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同济大学概率论与数理统计
复习试卷
1
、对于任意二个随机事件
< br>A
,
B
，其中
P
(
A
)
?
0
,
P
(
A
)
?
1
< br>，则下列
选项中必定成立的是
( )
（
A
）
P
?
B
A
?
< br>?
P
?
B
A
?
是
A
,
B
独立的充分必要条件；
(B)
P
?
B
A
?
?
P
?
B
A
?
是
A
,
B
独立的充分条
件非必要条件；
(C)
P
< br>?
B
A
?
?
P
?
B
A
?
是
A
,
B
独立的必要条件非充分条件；
(D)
P
?
B
A
?
?
P
?
B
?
是
A
,
B
独立的既非充分条件也非必要条件
.
2
、
设一批 产品中一、二、三等品各占
60%
、
30%
、
10%
，现
从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三
等品，在
此条件下取到的这件产品是一等品的概率为
，在
此条件下取到的这件产品是二等品的概率为
.
3
、
对任意常数
a
,
b
,
(
a
?
b
)
，已知随机变量
X
满足
P
(
< p>X?
a
)
?
?
,
P
(
X
?
b< /p>
)
?
?
.
记
p
?
P
?
< br>a
?
X
?
b
?
,
则下列选项中必定成立的是
( ) (A)
p
?
1
?
(
?
?
?
)
；
(B)
p
?
1
?
(
?
?
?
)
；
(C)
p
?
1
?
(
?
?
?
)
；
(D)
p
?
1
?
(
?
?
?
)
.
4
、
设随机变量
X
的概率密度为
< /p>
?
5
x
4
,
0
?
x
?
1
< p>，则使得
f
(
x
)
?
?
?
0
,
其它
P
(
X
?
a
)
?
P
(
X
?< /p>
a
)
成立的常数
a
?
，
Y
?
?
2
ln
X
的密度函数
为
f
Y
(
y
)
?
.
5
、如果
EX
2
?
?
,
EY
2
?
?
,
且
X
与
Y
满足
D
?
X
?
Y
?<
/p>
?
D
?
X
?
Y
?
,
则必有
（
）
?
A
?
X
与
Y
独立；
?
B
?
X
与
Y
不相关；
?
C
?
D
?
Y
?
?
0
；
< br>?
D
?
D
?
X
?
D
?
Y
?
?
0.
< p>
6
、
设
X
1
,
X< /p>
2
?
,
X
n
相
互
独
立
且
< p>服从
相
同
的
分
布
，
，
则
由
切
< p>比雪
夫
不
等
式
可
得
1
n
E
X
1
)
?
1
,
D
(
X
1
)
?
3
,
X
?
?
X
i
n
i
?
1
1
n
2
P
X
?
1
< p>?1
?
，< /p>
?
X
i
依概率收
敛于
.
n
i
?
1
?
?
7
、
设
X
1
,
X
2
< br>?
X
5
独
立
且
服
从
相
同
的
分
布
，
?
X
1
?
X
2
?
X
3
?
2
.
当常数
c
=
时
,
Y
服从自由
X
1
~
N
?
< br>0
,
1
?
.
Y
?
c
?
X
4
?
X
5
?
2
度为
的
F
分布
.
8
、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭 击和抢劫，他
断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的
光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别
袭击者肤色的概率只
有
80%
，假定凶犯是本地人，而在这个
城市人口中
90%
是白人，
10%
是黑人，
且假定 白人和黑人的犯
罪率相同，
（
1
）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的
凶犯确实是黑人
的概率是多大？
（
2
）问：在这位男子 断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的
凶犯是白人的概率是多大？
9
、设随机变量
(
X
1
,
X
2
)
的联合概率函数为
X
1
X
2
0
1
2
0
0.25
1
0.15
定义随机变量
< br>Z
?
max
(
X
1
,
X
2
)
.
0.10
0.15
0.30
0.05
求
(1)
X
1
和
X
2
的边缘概率函数；
(2)
Z
的概率函数；
(3)
< br>(
X
1
,
Z
)
的
联
合
概
率
函
数
；
(4)
< br>E
(
Z
)
，
D
(
Z
)
和
cov(
X
1
,
Z
)
.)
10
、设随机变量
(
X
,
Y
)
的联合密度函数为
f
(
x
,
y
)
?
?
?
2,0
?
x
?
y
?
1
?
0,
其它
< br>1
1
0
?
X
?
(1)
分别求
X
,
Y
的边缘密度函数；
（
2
）
求
P
?
?
?
3
?
?
Y
?
?
;
2
2
4
?
(3)
试问：
X
,
Y
< br>是否相互独立？请说明理由
.
(4)
求
Z
?
X
?
Y
的概率密度函数
f
Z
?
z
?
.