-
概率论与数理统计
-
朱开永
< p>--同
济大学出版社习题一答案
习
题
一
1
．下列随机试验各包含几个基本事件？
（
1
）
将有记号
a
b
的两只球随机放入编号为Ⅰ，
Ⅱ，
Ⅲ
的盒子里（每个盒子可容纳两个球）
< p>
解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看
作不动物，
。
两个球看作是可动物，
一个一个地
放入盒中；
a
球可放入的任一个，其放法有
C
1
3
?
3
种，
b
球也可放入三
个盒子的任一个，其放法有
1
C
3
?
3
种
,
由乘法原理知：
这件事共有的方法数为
种。
1
1
C
3
< br>?
C
3
?
9
（
2
）观察三粒不同种子的发芽情况。
解：
用乘法原理，
三粒种子，
每一粒种子按发芽
与否是两种不同情况
（方法）
。
三粒种子发芽共
有
C
1
2
1
1
?
C
2
?
C
2
?
8
种不同情况。
（
3
）从五人中任选两名参加某项活动。
解：
从五人中任选两名参加某项活动，
可不考虑
任选的两人的次序，
所以此试验的基本事件个数
n
?
C
2
2
5
?
10
。
3
则
A
U
B
,
AB
各表示什么事件？
A
、
B
之间有什么关
系？
解：
设
A
?< /p>
“五件中有
k
件是不合格品”
B
?
“五
k
件都是合格品”
。
此随机试验
E
的样本空间可以
写成：
S
?
< br>?
A
,
A
,
A
,
A
,
A
,
B
?
而
A
?
A
U
A
1
3
4
5
1
2
U
A
3
U
A< /p>
4
U
A
5
?
A
U
B
?< /p>
S
,
AB
?
?
，
A
与
B
< br>是互为对立事件。
3.
随机抽验三件产品， 设
A
表示“三件中至少
有一件是废品”
，设
B
表示“三件中至少有两件
是
废
品
”
，
C
< br>表
示
“
三
件
都
是
正
品
”
，
问
A
,
B
,
C
,
A
U
B
,
AC
各表示什么事件？
解：
A
?
“三件都是正品”，
B
?
“三件中至多有
一件废品”，
C
?
“三件中至少有一件废品”，
A
U
B
?
A
,
AC
?
?
1
.
4.
对飞机进行两次射击，每次射一弹，设
A
表
示“第一次射击击中飞机”，
A
表示“第二次射
2
击击中飞机”，试用
A
,
A
及它们的对立事件表示<
/p>
1
2
下列各事件
:
B
?
“两弹都击中飞机”；
< /p>
C
?
“两弹都没击中飞
4
机”
D
?
“恰有一弹击中飞机”；
E
?
“至少有一弹击中飞机”。并指出
B
,
C
,
D
,
E
中哪
些是互不相容，哪些是对立的。
，
B
与
C
,
解：
B
?
A
A
,
1
2
C
?
A
1
A
2
,
D
?
A
1
A
2
U
A
1
A
2
,
E
?
A
1
U
A
2
B
与
< br>D
,
D
与
C
,
C
与
E
<
/p>
是互不相容的，
C
与
E<
/p>
是相互对
立的
.
5
．
在某班任选一名学生。记
A
?
“选出的是男
生”
;
B
?
“选出的是运动员”
;
C
?
“选出的是北方人”。问：（
1
）
A
B
C< /p>
,
A
B
C
各表
各表示什么意义。
（
3
）在什么
示什么事件？
（
2
）
C
?
B
,
A
< p>B?
C
条件下，
ABC
?
A
.
解：
（
1
）
A
B
C
=
“选出的是南方的不是运动员的
男生”。
（
2
）
< br>C
?
B
表示该班选出北方的学生一定是运动
员。
A
B
?
C
表示选出的不是运动员的男生是南方的。
5
（
3
）
当
A
?
BC
时
ABC
?
A
.
6
、设
A
,< /p>
A
,
A
,
A
是四个随机事件，试用这几个事
1
2
3
4
件表示下列事件：
（
1
）
这四个事件都发生；
（
2
）
这
四个事件都不发生；
（
3
）
这四个事件至少有一个发生；
（
4
< p>）
A
,
A
1
2
都发生，而
A
,< /p>
A
都不发生；
3
4
（
5
）
这四个事件至多一个发生。
（
6
）
这
四个事件恰有一个发生。
A
解：
（
1
）
1<
/p>
A
2
A
3
A
4
;
（
2
）
A
1
A
2
A
3
A
< br>4
A
U
A
;
（
3
）
1
2
< br>U
A
3
U
A
4
;
（
4
）
A
1
A
2
A
3
A
4
2
;
（
5
）
< br>A
2
A
3
A
4
U
A
1
A
3
A
4
U
A
1
A
2
A
4
U
A
1
A
2
A
< br>3
;
(6)
A
1
A
3
A
4
U
A
1
A
2
A
3
A
4
U
A
1<
/p>
A
2
A
3
A
4
U
A
1
A
2
A
3
A
4
.
7
．
从一副扑克牌（
52
张，不计大小王）中任
取
4
张，求取 得
4
张花色都不相同的概率。
解：
从
52
张牌中任取
4
张共有情况
C
种，
4
52
种情况看作每一种基本
事件，
所以此试验的样本
空间中基本事件的个数
n
?
C
。设事件
A
?
“任取
4
52<
/p>
的
4
张花色都不相同”，
6
A
中包
含的基本事件个数
K
可以用乘法原理求，
4
事件
A
完成要从
四种花色中各取一张，
故
k
?
13
,
< br>k
13
4
P
(
< p>A)
?
?
4
?
0.1055
n
C
5
2
.
8
．
某 房间里有
4
个人，
设每个人出生于
1
月至
12
月中每一个月是等可能的。求至少有
1
人
生日在
10
月的概率。
解：设事件
A
?
“至少有<
/p>
1
人生日在
10
月”
< p>
A
?
“
4
个人生日都不在< /p>
10
月”
?
11
?
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
1
?
?
?
?
1
?
0
.
7
?
0
.
3
?
12
?
4
.
9
．
袋中有
10
只形状相同的球，
其中
4
只红球，
6
只白球，
现从袋中一个接一个地任意取球抛掷
出去
，求第
3
次抛掷的是红球的概率。
解：
此随机试验
E
为：
从袋中每次任 取一球，
不
放回地连取三次，相当于从
10
只球中任取
3
只
排列在三个不同的位置上，
P
,
3
10
即其基本事件共有
n
?
P
个
,
3
10
设事件
“第三次抛掷的是红球”所包含的基本
7
<
/p>
事件个数
k
求法如下：首先事件
A
表示第三次抛
掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从
4
个红球中任取一个放入，共有
C
种放法；前两个
1
4
位置任从剩下
的
9
个球中取两个放在不同的位
置，其放法有
P
种。由乘法原理可知
2
9
k
?
C
P
< p>1
4
2
9
1
2
P
9
k
C
4
2
?
P
(
A
)
< p>??
?
3
n
5
P
10
.
10
．
将一枚硬币连续抛掷
10
次，求至少有一
次出现正面的概率。
解：
设事件
A
?
“至少出现一次正面”
，
A
?
“全<
/p>
不出现正面”
若一枚硬币连续——
10
次，每次有正、反两种
情况，
所以随机试验
E
的基本事件个数
n
?
2
，
A
10
< br>所包含的基本事件个数
k
?
1
.
< br>1
?
1
?
?
0
.
999
.
则
P<
/p>
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
1
< p>?
k
n
2
10
11
．
盒中有
10
个乒乓球，其中
6
只新球，
4
只< /p>
旧球。
今从盒中任取
5
只，
求正好取得
3
只新球
2
只旧球的概率。< /p>
解：从盒中
10
只球任取
5
只的取法共有
C
种，
5
10
8
即为此随机试验的基本事件的个数，
?
5
n
?
C
10
.
设事件
A
?
“正好取得
3
只新球
2
只旧球”
事件
A
所包含的基本
事件的个数
k
的考虑方法：
先
< br>从
6
只新球中任取
3
只，其取法有
C
种；再从
4
3
6
只旧球中任取
2
只，
其取法有
C
种。由乘法原理
2
< br>4
得
k
?
C
C
, <
/p>
3
6
2
4
3
2
C
4
10
k
C
6
?
P
(
A
)
?
?
?
?
0
.
476
5
n
21
C
10
.
12.10
件产品中有< /p>
6
件正品，
4
件次品。甲从
10
件中任取
1
件（不放回）后，乙再从中任取
1
件。记
A
?
“甲取得正品”；
B
?
“乙取得正品”。
求
P
(
A
),< /p>
P
(
B
/
A
),
P
(
B
/
A
).
解：
求
P
(
A
)
的问题是甲从
10
个 球中任取
1
球，
其
方法有
10
种，
事件
A
是甲取得
1
件是正品，
只能
从
6
件正品中任取
1
件，所以取法是
6
种。
6
3
?
P
(
A
)
?
?
10
5
求
P
(
B
/
A
)
问题是在甲取得一件正品的条件下不
放回，求乙再任取一件是正品的概率，
样本空间
?
是：甲从<
/p>
10
件产品中取出一件正品
1
9
后，
再从剩下的
9
< p>件产品中任取1
件的问题。
此
时基本
事件个数
m
?
C
?< /p>
9
,
在此
?
中正品是
5
件，
5
事件
B
包含的基本事件个数
k
?
5
.
?
P
(
B
/
A
)
?
9
，
求
1
9
1
1
的问题可用上面两种方法，
所不同的是
A
?
6
2
“甲取得一件是次品”
，
P
(
B
/
A
)
?
9
?
.
3
P
(
B
/
A
)
13
．
甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料
知道：甲、乙两城市一年中雨天
的比例分别是
20
％和
18
％，两地同时 下雨的比例为
12
％：
（
1
）
已知乙市为雨天，
求甲市也是雨天的概率；
（
2
）
已知甲市为雨天，
求乙市也是雨天 的概率；
（
3
）
求甲、
乙 两市至少有一城市为雨天的概率。
解：设事件
A
?
“甲市为雨天”
;
事件
B
?
“乙
市为雨天”。则
P
(
A
)
?
0
.
20
（
1
）
P
(
B
/
A
)
?
< p>P
(
B
)
?
0
.
18
P
(
A
/
B
)
?
P
(
AB
)
?
0
.
12
所求的问题：
;
（
2
）
P
(
AB
)
0
.
12
2
?
?
?
0
.
67
P
(
B
< p>)0
.
18
3
P
(
AB
)
0
.
12
3
?
?
?
0
.
6
P
(
A
)
0
.
20
5
;
（
3
）
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?< /p>
0
.
2
?
0
.
18
?
0
.
12
?
0
.
26
.
10
14
．
甲袋中有
3
个白球，
7
个红球，
1 5
个黑
球；乙袋中有
10
个白球，
6
个红球，
9
个黑球。
今从两袋
中各任取一球，求下列事件的概率。
（
1
）
事件
A
?
“取得
2
个红球”
;
（
2
）
事
件
B
?
“取得的两球颜色相同”
解：
(1)
随机试验为从甲袋
25
个球中任取
1
球，从乙袋
25
< p>个球任取1
个，其基本事件总数
1
1
n
?
C
25<
/p>
C
25
?
625
.
由乘法原理知道事件
A
包
含的基本
.
?
p
(
A
)
?
k
42
?
n
625
事件个数
1
1
k
?
C
< p>7
C
6
?
7
?
6
?
42
.
用
A
,
A
,
A
分别表示从甲袋取得白球、
红球、
黑球；
1
2
3
用
B
,
B
,
B< /p>
分别表示从乙袋取得白球、
红球、
黑球。
< br>1
2
3
则
A
?
A
B
。
?
A
与
B
相互独立。
?
2
2
2
2
P
(
A
)
?
P
(
A
2
)
P
(
B
2
)
?
k
k
< br>7
6
42
?
?
25
25
625
（
2
）
?
且
A
1
B
1
,
A
2
B
2
,
B
?
A
1
B
1
?
A
2
B
2
?
A
3
B
3
A
与
B
(
k
?
1
,
2
,
3
)
相互独立
,
A
3
B
3
三种
情况互不相容，
则
11
P
(
B
)
?
P
(
A
1
< br>B
1
)
?
P
(
A
2
B
2
)
?
P
(
A
3
B
3
)
?
P
(
A
1
)
P
(
B
1
)
?
P
(
A
2
)
P
(
B
2
)
?
P
(
A
3
)
P
(
B
3
)
?
3
10
< p>76
15
9
207
?
?
?
?
?
?
25
25
25
25
25
25
625
.
15.
制造某种零件可以采用两种不同的工艺：
第
一种工艺要经过三道工序，<
/p>
经过各道工序时出
现不合格品的概率分别为
0
.
1
,
0
.
2
,
0
.
3
；第二
种工
艺只要经过两，
道工序，
但经过各道工序时出
现不合格品的概率均为
0
.
3
。
如果采用第一种工
艺，
则在合格品的零 件中得到一级品的概率为
0.9,
而采用第二种工艺，则在合格品的零 件
中得到一级品的概率为
0.8
。试问采用何种工
艺获得一级品的概率较大。
（注：各道关系出
现不合格
品时相互独立的）
解：设事件
A
?
“采用第一种工艺获得一级品”
;
事件
B
?
“采用第二种工艺获得一级品”
;
第一种工艺经过三道工艺，
第
k
道工 序出合格品
事件记为
A
k
(
k
?
1,
2,3),
1
1
由题设知道：
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
1
?
0
.
1
?
0
.
9
.
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
1
?
0
.
2
?
0
.
8
.
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
1
?
0
.
3
?
0
.
7
.
2
2
3
3
12
第二种工艺二道工序，
第
k
道工序出合格品的
事
件记为
B
k
(
k
?
1,
2)
.
1
1
2
由题设知道
：
P
(
B
)
?
1
?
P
(
B
)
?
1
?
0
.
3
?
0
.
7
?
P
(
B
).
P
(
A
)
?
P
(
< p>A
1
A
2
A
3
)
?
0
.< /p>
9
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2<
/p>
)
P
(
A
3
)
?
0
.
9
?
0
.
9
?
0
.
8
?
0
.
7
?< /p>
0
.
9
?
0
.
45
P
(
B
)
?
P
(
B
1
B
2
)
?
0
.
8
?
P
(
B
1
)
P
(
B
2
)
?
0
.
8
?
0
.
7
?
0
.
7
?
0
.
8
?
0
.
39
所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。
16
．
一箱产品共
100
件，
其中 有
5
件有缺陷，
但
外观难区别，
今从中任取
5
件进行检验。
按规定，
若未发现有缺陷产品，
则全箱判为一级品；
若发
现一件
产品有缺陷，
则全箱判为二级品；
若发现
两件以上有缺陷
，
则全箱视为次品。
试分别求该
箱产品被判为一级品
（记为
A
）
，
二级品
（记为
B
）
,
< br>次品（记为
C
）的概率。
解：
随机试验
E
是
1 00
件产品任取
5
件，
其基本
事件的个数
n
?
C
。
5
100
事件
A<
/p>
包含的基本事件个数
n
求法是：
从
95
件没
A
缺
陷
的
产
品
取
5
n
A
C
95
?
P
(
A
)
?< /p>
?
5
?
0.76
< br>n
C
100
5
件
的
个
数
5
n
A
?
C
95
13