-
第四章
1
．略；
2
．解：
（
1
）利用性质
蝌
-
?
+
?
2
4
2
f
(
x
,
y
)
d xdy
=
1
，由于
K
(6
-
x
-
y
)
dy
=
K
2
+
?
蝌
-
?
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
蝌
dx
0
<
/p>
(6
-
2
x
)
dx
=
8
K
=
1
；
0
因此，可求得
K
=
1
8
，则联合概率密度函数为
ì
?
1
?
< br>(6
-
x
-
y
) ,
0
<
x
<
2
,
2
<
y
<
4
f
(
x
,
y
)
=
?
í
8
?
?
0
,
其
他< /p>
?
?
（
2
）
P
{
X
<
1 ,
Y
<
3}
=
蝌
x
<
1,
y
<
3
1
f
(
x
,
y
)
dxdy
3
2
=
=
蝌
dx
0
1
8
(6
-
x
-
y
)
dy
3
8
1
8
ò
1
(
0
7
2
-
x
)
dx
=
（
3
）
P
{
X
<
1.5}
=< /p>
蝌
x
<
1.5
1.5
f
(
x
,
y< /p>
)
dxdy
4
=
=
+
?
蝌
0
dx<
/p>
2
1.5
1
8<
/p>
(6
-
x
-
y
)
dy
27
32<
/p>
1
8
ò
(6
-
2
x
)
dx
=
0
3
．
（
1
< p>）利用性质
蝌
-
?
f
(
x
,
y
)
dx dy
=
1
，由于
y
+
?
蝌
-
?
1
f
(
x
,
y
)
dxdy
1
x
2
=
=
蝌
dx
-
1
C
x
ydy
6
2
4
C
< p>21
=
1
y
=
x
2
C
2
ò
1
(
x
-
x
)
dx
=
2
-
1
-1
1
x
因此，
可求得
C
=
21
4
，则联合概率密度函数为
ì
?
21
2
2
?
x
y ,
x
＃
y
?
f
(
< p>x,
y
)
=
í
4
?
?
0
,
其
他
< br>?
?
4
（
2
）
(
X
,
Y
)
关于
X
的边缘概率密度为
f<
/p>
X
(
x
)
=
ò
+
f
(< /p>
x
,
y
)
dy
1
x
2
-
y
1
ì
?
?
=
?
í
?
?
?
?
ì
?
?
< br>
=
?
í
?
?
?
?
< br>ò
21
4
x
yd y
,
-
1
＃
x
2
2
y
=
x
0
,
其
他
21
8
x
(1
-
x
) ,
-
1
＃
x
2
4
1
-1
1
x
0
,
其
他
(
X
,
< p>Y)
关于
Y
的边缘
概率密度为
f
Y
(<
/p>
y
)
=
ò
+
f
(
x
,
y< /p>
)
dx
1
y
y
=
x
2
-
y
21
ì
?
2
?
x
ydx
,
0
＃
y
?
<
/p>
=
í
ò
-
y
4
?
?
0
,
其
他
?
?
ì
?
7
5
?
y
< br>2
,
0
＃
y
?
<
/p>
=
í
2
?
?
0
,
其
他
?
?
?
1
-1
1
x
（
3
）由于
5
ì
?
147
2
4
?
x
( 1
-
x
)
y
2
,
-
1
＃
x
?
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
=
í
16
?
?
0
,
其
他
?
?
?
1,
0
＃
y
1
f
(
x
,
y
)
，
所以，
X
< br>与
Y
不相互独立。
4
．解：利用公式
P
ij
< br>=
P
i
g
P
g
j
将
(
X
,
Y
)
的联合分布律计算出来。
5
．解：
（
1
）由于区域
D
的面积为
A
D
=
y
，
ò
1
0
(
x
-
x
)
dx
=
2
1
6<
/p>
所以，
(
X
,
Y
)
的概率密度为
y
=
x
2
ì
?
6
,
x
＃
y
f
(
x
,
y
)
=
?
í
?
0
,
其
他
?
?
2
x
0
；
1
x
（
2
）
(
X
,
Y
)
关于
X
的
边缘概率密度为
x
ì
?
?
6
dy
,
0
＃
x
镲
ò<
/p>
2
x
f
(
x
,
y
)
dy
=
< br>眄
镲
镲
?
?
0
,
其
他
f
X
(
)
=
ò
+
1
=
ì
?
6(
x
-
x
2
) ,
0
＃
x
?
0
,
其
他
1
；
-
(
X
,< /p>
Y
)
关于
Y
的边缘概率密度为
y
ì
?
?
6
dx
,
0
＃
y
ò
y
f
(
x
,
y
)
dx
=
镲
眄
镲
镲
?
?
0
,
其
他
f
Y
(
y
)
=
ò
+
1
=
ì
?
< br>6(
y
-
y
) ,
0
＃
y
1
；
-
?
0
,
其
他
1
（
3
）
P
{
X
>
Y
}
=
蝌
x
>
y
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
1
6
=
1< /p>
。
6
6
．解：
（
1
）先求边缘概率密度：
(
X
,
Y
)
关于
X
的边缘概率密度为
+
f
X
(
x
)
=
ò
< br>f
(
x
,
y
)
dy
1
2
(1
+
x
)
e
-
x
< br>-
祆
镲
+
1
-
(
x
+
y
)
镲
(
x
+
y
)
e
dy
,
x
>
0
镲
ò
0
2
=
眄
=
镲
镲
0
,
其
他
镲
铑
,
x
>
0
0
,
其
他
其中的积分计算过程如下（注意：在积分计算过程中，将
x
< br>看成与
y
无关的常量）
：
+
?
蝌
0
1
2
(
x
+
y
)
e
-
(
x
+
y
)
dy
=
-
1
2
1
2<
/p>
0
(
x
+
y
)
de
(
x
+
y
)
e
1
2
-
(
x
+
y
)
0
+
-
(
x
+
y
)
+
=
-
1
2
+
1
ò
2
+
e
0
-
(
x
+
y
)
d
(
x
+
y
)
=
xe
-
x
-
e
-
(
x
+
y
)
0
=
1
< br>2
(1
+
x
)
e< /p>
-
x
同理，可以求得
(<
/p>
X
,
Y
)
关于
Y
的边缘概率密度为
+
f
Y
(
y
)
=
ò
< br>f
(
x
,
y
)
dx
1
2
(1
+
y
)
e
-
y
< br>-
祆
镲
+
1
-
(
x
+
y
)
镲
(
x
+
y
)
e
dx
,
y
>
0
ò
0
=
镲
=
2
眄
镲
镲
0
,
其
他
镲
铑
,
y
>
0
0
,
其
他
由于
ì<
/p>
?
1
?
(1
+
x
)(1
+
y
)
e
-
(
x
+
y
)
,
x
>
0,
y
>
0
f
< br>X
(
x
)
f
Y
(
y
)
=
?
f
(
x
,
y
)
，
í
4
?
?
0
,
其
他
?
?
所以，
X
与
Y
不相互独立。
※
（
2
）
（
不要求掌握
）利用课本
68
页的公式：
f
Z
(
z
)
=
Z
=
< p>X+
Y
的概率密度
ò
+
-
f
(
x
,
z
-
x
)
dx
，可以求得