
x
x
1
a
1
b<
/p>
，
则
S
?
1
?
2
f
(
x
)
< p>?3
f
2
(
x
)
?
L
?
nf
< br>n
?
1
(
x
)
?
．
8
．
设
a
?
< p>0
，
且
函
数
f
(
x
)
?
(
a< /p>
?
cos
x
)(
a
?
sin
x
)
的
最
大
值
为
a
?
．
25
，
则
2
9
．
6
名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷
的
先后次序不定，
且每人答完后立即交卷离开座位，
则其中一人交卷
时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为
．
10
．已知函数
f
1
(
x
)
?
2
x
?
1
，对
于
n
?
1,2,
L
，定义
f
n
?
1
(
x
)
?
f
1
(
f
n
(
x
))
，若
x
?
1
f
35
(
x
)
?
f
5
(
)
，则
f
28<
/p>
(
x
)
?
．
二、计算与证明题（每小题
10
分，共
50
分）
11
．工件内圆弧半径测量问题．
为测量一工件的内圆弧半径
R
，工人用三个半径均为
r
的圆柱形量棒
O
1
,
O
2
,
O
3
放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡
尺
水平面到中间量棒
O
2
顶侧面的垂直深度
h
，
试写
出
R
用
h
表示
的函数关系式，
并计算当
r
?
10
mm
,
h
?
4
mm
时，
R
的值．
12
．设函数
f
(
x
)
?
sin
x
?
cos
x
，试讨论
f
(
x
)
的性态（有界性、奇偶性、
单调性和周期性）
，求其极值，并作出其在
?
0,2
?
?
内的图像
．
13
．已知线段
AB
长度为
3
，两端均在抛物线
< br>x
?
y
2
上，试求
AB
的中点
M
到
y
轴的最短距离和此时
M
< br>点的坐标．
参考答案：
1.
2
x
?
1
2.
?
3. 2 4.
5.
?
n
?
1
?
!
?
1
6.
2
1
2
9
4
?
1
n
?
n
?
1
?
x
?
0
?
2
2
x
?
3
43
?
2
2
7.
?
8.
9.
10.
?
n
5
?
3
x
45
?
1
?
?
?
1
?
?
2
n
?
1
?
x
?
0
?
?
4
1
1.
R
?
r
2
< br>?
r
，
R
?
60
mm
12.
?
1,
2
?
?
?
2
h
；
偶
函
数
；
1
?
?
?
1
k
?
,
k
?
?
Z
?
?
2
4
?
?
2
?<
/p>
k
?
Z
?
；
?
k
?
1
?
?
1
k
?
?
,
?
?
]
?
2
4
2
?
?
d
min
?
?
k
?
Z
?
；
周
期
为
?
13.
2
?
5
2
?
5
；
M
?
< br>
,
?
?
?
?
2
?
4
< br>?
4
14.
略；反证法
15. 2
；
3
；
3
?
2
2
n
?
3
?
2
n
?
2
2008
2008.1.1
一．填空题
2
x
?
1
3
1
． 若
f
(
x
)
?
< p>x
，
g
(
x
)
?
f
?
1
(
x
)
，则
g
(
)
?
_______
．
2
2
?
1
5
2
．函数
y
?
x
?
1
1
的最大值为
______ ____
．
2
x
?
8
4
3
．等差数列中，
5
a
8
?
3
a
13
，则前
n
项和
S
n
取最大值时，
n
的值为
__________
．
20
4
．
复
数
|
z
|
?
1
< br>,
若
存
在
负
数
a
使
得
z
2
?
2
az
?
a
< p>2
?
a
?
0
，
则
a
?
________
．
1
?
5
2
5
．若
cos
x
?
sin
x
?
，则
cos
3
x
?
sin
3
x
?
___ _____
．
6
．数列
?
a
n
?
的通
项公式为
a
n
?
1
2
11
16
1
，则这个数列的前
99
< br>n
n
?
1
?
(
n
?
1)
n
项之和
S
99
?
_______
< br>．
9
10
7
．
(1
?
x
)
?
(1
?
x
)
2
?
……
?
(1
?
x
)
98
?
(1
?
x
)
99
< br>中
x
3
的
系
数
为
4
_
_
_
_
_
_
_
_
．
C
100
?
3921225
a
0
?<
/p>
0
，
a
2
?
6
，
a
4<
/p>
?
20
，
a
6
?
42
，
8
．
数列
?
a
n
?
中，
a
1<
/p>
?
?
，
a
3
?
?
，
a<
/p>
5
?
?
，
1
2
3
4
5
6
7
a
8
?
72
，
此数列的通项公式为
a
n
?
_______
．
(
?
1)
a
7
?
?
，
8
n
n
(
n< /p>
?
1)
(
?
1)
< p>n
9
．甲、乙两厂生产同一种 商品．甲厂生产的此商品占市场上的
80%
，
乙厂生产的
占
20%
；甲厂商品的合格率为
95%
，乙厂商品 的合格率为
90%
．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生 产的概率
为
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
．
10
．若曲线
C
1
:
x
2
?
y
2
?
0
与
C
< br>2
:
(
x
?
a
)
2
?
y
2
?
1
的图像有
3
个交点，则
a
?
．
?
1
2
3
二．解答题
1
．
30
个人排成矩形，身高各不相同．把每 列最矮的人选出，这些人
中最高的设为
a
；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为
b
．
（１）
a
是否有可能比
b
高？
（２）
a
和
b
是否可能相等？
1
．
解：
< br>?
1
?
不可能
①
若
a
、
b
为同一人，有
a
?
b
；
②
若< /p>
a
、
b
在同一行、列，则均有
a
?
b
；
③
若
a
、
b
不在同一行、列，同如图
1
以
5*6
的矩形为例，记
a
所在列与
b
所在行相交的人为
x
。
因为
a
为
a
、
x
列最矮的人，所以有
a
?
x
；
又因为
b
为
b
、< /p>
x
列最高的人，所以有
b
?
x
；
于是有
a
?
x
?
b
。
综上，不可能有
a
?
b< /p>
?
2
?
有可能，不妨令
30
个 人身高由矮至高分别为
1,2,3
……
30
，如图
2
所示：
此时有
a
?
b
?
26
．
3
．世界杯预选 赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在
A
组，
进
行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不
得分．比赛结束后前两
名可以晋级．
（１）由于
4
支队伍均为 强队，每支队伍至少得
3
分．于是
甲专家预测：中国队至少得
10
分才能确保出线；
乙专家预测：中国队至少得
11
分才能确保出线．
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
（２）
若不考虑
?
1
?
中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？
解：
< br>?
1
?
乙专家
若中国队得
10
分，则可能出现其 余三队
12
分、
10
分、
10
分的情
况，以澳大利亚
12
分，
，卡塔尔
10
分，伊拉克
3
分为例，得分情况< /p>
如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。
澳
澳
中
中
卡
卡
伊
伊
总分
澳
3
0
3
0
3
3
1
3
0
3
3
3
12
10
10
3
中
0
3
卡
0
3
1
0
伊
0
0
3
0
0
0
假设中国队得了
11
分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第
二名均不少于
11
分，而第四名不少于
3
分。
12
场比赛四队总得分至
多
36
分，所以前三名
11
分，第四名
3
分。而四队总分
36
分时不能
出现一场平局，
而
11
不是
3
的倍数，故出线平局，矛盾！
所以中国队得
11
分可以确保出线。
?
2
?
若中国队得
12
分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋 级。
澳
澳
中
中
卡
卡
伊
伊
总分
澳
3
0
3
0
3
3
0
3
3
3
3
3
12
12
12
0
中
0
3
卡
0
3
3
0
伊
0
0
0
0
0
0
假设中国队得
13
< p>分仍无法出线，则必为第3
名，则第一名、第二
名均
不少于
13
分，总得分已经不少于
39
分大于
36
分，矛盾！
故中国队至少得
13
分才可以确保出线。
4
．
通信工程中常用
n
元数组
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
……
a
n
)
表示信息，
其中
a
i
?
0
或
1
< p>，
i
、
n
?
N
．设
u
?
(
a
1
,
a
2
,
a
3
……
a
n
)
，
v
?< /p>
(
b
1
,
b
2
,
b
3
……
b
n
)
，
d
(
u
,
v
)
表示
u
和
v<
/p>
中
相对应的元素不同的个数．
< br>（１）
u
?
(0,0,0,0,0)
问存在多少个
5
元数组
v
使得
d
(
u
,
v
)
?
1
；
（２）
u
?
(1
,1
,1
,1
,1)
问存在多少个
5
元数组
v
使得
d
(
u
,
v
)
?
3
；
（３）
令
w
?
(0,0,0
1
4
2
……
4
3
< p>0)
，
u
?
(
a
1
,
a
2
,
a
3
……
n
)
，
v
?
(
b
1
,<
/p>
b
2
,
b
3
……
b
n
)
，
n
个
0
求证：
d
(
u
,
w
)
?
d
(
v
,
w
)
?
d
(
u
,
v
)
．
< br>解：
?
1
?
5
；
?
2
?
C
5
3
?
10
；
对应项同时为<
/p>
1
的
?
3
?
记
u
、
v
中对应项同时为
0
的项的个数为
p
< br>，
项的个数为
q
，则对应项一个
为
1
，一个为
0
的项的个数为
n
?
p
?
q
；
(
p
、
q
?
N< /p>
，
p
?
q
?
n
)
．
d
(
< p>u,
w
)
即是
u
中
1
的个数，
d
v
,
w
)
即是
v
中
1
的个数，
d
(
u
,
v
)
是
u
、
v
中对应项一个
为
1
，一个为
0
的项的个数。
< /p>
于是有
d
(
u
,< /p>
v
)
?
n
?
p
?
q
u
、
< p>v
中
1
一共有
2
?
(
n
?
p
?
q
)
个，即
d
(
u
,
w
)
?
d< /p>
(
v
,
w
)
?
n
?
p
?
q
<
/p>
所以有
d
(
u
,< /p>
w
)
?
d
(
v
,
w
)
?
d
(
< p>u,
v
)
?
2
q
?
0
于是
< br>d
(
u
,
w
)
?
d
(
v
,
w
)
?
d
(
u
,
v
)
．
5
．
曲线
y
2
?
2< /p>
px
?
p
?
0
?
与圆
(
x
?
2)
2
?
y
< br>2
?
3
交于
A<
/p>
、
B
两点，
线段
A
B
的中
点在
y
?
x
上，求
p
．
解：设
A
(
x
< br>1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
，
联立
(<
/p>
x
?
2)
2
?
y
2
?
3
与
y
2
?
2
px
，
得：
x
2
?
2(
p
?
2)
x
?
1
?
0
．
知
x
1
?
x
2
?
2
?
p
，
x
1
x
2
?
1
；
2
y
1
2
?
y
2
2
?
(
y
1
?
y
2
)
2
?
2
y
1
y
2
?
2
p
(
x
1
< br>?
x
2
)
且
y
1
?
y
2
?
x
1
?
x
2
< br>．
得
y
1
y
2
?
4(2
?
p
)(1
?
p
)
．
又
y
1
2
y
2
2
?
4
p
2
x
1
x
2
?
4
p
2
．
所以
y
1
y
2
?<
/p>
2
p
?
8
?
12
p
?
4
p
2
< br>
解得
p
?
7
?
17
7
?
1 7
或
p
?
（舍）
．
4
4
2011
年同济大学等九校
(
卓越联盟
)
自主招 生
数
学
试
题
一、选择题
,
r
r
< p>rr
r
r
r
r
r
r
1.
已知向量
a<
/p>
,
b
为非零向量
,
(
a
?
2
b
)
?< /p>
a
,(
b
?
2
a
)
?
b
,
则
< br>a
,
b
夹角为
( )
A.
?
B.
?
C.
??
D.
??
6
3
< p>36
2.
已知
sin
2(
?
?
r
)
?
n
sin
2
?
< br>,
则
A.
n
?
1
B.
n
?
1
tan(
?
?
?
?
?<
/p>
)
?
( )
tan(
?
?
?
?
?
)
n
C .
n
D.
n
?
1
< br>n
?
1
n
?
1
n
?
1
3.
在正方体
< br>ABCD
?
A
1
B
1
C
1
D
1
中
,
E
为棱
AA
1
的中点
,< /p>
F
是棱
A
1
B
1
上的点
,
且
A
1
F
:
FB
1
?
1:3
,
则异面直线
EF
与
B
C
1
所成角的正弦值为
( )
A.
15
3
B.
15
5
C.
5
3
D.
5
5
的最大值为
( )
4.
i
为虚数单位
,
设复数
z
满足
|
z
|
?
< p>1
,
则
A.
z
2
?
2
z
?< /p>
2
z
?
1
?
i
2
?
1
B.
2
?
2
C.
2
?
1
D.
2
?
2
5.
已知抛物线的顶点在原点
,
焦点在
x
轴上
,
?
ABC
三个顶点都在抛物
线上
,
且
< br>?
ABC
的重心为抛物线的焦点
,
若
BC
边所在的直线方程为
4
x
?
y
?
20
?
< p>0
,
则抛物线方程为
( )
A..
y
2
?
16
x
B.
y<
/p>
2
?
8
x
C.
y
2
?
?
16
x
D.
y
2
?
?
8
x
6.
在三棱柱
ABC
?
A
1
B
1
C
1
中
,
底面边长 与侧棱长均不等于
2,
且
E
为<
/p>
CC
1
的
中点<
/p>
,
则点
C
1
到平面
AB
1
E
的距离为
( )
A.
3
B.
2
C.
3
2
D.
2
2
的取值
范围为
7.
若关于
x
的方程
( )
|
x
|
?
kx
2
有四个不同的实数解
,
则
k
x
?
4
A.
(0,1)
B.
(
1
,1)
C.
(
1
,
??
)
D.
(1,
??
)
4
4
8.
如图
,
?
ABC
内接于
e
O< /p>
,
过
BC
中点
D
作平行于
AC
的直线<
/p>
l
,
l
交
AB
于
E
,
交
e
O
于
G
、
F
,
交
e
O
在
A
点处的切线于
P
,
若
PE
?
3,
ED
?
2,
EF
?
3
,
则
PA
的长
为
( )
A.
5
B.
6
C.
7
l
P
A
G
E
O
D
F
第
8
题图
C
D.
2
2
9.
数列
{
a
< br>k
}
共有
11
项
,
a
1
?
0,< /p>
a
11
?
4,
且
|
a
k
?
1
?
a
k
|
1,
k
?
1,2,
L
满足这种条件的不同数列的个数为
( )
,10
B
A. 100 B. 120 C. 140 D. 160
10.
设
?
是坐标平面按顺时针方向
绕原点做角度为
2
?
的旋转
,< /p>
?
表示
7
坐标平
面关于
y
轴的镜面反射
.
用
??
表示变换的复合
,
先做
?
,
再做
?
.
用
?
k
表示连续
k
次
?
的变换
,
则
???
2
??
3
??
4
是
( )
A.
?
4
B.
?
5
C.
?
2
?
D.
??
2
二、解答题
13.
已知椭圆的 两个焦点为
F
1
(
?< /p>
1,0),
F
2
(1,0)
,
且椭圆与直线
y
?
x
?
(1)
求椭圆的方程
;
(2)
过
F
1
作两条互相垂直的直线
l
1
,
l
2
,
与椭圆分别交于
P
,
Q
及
M
N
,
求四
边形
PMQN
面积的最大值与最小值
.
14.
一袋中有
a
个白球和
< br>b
个黑球
.
从中任取一球
,
如果取出白球
,
则把
它放回袋中
;
如果取出黑球
,
则该黑球不再放回
,
< p>另补一个白球放到袋
3
相切
.
< p>中
.
在重复
n
次这
样的操作后
,
记袋中白球的个数为
X
n
.
(1)
求
E
X
1
;
(2)
设
P
(
X
n
?
a
?
k
)
?
p
k
,
求
P
(
X
n
?
1
?
a
?
k
),
k
?
0,1,
L
(3)
证明
:
EX
n
?
1
?
(1
?
参考答案
:
一
.
选择题
1.
B
< br>二
.
解答题
x
< br>2
y
2
13.
【 解】设椭圆方程为
2
?
2
?
1(
a
?
b
?
0)
,
因为它与直线
y
?
x
?
3
只有
a
b
2.
D
3.
B
4.
C
5.
A
6.
D
7.
C
8.
B
9.
B
10.
D
,
b
;
1
)
EX
n
?
1.
a
?
b
一个公共点
,
?
x
2
y
2
?
2
?
1,
2
所
以方程组
?
只有一解
,
整理得< /p>
(
a
2
?
b
2
)
x
2
?
2
3
a
2
x
?
3
a
2
?
a
2
b
2
?
0
.
b
< br>?
a
?
y
?
x
?
3.
?
所以
V
?
(
?
2
3
a
2
)
2
?
4(
a
2
?
b
2
(3
a
2
?
a
2
b
2
)
?
0,
得
a
2
?
b
2
?
3
.
又因为
焦点为
F
1
(
?
1,0),
F
2
(1,0)
,
所以
a
2
?
b
2
?
1,
联立上式解得
a
2
?
2,
b
2
?
1
< p>
x
2
所以椭圆方程为<
/p>
?
y
2
?
1
.
2
(2)
若
PQ
斜
率
不
存
在
(
或
为
0)
时
,
则
S
四边形
PMQN< /p>
?
|
PQ
|
?
|
MN
|
?
2
2
2
?
2
1
?< /p>
2
1
2
?
2
.
若
PQ
斜率存在时
,
设为
k
(
k
?
0)
,
则
MN
为
?
.
所以直线
PQ
方程为
y
kx
?
k
.
设
PQ
与椭圆交点坐标为
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
)
?
x
2
2
?
?
y
?
< p>1,
联立方程
?
2
化简得
(2
k
2
?
1)
x
2
?
4
k
2
x
?
2< /p>
k
2
?
2
?
0
.
?
y
?
kx
?
k
.
?
1
k
?
4
k
2
2
k
2
?
2
则
x
1
?
x
2
?
2
,
x
1
x
2
?
2
2
k
?
1
2
k
?
1
(1
?
k
< br>2
)[16
k
4
?
4(2
k
2
?
1)(2
k
2
?
1)]
k
2
?
1
?
2
2
2
所以
|
PQ
|
?
1
?
k
|
x
1
?
x
2
|
?
2
2
k
?
1
2
k
?
1
2
k
2
?
1
同理可得
|
MN
|
?
2
2
2
2
?
k
所
S
四边形
PMQ N
1
2
k
|<
/p>
PQ
|
?
|
MN
|< /p>
(
k
?
1)
k
?
2
k
?
1
1
2
?
?
4
4
?
4
4
?
4(
?
4
)
2
2< /p>
2
2
2
(2
?
k
)(2
k
?
1)
2
< p>k?
5
k
?
2
2
2
k
?
5
k
?< /p>
2
2
2
4
2
以
1
k
2
1<
/p>
1
)
?
4(
?
)
?
4(
?
4
2
4
< p>k?
10
k
2
?
4
2
4
k
2
?
4
1
?
10
k
2
因为
4
k
2
?
4
< br>所以
,
1
4
2
?
10
?
2
4
k
?
?
10
?
18
（当且仅当
k
2
?
1
时取等号）
2
2
k
k
1
?
(0,
1
1
1
16
],
也所以
4(
?
)
?< /p>
[
,2]
1
18
2
4
k
2
?
4
1
?
10
9
4
k
2
?
4
2
?
10
2
k
k
所以综上所述
,
S
四边形
PMQN
的
面积的最小值为
16
,
最大值为
2.
9
14.
【解】
(1)< /p>
n
?
1
时
,
袋中的白球的个数可能为
a
个
(
即取出的是白球
),
a
;
也可能为
a
?
1
个
即取出的是黑球
),
概率为
b
,
故
a
?
b
a
?
b
a
b
a
2
?
ab
?
b
.
EX
1
?
a
?
?
(
a
?
< p>1)?
?
a
?
b
a
?
b
a
?
b
a
(2)
首先
,
P
(
X
n
?
1
< p>?
a
?
0)
?
P
0
?
;
k
?
1
时
,
第
n
?
1
次取出来有
a
?
k
个白球的
a
?
b
概率为
可能性有两种
;
第
n
次袋中有
a
?
k
个白球
,
显然每次取出球后
< p>,球的总数保持不变
,
即
a
?
b
个白球
(
故此时黑球 有
b
?
k
个
),
第
n
?
1
次取出
来的也是白球
,
这
种情况发生的概率为
< br>P
k
?
a
?
k
;
a
?
b
第
n
次袋中有
a
?
k
?
1
个白球
,
第
n
?
1< /p>
次取出来的是黑球
,
由于每次球
的
总数为
a
?
b
个
,
故此时黑球的个数为
b
?
k
< p>?1
.
这种情况发生的概率为
P
k
?
1
?
< br>b
?
k
?
1
(
k
?
1)
.
a
?
b
大学补助金-大学补助金
北京大学生命科学学院-北京大学生命科学学院
大学生媒介素养-大学生媒介素养
南昌医科大学-南昌医科大学
山东大学教务-山东大学教务
大学男老师-大学男老师
德国大学留学-德国大学留学
闽南师范大学研究生-闽南师范大学研究生
-
上一篇：2017高考自主招生20院校考试真题(最新最全)
下一篇：各高校自主招生数学试题