-
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
1
．写出下 列随机试验的样本空间．
(1)
记录一个小班一次数学考试的平均分数< /p>
(
以百分制记分
)
；
(2)
一个口袋中有
5
个外形相同的球，编号分别为
1< /p>
，
2
，
3
，
4
，
5
，从中同时取
出
3
个球；
(3)
某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录 射击的次数；
(4)
在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．
< p>解：
(1)
?
?
{
1
,
2
,
?
,
100
}
；
(2)
?
?
{
123
,
124
,
125
,
134
,
135
,
145
,
234
,
2 35
,
345
}
；
(3)
?
?
{
1
,
2
,
?
}
；
< br>(4)
?
?
{(
x
,
y
)
|
< p>x
2
?
y
2
}
．
2
．
< p>在
?
?
{
1
,
2
,
?
,
10
}
，
A
?
{
2
，
3
，
4
}
，
B
?
{
3
,
4
,
5
}
，
C
?
{
5
,
6
,
7
}
，具体写出下列各式：
(1)
A
B
；
(2)
A<
/p>
?
B
；
(3)
A<
/p>
B
；
(4)
A
BC
；
(5)
A
?
B
?
C
．
解：
(1 )
A
?
{1,5,6,7,8
,9,10 }
，
A
B
?
{< /p>
5
}
；
(2)
A
?
B
?
{
1
,
3
,
4
,
5
,< /p>
6
,
7
,
8
,
9
,
10
}
；
< br>(3)
法
1
：
B
?
{
1
,
2
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
}
，
A
?
{
1
,
6
,
7
,
8
,
9
,< /p>
10
}
，
A
B
?
{
2
,
3
,
4
,
5
}
；
法
2
：
A
B
?
A
?
B
?
A
?
B
?
{
2
,
3
,
4
,
5
}
；
(4)
BC
?
{
< p>5}
，
BC
?
{
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
}
，
A
BC
?
{
2
,
3
,
4
}
，
A
BC
?
{
1
,
5
,
6
,
7< /p>
,
8
,
9
,
10
}
；
1
(5)
A
?
B
?
C
?
{
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
}
，
A
?
B
?
C
?
{1,8,9,10}
．
3
．设
?
?
{
x
|
0
?
x
?
2
}
，
A
?
{
x
|
式：
1
1
< p>3
?
x
?
1
}
，
B
?
{
x
< p>|?
x
?
}
，具体写
出下列各
2
4
2
(1)
A
?
B
；
(2)
A
?
B
；
(3)
AB
；
(4)
A
B
．
解：
(1)
A
?
B
?
B
< br>，
A
?
B
?
B
?
{
x
|
0
?
x
?
1
3
,
?
x
?
2
}
；
4
2
(2)
A
?
B
?
?
；
(3)
AB
?
A
，
1
,
1
?
x
?
2
}
；
2
1<
/p>
1
3
(4)
A
B< /p>
?
{
x
|
?
x
?
,
1
?
x
?
< p>}
．
4
2
2
AB
?
A
?
{
x
|
0
?
x
?
4
．化简下列各式：
(1)
(
A
?
B
)(
A
?
B
)
；
(2)
(
A
?
B
)(
B
?
C
< p>)
；
(3)
(
A
< p>?B
)(
A
?
B
)(
A
?
B
)
．
解：
(1)
(
A
?
B
)(
A
?
B
)
?
A
?
(
B
?
< p>B)
?
A
；
(2)
(
A
?
B
)(
B
?
C
)
?
B
?
(
A
?
C
)
?
B
?
AC
；
(3)
(
A
?
B
)(
A
?
B
)(
A
?
B
)
?
A
?
(
< p>B?
B
)(
A
?
B
)
?
A
(
A
?
B
)
?
A
A
?
AB
?
AB
．
5
．
A
，
B
< br>，
C
表示
3
个事件，用文 字解释下列事件的概率意义：
(1)
A
B
C
?
A
B
C
?
< p>AB
C
；
(2)
AB
?
AC
?
BC
；
(3)
A
(
B
?
C
)
；
(4)
A
B
?
AC
?
BC
．
解：
(1)
A
，
B
，
C
恰有一个发生；
(2)
A
，
B
，
C
中至少有一个发生；
< br>(3)
A
发生且
B
与
C
至少有一个不发生；
(
4)
A
，
B
，
C
中不多于一个发生．
6
．对于任意事件
A
，
B
，证明：
AB
?
(
A
?
B
)
?
A
?
?
．
2
证：
AB
?
(
A
?
B
)
?
A
?
AB
?
A< /p>
B
?
A
?
A
(
B
?
B
)
?
A
< p>?
A
?
?
A
?
A
?
A
?
?
．<
/p>
7
．把事件
A
?
B
?
C
表示为互不相容事件的和事件．
解：
A
?
B
?
C
?
A
?
[(
B
?
C
)
?
A
]
?
< p>A?
(
A
B
?
A
C
)
?
A
?
< p>AB
?
A
C
?
A
?
A
B
?
(
A< /p>
CB
?
A
C
B
)
?
A
?
(
A
B
?
A
BC
)
?
A< /p>
B
C
?
A
?
A
B
?
A
B
C
．
8
．设
P
(
A
)
?
0
，
P
(
B
)
?
0
，将下列
5
个数
P
(
A
)
，
P
(
A
)
?
P
(
B
)
，
P
(
A
?
B
)
，
P
(
A
)
?
P
(
B
)
，
P
(
A
?
B
)
按有小到大的顺序排列，用符号“
?
”联结它们，并指出在什么情况下可能
有等式成立．
解：因为
P
(
A
)
?
0
，
P
(
B
)
?
0
，
P
(
AB
)
?
P
(< /p>
B
)
，
故
P
(
A
)
?
P
(< /p>
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
，
所以
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
< p>(A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(< /p>
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
< p>B)
．
(1)
若
< p>B
?
A
，则有
P<
/p>
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
A
< p>?B
)
，
P
(
A
)
?
P
(
A< /p>
?
B
)
；
(2)<
/p>
若
AB
?
?
，则有
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
，
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
．
9
．已知
A
?
B
，
P
(
A
)
?
0
.
3
，
P
(
B
)
?
0
.
5
，求
P
(
< p>A)
，
P
(
AB
)
，
P
(
A
B
)
和
P
(
A
B
)
．
解：
(1)
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)< /p>
?
0
.
7
；
(2)
?
A
?
B
，
?
AB
?
A
< br>，则
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
?
0
.
3
；
(3)
P
(
A
B
)
?
P
(
B
?
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
0
.
< p>2
；
(4)
P
(< /p>
A
B
)
?
P
(
A
?
B
)
?
1
< p>?P
(
A
?
B
)
?
1
?
[
P
< p>(A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
) ]
?
0
.
5
．
10
．设有
10
件产品，其中
6
件正品，
4
件次品，从中任取
3
件，求 下列事件的
概率．
(1)
只有
1
件次品；
(2)
最多
1
件次品；< /p>
(3)
至少一件次品．
3
3
解：从
10
件产品中任取
3
件， 共有
C
10
种取法，
< br>(1)
记
A
?
{
从
10
件产品中任取
3
件，只有
< p>1件次品
}
，
1
只有
1
件次品，可从
4
件次品中任取
1
件次品，共
C
4
中取法，另外的两件
1
2
C
< br>6
个样本点，
为正品，从
6
件正品中取得，共
C
6
2
种取法．则事件
A
共包含
C
4
1
2
C
4
C
1
P
(
A
)
?
3
6
?
．
C
10
2
(2)
记
B
?
{
从
10
件产品中任取
3
件，最多有
1
件次品
}
，
C
?
{
从
10
件产品中任取
3
件，没有次品
}
，
则
B
?
< p>A?
C
，且
A
与
C
互不相容．
3
没有次品，即取出的
3
件产品全是正品，共有
C
6
种取法，则
3
C
6
1
P
(
C
)
?
3
?
，
C
10
6
P
(
B
)
?
P
(
A
?
C
)
?
P
(
A
)
?
P
(
C
)
?
< br>2
．
3
(3)
< br>易知
C
?
{
从<
/p>
10
件产品中任取
3
件，至少有
1
件次品
}
，则
P
(
C
)
?
1
?
P
(
C
)
?
5
．
6
11
．
盒子里有
10
个球，
< p>分别标有从1
到
10
的标号，
任选
3
球，
记录其号码，
求：
(1)
最小号码为
5
的概率；
(2)
最大号码为
5
的概率．
3
解：从
10
个球中任选
3
球，共有
C
10
种选法，
(1)
记
A
?
{
从
< p>10个球中任选
3
球，最小标号为
5}
，
事件
A
发生，则选出球的最
小标号为
5
，另外两个球的标号只可从
6
，
7
，
8
，
9
，< /p>
10
这
5
个数中任选，共有
C
5
2
种选法，则
C
5
2
1
P
(
A
)
?<
/p>
3
?
．
C
10
12
(2)
记
< p>B
?
{
从
10
个球中任选
3
球，最大标号为
5}
，
< p>事件
B
发生，则选出球的最大标号为
5
，另外两个球的标号只可从
1
，
2
< p>，3
，
2
4
这
4
个数中任选，共有
C
4
种选法，则
4
2
C
4
1
P
(
B
)
?
3
?
．
C
10
20
12
．设在口袋中有
a
个白球，
b
个黑球，从中一个一个不放回地摸
球，直至留在
在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．
解：设
A
?
{
最后是白球留在口袋中
}
，
事件
A
即把
a
?
b
个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概
率显然为
P
(
A
)
?
a
．
a
?
b
13
．
一间学生寝室中住有
6
位同学，
假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，
求下列事件的概率：
(1)
6
个人中至少有
1
人的生日在
10
月份；
(2
)
6
个人中有
4
人的生日在
10< /p>
月份；
(3)
6
个人中有
4
人的生日在同一月份．
解：设
B
i
?
{
生日在
i
月份
}
，则
B
i
?
{
生日不在
i
月份
}
，
i
?
1
,
2
,
?
,< /p>
12
，
易知
P
(
B
i
)
?
1
11
，
P
(
B
i
)
?
，
i
?
1
,
2
,
?
,
12
．
12
12
(1)
设
A
?
{6
个人中至少有
1
人的生日在
10
月份
}
，
则
A
?
{6
< br>个人中没有一个人的生日在
10
月份
}
，
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A< /p>
)
?
1
?
[
P
(
B
10
)]
6
?
1
?
(
11
6
)
；
12<
/p>
(2)
设
C
?
{6
个人中有
4
人的生日在
10
月份
}
，
1
4
11
2
15
?
11
2
则
P
< br>(
C
)
?
C
[
P
(
B
10
)]
[
P
< br>(
B
10
)]
< br>?
C
(
)
(
)
?
；
12
12
12
6
4
6
4
2
4
6
(3)
设
D
?
{6
个人中有
< p>4人的生日在同一月份
}
，
则
15
?
11
2
．
P
(
D
)
?
C
P
(
C
)
?
12
5
1
12
14
．
在半径为
R
的圆内画平行弦，
如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径
上的位置是等可能的，即交点在这一
直径上一个区间内的可能性与此区间的
长度成正比，求任意画的弦的长度大于
R
的概率．
解：设弦与该直径的交点到圆心的距离
为
x
，已知，当
x
?< /p>
3
R
，弦长大于半径
2
5
R
，从而所求的概率为
2
?
3
R
3
2
?
．
2
R
2
P
?
15
．
甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮 船的码头停泊，
它们在同一昼夜
内到达的时刻是等可能的，
如果甲船的停泊时间是
1h
，
乙船的停泊时间是
2h
，
求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．
解：设
A
?
{
两艘中 的任何一艘都不需要等候码头空出
}
，
则
A
?
{
一艘船到达泊位时必须等待
}
，
分别用
x
和
y
表示第一、第二艘船到达泊位的时间，
则
A
?
{(
x< /p>
,
y
)
|
0
?
x
?
y
?
2
,
< p>0?
y
?
x
?
1
}
，
1
1
24
2
?
?
23<
/p>
2
?
?
22
2
?
(
A
< br>)
2
2
P
(
A
)
?
?
?
0
.
1207
；
2
?
(
?
)<
/p>
24
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
0
.
8993
．
从而
16
．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其 命中率分别为
0.6
和
0.5
，现已
知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？
解：设
A
?
{
甲击中目标
}
，
B
?
{
乙击中目标
}
，
C
?
{
目标被 击中
}
，
则
C
?
A
?
B
，由题设知
A
与
B
相互独立，且
P
(
A
)
?
0
< p>.6
，
P
(
B
)
?
0
.
5
，
所以
P
(
C
)
?
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
P< /p>
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
A
< p>)P
(
B
)
?
0
.
8
，
从而
< br>P
(
A
|
C
)
?
P
(
AC
)
P
(
A
)
3
?
?
．
P
(
C
)
P
(
C
)
4
17
．
某地区位于河流甲与 河流乙的汇合点，
当任一河流泛滥时，
该地区即被淹没，
设在某时期内河流甲泛滥的概率是
0.1
，河流乙泛滥的概率是
0 .2
，又当河流
甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为
0.3
，
求在该时期内这个地区被淹没的概率，
6
又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？
解：
A
?
{
甲河流泛滥
}
，
B
?
{
乙河流泛滥
< p>}，
C
?
{
该地区被淹没
}
，
则
C
?
A
?
B
，由题设知
P
(
A
)
?
0
.
1
，
P
(
B
)
?
0
.
2
< br>，
P
(
B
|
A
)
?
0
.
3
，
从而
P
(
C
)< /p>
?
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
< p>?P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
?
0
.
27
，
P
(
A
|
B
)
?
P
(
AB
)
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
< br>?
?
0
.
15
．<
/p>
P
(
B
)
P
(
B
)
18
．设
n
件产品中有
m
件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格
< br>品，求另一件也是不合格品的概率．
解：设
A
{
有一件产品是不合格品
}
，
B
?
{
另一件产品也是不合格品
}
，
D
i
?
{
取出的两件产品中有
i
件不合格品
}
，
i
?
0
,
1
,
2
，
显然，
A
?
D
1
?
D
2
，
< br>D
1
D
2
?
?
，
AB
?
B
?
D
2
．
2
种取法；
?
?
< br>{
从
n
件产品种任取两件
}
，共有
C
n
若
D
1
发生，
即取出的两件产品 中有
1
件不合格品，
则该不合格品只能从
m
件
1
不合格品中取得，共有
C
m
种取法；另一件为合格品，只能从
n
?
m
件合格品中取
1
1
1
得，共有
C
n
?
m
种取法，则事件
D
1
中共有
C
m
C
n
?
m
个样本点，
1
1
C
m
C
n
?
m
2
m
< br>(
n
?
m
)
P
(
D
1
)
?
?
，
2
C
n
n
< br>(
n
?
1
)
2
C
m
m
(
m
?
1
)
P
(
D
2
)
?
2
?
，
C
n
n
(
n
?
1
)
类似地，
所以
P
< br>(
A
)
?
P
(
D
1
?
D
2
)
?
P
(
D
1
< br>)
?
P
(
D
2
)
?
P
(
AB
)
?<
/p>
P
(
D
2
)
?
P
(
B
|
A
)
?
2
m
(
n
?
m
)
?
m
(
m
?<
/p>
1
)
，
n
(
n
?
1
)< /p>
m
(
m
?
1
)
，
n
(
n
?
1
)
于是所求概率为
P
(
AB
)
m
?
1
．
?
P
(
A
)
2
n
< br>?
m
?
1
7