-
高等数学（下）期中测试题
一、填空题（每小题
3
分，共
30
分。写出各题的简答过程，并把答案填在各 题
的横线上，仅写简
答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）
。
lim
sin(
xy
)
xy
?
4
?
2
x
2
x
?
0
y
?
0
?
1
．
。
(
x
?
1
)(
y
?
1
)
x
?
< p>y
?
z
2
3
3
f
(
x
,
y< /p>
)
?
2
．设
z
?
x
ln
x
2
y
?
，则
f
x
(
1
,
1
)
?
。
3
．设
y
y
，则
?
x
?
y
dz
x
?
1
y
?
< p>2
?
。
?
4
．设
z
?
e
x
，则
。
2
2
2
f
(
x
,
y
,
z
)
?
x
?
2
y
?
3
z
?
3
x
?
2
y
?
6
z
,
5
．
设
gradf
(
1
,
1
,
1
)
?
。
则
6
．
设
D
是圆形闭区域：
x
?
y
?
4
，
则
2
2
2
2
??
D
(
x
?
4
y
)
dxdy
?
2
2
。
2
2
7
．
曲
面
z
?
2
?
x
?
y
与
曲
面
z
?
x
?
y
所
围
成
的
立
体
的
体
积
是
。
?
?
2
y
?
2
x
上
从
A
(
2
,
?
2
)
到
B
(
2
,
2
)
的
一
段
弧
，
则
8
．
A
B
是
?
?
y
?
A
B
d
?
x
x
d
?
y
。
x
2
2
9
．
设
L
为
椭
圆
a
< br>?
y
b
2
2
?
1
取
顺
时
针
方
向
，
则
。
10
．设
?
为曲线
x
?
k
?
,
y
?
a
cos
?
,
z
?
a
sin
?
上对应于
?
从
0
到
?
的一段
弧，则
。
二、选择题（每小题
4
分，共
40
分。写出各题的简答过程，并把代表正确答案
的选项的标号填在
题后的括号中，
仅填答案标号不写简答过程或只写简答过程不填答案标号均不给
分）
。< /p>
?
z
?
z
?
?
1
?
z
y< /p>
x
11
．设
e
?
xe
?
ye
，则
?
x
?
y
（
）
。
?
L
?
ydx
?
3
xdy
?
?
?
x
dx< /p>
?
zdy
?
ydz
?
2
e
?
e
y
x
y
x
A
．
xe
?
ye
2
?
2
e
?
e
y
x
y
x
x
y
；
B
．
xe
?
ye
；
C
．
e
?
e
；
D
．
xe
?
ye
。
y
x
12
．曲线
y
?
2
x
,
z
?
3
x
在
< br>y
?
2
的点处的切线方程为（
）
。
x
?
1
y
?
2
z
?
3
x
?
1
y
?
2
z
?
3
?
?
?
?
4
9
；
B
．
1
?
4
9
；
A
．
1
< br>x
?
1
3
C
．
1
13
．设
?
y
?
2
?
4< /p>
?
z
?
3
9
x
?
1
；
D
．
1
?
y
2
?
4
?
z
?
3
9
(<
/p>
0
,
0
)
。
?
?
f
f
(
x
,
y
)
?
x y
,
l
为射线
y
?
2
x
(
x
?
0< /p>
)
，则
?
l
2
2
5
；
C
．
（
）
。
A
．
0
；
B
．
3
；
D
．不存在。
y
1
y< /p>
2
2
14
．交换积分次序并计算
0
（
）
。
1
1
(
e
?
1
)
e
2
A
．
2
；
B
．
2
；
C
．
e
?
< p>1
；
D
．
e
?
1
。
15<
/p>
．
设
F
(
x
)
是
f
(
x
)< /p>
的
一
个
原
函
数
，
且
F
(
1
< p>)?
1
,
F
(
0
)
?
0
，
则
< p>?
1
dy
?
1
e
dx
?
y
x
2
?
2
dy
?
1
e
dx
?
1
x
2
?
0
2
2
dx
?
1
?
x
2
x
f
(
x
?
y
)
dy
?
2
2
（
）
。
?
?
?
?
A
．
2
；
B
．
4
；
C
．
6
；
D
．
8
。
16
．设
?
是曲
面
z
?
xy
与平
面
y
?
x
,
x
< p>?1
和
z
?
0
所围成的
闭区
域，则
???<
/p>
?
ydxdydz
?
（<
/p>
）
。
1
1
1
8
A
．
3
；
B
．
5
；
C
．
15
；
D
．
15
。
17
．
设
?
是
上半
球面
z
?
1
?
x
?
y
2
2
与
平
面
x
o
y
所
围
成的
闭区
域，
则
???
?
zdxdydz
?
（
）
。
?
2
?
2
?
A
．
8
；
B
．
4
；
C
．
2
；
D
．
?
。
18
．
设
?
是曲面
z
?
x
?
y
及平面
z
?
1
,
y
?
0
,
x
?
0
所围成的第一卦限部分
的闭区域，则
???
?
(
x
?
y
)
dxdydz
?
< p>2
2
（
）
。
?
2
?
2
?
?
A
．
6
；
B
．
12
；
C
．
24
；
D
．
48
。
19
．设圆周
L
:
x
?
y
?
2
y
< p>上任意一点的密度等于这点到坐标原点的距离，
则此圆周的质量
M
?
（
）
。
A
．
8
；
B
．
12
；
C
．
16
；
D
．
20
。
s
(
i
20
．
以
du
?
e
n
（
）
。
< br>x
x
y
d
x
?
c
o
s
y
d
y
)
为全微分且
u
(
0
,
0
)
?
0
< br>的原函数
u
(
x
,
y
)
?
x
x
A
．
e
cos
y
?
1
；
B
．
e
sin
y
；
C< /p>
．
e
(sin
y
?
cos
y
)
?
1
；
D
．
e
sin
y
?
x
。
三、解答题
?
z
2
z
?
f
(
x y
,
x
?
y
)
?
x
21
．
（
6
分）设
，具有二阶连续偏导数，求
。
2
2
x
2
22
．
（
8
分）求原点到曲面
< p>z
?
xy
?
x
?
y
?
4
的最短距离。
2
2
x
?
y
< p>?z
?
a
x
?
y
?
ax
内部的那部分
2 3
．
（
8
分）
求球面
含在圆柱面
面积。
24
．
（
8
分）设
L
是不包含坐标原点的任意简单闭曲线，求参数
a
,
b< /p>
，使曲线
2
2
2
2
2
积分
(
?
y
)
dx
?
< p>(bx
?
y
)
dy
< p>?
L
x
?
y
2
2
与路径无关，并求
L
为从
(
1
,
0
)
到
(
2
,
< p>2)
的曲线弧时
的积分值。
《
高等数学》
（下）期中考试题及评分标准
一、填空题（每小题
4
分，共
28
分，写出各题 的简答过程，并把答案填在各题
的横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过
程均不给分）
。
1
.
曲 线
?
z
?
x
?< /p>
(
y
?
1
)
arcs in(
xy
)
?
上点
1
,
1
,
1
)
处的切线对
x
轴的倾角是
__________
__
.
?
y
?< /p>
1
解
:
?
?
arcsin(
xy
)]
< p>?1
,
故
?
?
a
r
c
t
a
1
n< /p>
?
?
4
?
f
x
(
x
,
1
)
?
d
dx
[
x
< p>?0
4
.
y
2
.
设
z
< p>?e
x
,
则
dz
(
1
,
2
)
?
__________
.
<
/p>
解
:
e
2
(
?
2
dx
?
dy
)
y<
/p>
?
?
z
y
y
?
x
(
1
,< /p>
2
)
?
e
x
(
?
x
2
)
(
1
,
2
)
?
?
2
e
2
,
?
z
?
y
(
1
,
2
)
?
e
x
?
1
2
x
(
1
,< /p>
2
)
?
e
.
3
.
已知曲线
x
?
t
,
y
?
t
< br>2
,
z
?
t
3
的切线平行于平面
x
?
y
< p>?
1
3
z
?
4
,
则切点的坐标是
_________
解
:
(
?
1
,
< p>1,
?
1
)
?
?
T
?
{< /p>
1
,
2
t
,
3
t
2
},
?
< br>n
?
{
1
,
1
,
1
?
?
2
3
},
T
?
n< /p>
?
1
?
2
t
?
t
?
0
?
t
?
< p>?1
?
x
?
?
1
,
y
?
1
,
z< /p>
?
?
1
.
4
.
曲面
z
?
4
?
1
2
(
x
2
?
y
2
< br>)
与面
z
?
2
所围成的立体 的体积等
于
__________
__
.
解
:
4
?
?
V
?
??
[
4
?
1
2
2
?
1
2<
/p>
2
D
xy
2
(
x
?
y
)
?
2
]
dxdy
?
??
(
2
D
xy
2
x
?
1
2
y
)
dxdy
?
?
2
?
2
1
2
2
r
4
< br>0
d
?
?
0
(
2
?
2
< br>r
)
rdr
?
2
?
(
r
?
8
)
2
0
?
4
?
5
.
设
?
是上半球面
x
2
?
y
2
?
z
2
?
1
(
z
?
0
)
与
xoy
平面所围成 的闭区域
,
则
???
zdxdy
dz
?
______
.
?
解<
/p>
:
?
4
?
?
1
2
?
4
?
???
zdxdydz
?
?
2
2
s
i
n
?
2
?
0
d
?
?
2
< br>0
d
?
?
0
r
cos
?
?
r
sin
?
dr
?
2
?
< p>?
2
0
?
r
1
4
0
?
4
.
6
.
设
?
是球面
x
2
?
y
2
?
z
2
?
R
2
与平面
x
?
y
?
z
?
0
的交线
,
则
曲
线
积
分
?
ds
?
.
_
_
x
2<
/p>
?
y
2
?
z
2
?
_
_
_< /p>
_
_
_
_
1
解
:
2
?
?
原式
?
?<
/p>
ds
?
R
?
R
?
2
?
R
?
2
?
.
7
.
设
ye
x
dx
?
?
f
(
x
)
dy
在
xoy
平面上是某函数的全微
分
,
则
f
(
x
)
?
_________
.
解
:
?
e
x
< br>?
?
(
y
)
.
二、选
择题（每小题
4
分，共
28
分。写出各题的简答过 程，并把代表正确答案
的选项的标号填在题后的括号中，
仅填答案标号不 写简答过程或只写简答过程不
填答案标号均不给分）
。
?
y
?
x
?
?
P
?
e
,
x
?
Q
?
?
f
?
(
x
)
?
f
?
(
x
)
?
e
?
f
(
x
)
?
?
e
?
?
(
y
)
.
x
x
?
2
xy
,
x
,
y
)
?
(
0
,
0
)
?
8
.
函数
z
?
?
x
2
?
y
2
在点
(
0
,
< p>0)
处
(
B
).
?
(
x
,
y
)
?
(
0
,
0
)
?
0
,
A
．
A
．连续可导
B
．不连续，可导
C
．连续不可导
D
．不连续
不可导
lim
2
xy
x
?
y
2
2
2
x
?< /p>
0
解
:
?
2
k
1
?
k
2
,
?
极限不存在
9
.
A
.
y
?
k
x
?
0
z
x
(
x
,
0
)
?
0
,
z
y
(
0
,
y
)
?
0
.
A
(
2
,
?
1
,
1
)
指向点
B
(
2
,
?
1
,
1
)
方向的方向导数为
(
C
).
函数
u
?
2
xy
?
z
在点处沿点
5
3
A
B
.
7
3
A
C
.
10
3
D
.
2
A
c
o
s
?
?
解
:
?
u
?
x
?
2
y
A
?
?
2
,
?
u
?
y
?
2
x
A
?
4
,
?
u
?
z
?
?
2
z
A
< br>?
?
2
,
?
?
A
B
?
{
1
,
2
,
?
2
}
1
3
,
c
o
s
?
?
2
3
,
c
o
s
?
?
?
2
3
,
故
?
u
?
?
2
?
1
?
4
?
2
?
(
?
2
)
?
(
?
2
)
?
1
0
.
?
l
3
3< /p>
3
3
1
10
.
极坐标下的二 次积分
A
.
C
.
?
?
2
0
d
?
?
f
(
r
cos
?
,
r
sin
< p>?)
rdr
可以写成
(
B
).
0
?
?
1
0
dy
< br>?
dx
?
y
?< /p>
y
2
0
1
?
x
2
f
(
x< /p>
,
y
)
dx
f
(
x
,
y
)
dy
B
.
D
.
?
1
0
d
y
?
1
1
?
< p>y
2
0
x
?
x
f
(
x
,
y< /p>
)
dx
2
1
?
1
0
?
0
dx
?
0
f
x
,
y
)
dy
解
:
11
．
设以
O(0,0),A(1,1),B(1,-1)
为顶 点的三角形薄板上任意一点处的密度
等于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量
M=
（
B
）
。
A
.
1
3
< br>?
?
0
?
y
?
1
?
?
0
?
?
?
?
.
?
?
2
2
?
0
?
x
?
1
?
y
?
?
0
?
r
?
1
B
.
2
2
3
C
.
x
4
3
?
x
2
2
D
.
8
3
.
3
D
12
．设∑取分片光滑闭曲面的外侧， 则下列曲面积分的值等于∑所围成的空
间区域的体积的是（
C
）
。
0
解
:
M
?
??
(
x
?
y
)
dxdy
?
2
?
1
dx
?
(
x
?
y
< p>)dy
?
2
A
.
B
.
1
1
3
??
(
x
?< /p>
z
)
dydz
?
?
ydzdx
?
xydxdy
(
x
?
y
)
dydz
??
2
< br>?
?
(
y
?
z
)
dzdx
?
(
z
?< /p>
x
)
dxdy
C
.
D
.
解
:
D
为
1
3
??
3
?
1
xdydz
1
2
ydzdx
?
1
6
zdxdy
??
(
1
?
x
)
dydz
?
?
ydzdx
?
(
2< /p>
z
?
x
)
dxdy
< br>B
为
.
1
2
A
为
1
< br>3
1
3
???
< br>?
2
dxdydz
,
<
/p>
???
?
3
dxdydz
,
C
为
???
(
1
2
?
1
3
?
1
6
)
dxdydz
?
V< /p>
,
?
???
(
?
1
?
1
?
2
)
dxdydz
?
13
.
,
设
?
是平面
2
x
< p>?y
?
z
?
1
在第一卦限部分的上侧
1
2
y
?
z
?
?
1
12
??
?
(
x
?
1
2
)
dydz
?
(
D
).
B
.
?
1
< br>8
A
.
z
?
1
2
C
.
1
8
)
dydz
?
D
.
1
12
1
2
2
解
:
I
?
14
.
A
解
??
D
yz
(
1
2
?
2
1
2
y
?
< p>1
2
y
?
z
?
1
2
1
2
??
D
yz
zdydz
?
2
?
1
0
zdz
?
1
?
z
0
dy
?
1
12
.
<
/p>
设
L
为
x
?
y
上从
y
?
?
1
到
y
?
1
的一段弧
,
则
2
5
?
<
/p>
4
L
y
dx
?
x
dy
?
(
A
).
B
.
2
?
1
5<
/p>
C
.
1
5
4
D
.
2
5
1
0
三、解答证明题
L
?
y
dx
?
x
dy
?
2
?
1
?
1
(
y
?
2
y
?
y
)
dy
?
< p>?2
?
y
dy
?
?
2
2
5
.
15
.
(
8
分
)
求表面积为< /p>
解
:
设长方体的长为
V
xyz
?
?
F
< p>?
?
x
?
?
?
F
?
?
?
y
?
?
?
F
?
?
?
?
z
?
xy
2
a
2
而体积最大的长方体的
体积
.
2
x
,
宽为
y
,
高
为
< p>z,
则
xy
?
yz< /p>
?
zx
?
a
2
(
2
分
)
(
3
分
)
(
4
分
)
令
F
(
x
,
y
,
z
)
?
xyz
?
?
(
xy
?
yz
?
zx
?
a
)
yz
?
?
(
y
?
z
)
?
0
xz
?
?
(
z
?
x
)
?
0
xy
?
?
(
x
?
y
)
?
0
?
yz
?
zx
?
a
2
< br>(
6
分
)
?
x
?
y
?
z
?
a
3
(
7
分
)
V
< br>max
?
a
3
< br>3
3
.
(
8
分
)
16
(
7
分
)
计算二重积分
的区域
.
??
D
ye
xy
dxdy
,
其中
D
为双曲线
xy
?
1
及直线
x
?
2
,
y
?
2
所围成的第一象限内
解
:
D
Y
?
1
?
y
?
2
?
?
2
< br>:
?
1
?
?
x
?
2
?
?
y
??
D<
/p>
ye
xy
dxdy
?
?
1
dy
?
1
e
d
(
xy
)
?
?
1
e
2
y
2
2
2
xy
2
xy
2
< br>dy
?
x
?
1
y
?
2
1
2
(
e
2
y
< p>?
e
)
dy
1
2
e
?
2
e
< br>4
(
6
分
)
< br>(
7
分
)
?
(
1
2
e
2
y
?
ey
)
2
1
2
?
1
2
e
?
2
e
?
< p>4
1
2
e
?
1
2
e
?
< p>
17
.
(
7
分
)
计算三重积分
成的闭区域
.
2
???
?
(
x
?
y
)
< p>dv,
其中
?
是由曲面
4
z
2
2
2
?
25
(
x
?
y
)
< p>及平面z
?
5
所围
2
2
?
y
)
dv
?
2
解
:
???
(
x
?
?
2
?
0
d<
/p>
?
?
rd
r
?
5
r
dz
0
2
2
5
2
r
(
4
分
)
(
6
分
)
(
7
分
)
?
2
?
?
r
(
5
?
0
2
3
5
2
5
r
)
d
r
2
0
?
2
?
(
5
r
4
4
?
r
18
.
(
< p>7分
)
计算曲线积分
2
)
?
2
?
(
20
?
16
)
?
8
?
?
L
(
2
xy
?
y
cos
x
)
dx
?
(
xy
?
3
x
y
?
2
y
sin
x
)
dy
,
其中
L
是矩形
3
2< /p>
2
2
?
1
?
x
?
1
,
0
?
y< /p>
?
1
边界曲线沿顺时节针绕
解
:
向
.
2
?
L
(
2
xy< /p>
?
y
cos
x
)
dx
?
(
xy
?
3
x< /p>
y
?
2
y
sin
x< /p>
)
dy
?
?
x
1
3
2
2
(
4
分
)
D
?
?
??
[
(
xy
?
3
x
y
?
2
y
sin
x
)
?
2
2
?
?
y
(
2
xy
3
?
y
cos
x
)]
dxdy
?
?
??
y
dxdy
2
D
?
?
?
dx
?
ydy
?
1
0
1
?
?
1
19
.
(
7
分
)
(
6
分
)
(
7
分
)
计算曲面积分
z
?
< p>x?
y
2
2
解
:
??
(
?
1
)
dydz
?
?
ydzdx
?
xydxdy
< p>,其中
?
是锥面
< br>(
0
?
z
?
h
)
的外侧
.
2
?
h
3
3
设
?
1
:
z
?
h
,
上侧
,
则
??
?
?
?
1
?
???
(
1
?
1
?
0
)
dxdydz< /p>
?
?
2
???
dxdydz
?
?
h
(
4
分
)
(
6
分
)
又
??
?
1
?
??
D
xy
xydxdy
?
3
?
2
?
0
d
?
?
r
cos
?
?
r
sin
?
?
rd
r
?< /p>
0
0
20
.
故
??
?
?
2
?
h
3
(
7
分
)
,
证明曲面
z
x
?
y
?
z
< p>?yf
(
)
上任意一点处的切平面
< p>y
经过一定点
.
(
8
分
)
设
f
(
u
< p>)具有连续导数
证
z
令
F
(
x
,
y
,
z
)
?
x
?
y
?
z
?
yf
(
)
,
P
(
x
< p>?
,
y
?
,
z
?
)
为切点
y
?
z
z
z
< p>z
于是
n
?
{
1
,
1
?
f
(
?
)
?
?
f
?
(
?
),
1
?
f
?
(
?
)}
y
?
y
?
y
?
y
?
切平面
(
x
?
x
?
)
?
[
1
?
f
(
z
< br>?
)
?
z
?
f
?
(
z
?
(
4
分
)
z
?
(
2
分
)
)](
z
?
z
?
)
?
0
(
6
分
)
)](
y
?
y
?
< br>)
?
[
1
?
f
?
(
y
?
< br>y
?
y
?
即
x
?
[
1
?
f
(
z
?
z
?
z
?
y
< br>)
?
?
[
1
?
f
?
(
z
?
?
y
f
?
(
y
)]
y
?
?
y
)]
z
?
0
?
显然通过坐标原点
(
0
,
0
,
0
)< /p>
(
8
分
)
y
?
(
7
分
)
< br>
高等数学（下）期终测试题
一、填空题（每小
题
4
，共
28
分，写出各题的简答过程，并把答案 填在各题的
横线上，仅写简答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）
。
?
z
?
x
?
(
y
?
1
)
arcsin(
xy
)
?
1
．
曲
< p>线
?
y
?
1
上
点
(
1
,
1< /p>
,
1
)
处
的
切
线
对
x
轴
的< /p>
倾
角
是
。
y
2
．设
z
?
e
x
，则
dz
(
1
,
2
)
?
2
。
3
3
．已知曲线
x
?
t
,
y
?
t
,
z
?
t
的切线平行于平面
的坐标是
。
4
．
曲
面
于
。
z
?
4
?
1
2
(
x
?
y
)
2
2
x
?
y
?
1
3
z
?
4
，则切点
与
平
面
< p>z
?
2
所
围
成
的
立
体
的
体
积< /p>
等
2
5
．
设
?
是上半球面<
/p>
x
?
y
?
z
?
1
(
z
?
0
)< /p>
与
xoy
平面所围成的闭区域，
则
2
2
???
?
zdxdydz
?
。
2
2
2
2
6
．设
?
是球面
x
?
y
?
< p>z?
R
与平面
x
y
?
z
?
0
的交线，则曲线积分
?
?
ds
x
?
y
?
z
x
2
2
2
< br>?
。
7
．
设
ye
?
?
f
(
x
)
dy
在
xoy
平<
/p>
面
上
是
某
函
数
的
全
微
分
，
则
< p>f
(
x
)
。
二、选择题（每小题
4
分，共
28
< p>分。写出各题的简答过程，并把代表正确答案
的选项的标号填在题后的括号中，
仅填答案标号不写简答过程或只写简答过程不
填答案标号均不给分）
。
?
2
xy
< p>,
(
x
,
y
)
?
(
0
,
0
)
< p>?
2
2
z
?
?
x
?
y
?<
/p>
(
x
,
y
)
?
(
0
,
0
)
在点
(
0
,
0
)
处（
）
?
0
,
8
．函数
。
A
．连续可导；
B
．不连续，可导；
C
．连续不可导；
D
．不连续不
可导。
9
．
函数
u
?
2
xy
?
z
在点
A
(
2
,
?
1
,
1
)
处沿点
A
指向点
B
(
3
,
1
,
?
1
)< /p>
方向的方向导
数为（
）
。
5
10
7
A
．
3
；
B
．
3
；
C
．
3
；
D
．
2
。
?
2
10
．极坐标下的二次积分
?
0
2
d
?
?
0
1
f
(
r
cos
?
,
r
sin
?
)
rdr
可以写成（
）
。
A
．
?
0
1<
/p>
dy
?
y
?
y
2
0
1
?
x
2
f
(
x
,
y
)
dx
；
B
．
?
0
1
1
dy
?
1
?
y
2
0
f
(
x
,
y
)
dx
< p>；
dx
f
(
x
,
y
)
dy
dx
f
(
x
,
y
)
dy
C
．
?
?<
/p>
1
?
0
；
D
．
?
0
?
0
。
11
．设以
O
(
0
,
0
),
A
(
1
,
1
),
B
(
1
,
?
< p>1)
为顶点的三角形薄板上任意一点处的密度等
1
x
?
x
2
于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量
M
?
（
）
。
1
8
2
4
A
．
3
；
B
．
3
；
C
．
3
；
D
．
3
；
12
．设
?
取分
片光滑闭曲面的外侧，则下列曲面积分的值等于
?
所围成的空<
/p>
间区域的体积的是（
）
。
1
(
x
?
??
3
?
z
)
dydz
?
ydz dx
?
xydxdy
A
1
B
．
．
；
；<
/p>
(
x
?
??
2
?
y
)
d ydz
?
(
y
?
z
)
dzdx
?
(
z
?
x
)
dxdy
C
1
D
．
．
??
3
xdydz
?
1
< br>?
1
2
ydzdx
?
1
6
zdxdy
< br>；
(
1
?
??
3
?
x
)
dydz
?
ydzdx
?
(
< p>2z
?
x
)
dxdy
。
13
．
设
?
是
平
面
2
x
?
y
?
z
?
1
在
第
一
卦
限
部
分
的
上
侧
，
则
1
1
(
x
?
y
?
z
?
)
dydz
?
??
2
2
?
（
）
。
1
1
1
1
?
?
A
．
12
；
B
．
8
；
C
．
8
；
D
．
12
。
14
．
设
L
为
x
?
y
上从
y
?
?
1
到
y
?
1
的一段弧，
则
?
L
2
1
1< /p>
2
?
?
A
．
5
；
B
．
5
；
C
．
5
；
D
．
5
。
三、解答证明题
2
y
dx
?
x
dy
?
< br>2
2
（
）
。
15
．
（
8
分）求表面积为
2
a
而体积最大的长方体的体积。
16
．
（
7
分）计
算二重
积分< /p>
D
，其中
D
为双
曲线
xy
?
1
及直线
x
?
2
,
y
?
2
所围成的第一象限内的区域。
17
．
（
7
分
）
计
算
三
重
积
分
2
2
2
2
??
ye
xy
dxdy
(
x
?
y
)
dv
?<
/p>
?
?
?
2
2
，
其
中
?
是<
/p>
由
曲
面
曲
线
积
分
4
z
?
25
(
x
?
y
)
及平面
z
?
5
所围成的闭区域。
18
．
（
7
< p>分）
计
算
?
L
(
2
xy
?
y
cos
x
)
dx
?
(
xy
?
3
x
y
?
2
y
sin
x
)
dy
3
2
2
2
，
中
L
是
矩
形
?
1
?
x
?
< p>1,
0
?
y
?
1
边界曲线沿顺时针绕向。
19
．
（
7
分）计算曲面积分
z
?
x
?
y
2
2
??
(
x
?
1< /p>
)
dydz
?
?
y dzdx
?
xydxdy
，其中
?
是锥面
(
0
?
z
?
h
)
的外侧。
x
?
y
?
z
?
yf
(
)
z
20
．
（
8
分）设
< p>f
(
u
)
具有连续导数，证
明曲面
处的切平面经过一定点。
y
上任意
一点
《高等数学》
（下）期终考试题及评分标准（
A
卷）
一、填空题（每小题
3
分，共
24
分。写出各题的简答过程，并把答案填在各题
的横线上，仅写简
答过程不填答案或只填答案不写简答过程均不给分）
。
1
.
曲面
xy
2
z
3
?
a
6
(
a
?
0
)
在
P
(
a
,
a
,
a
)
处的切平面方程为
______ ____
.
解
:
x
?
2
y
?
3
z
?
6
a
F
(
x
,
y
,
z
)
?
xy
2
z
3
?
a
6
,
?
F
2
3
5
?<
/p>
x
P
?
y
z
P
?
a
,
?<
/p>
F
?
y
P
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2
xyz
3
P
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2
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5
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F
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3
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2
z
2
5
5
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z
P
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2
a
5
(
y
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a
)
?
3
a
5
P
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3
a
,
a
(
x
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(
z
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a
)
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0
即
x
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2
y
?
3
z
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6
a
.
2
.
计算
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1
1
?
x
2
2
?
1
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0
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x
2
?
y
)
< p>dy?
__________
__
.
解
:
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sin
1
?
1
2
2
?
s
i
n
r
1
2
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0
d
?
?
0
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s
r
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r
d
r
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0
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2
0
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s
i
n
1
2
.
3
.< /p>
设
L
是
x
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y
2
上从
y
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?
1
到
y
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1
的一段弧
,
则
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2
2< /p>
L
y
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x
dy
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__________
解
:
?
2
5
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L
y
2
dx
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x
2
dy
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1
2
y
5
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1
y
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2
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(
y
2
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dy
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(
y
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2
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5
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1
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1
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2
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.
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.
设
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x
2
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y
2
(
0
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< p>z?
1
)
,
则
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__________< /p>
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解
:
2
2
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3
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zds
?
??
x
2
?
y
2
2
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2
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2
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1
2
2
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1
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r
d
r
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2
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2
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.
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D
xy
3
3
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1
1
5
.
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(
a
2
n
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1
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a
< br>2
n
?
1
)(
a< /p>
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0
)
的和
S
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__________
.
n
?
1
解
:
1
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a
1
1
1
1
1
1
s
3
n
?
(
a
?
a
)
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(
a
5
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3
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(
a
2
n
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a
2
n
?
1
)
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a
2<
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n
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1
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a
1
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s
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1
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n<
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lim
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a
2<
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n
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a
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1
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a
n
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6
.
将函数
f
(
x
)
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?
2
(
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x
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)
展开成正弦级数
,
则
f
(
x
)
?
__________
_
.
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解
:
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2
n
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1
)
x
,
x
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(
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,
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)
n
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1
2
n
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1
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2
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2<
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2
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1
n
n
?
?
?
0
2
n
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n
[
1
?
(
?
1
)< /p>
]
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n
,
n
为奇数
0
?
0
,
n
为偶数
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?
2
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f
(
x
)
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2
n
?
1
sin(
2
n
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1
)
x
,
x
?
(
0
,
?
)
.
n
?
1
< br>
.
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