-
习
题
一
1
．下列随机试验各包含几个基本事件？
（
1
）
将有记号
a
b
的两只球随机放入编号为Ⅰ，
Ⅱ，
Ⅲ
的盒子里
（每个盒子可容纳两个球）
解
：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可 动物，一个
1
一个地放入盒中；
a
球可放入的任一个，其放法有
C
< br>3
?
3
种，
< p>b
球也可放入三个盒子的
1
1
1
任一个，其放法有
C
3
?
3
种
,
由乘法原理知：这件事共有的方法数为
C
3<
/p>
?
C
3
?
9
种。
（
2
）观察三粒不同种子的发芽情况。
解
：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方 法）。三粒种子
发芽共有
C
2
?
C
2
?
C
2
?
8
种不同情况。
（
3
）从五人中任选两名参加某项活动。
解
：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，
2
所以此试验的基本事件个数
< /p>
n
?
C
5
?
10
。
1
1
1
（
4
）某人参加一次考试，观察得分（ 按百分制定分）情况。
解
：此随机试验是把从
0
到
100
任一种分看作一个基本事件，
?
n
?
101
。
（
5
）将
a
,< /p>
b
,
c
三只球装入三只盒子中，使每只盒子
各装一只球。
解
：可用乘法原理：三只盒子视为不动物 ，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一
1
个一个放入盒
子内（按要求）。
a
球可放入三个盒子中的任一个有
C
3
?
3
种方法。
b
球因
为试验要求每只盒子只
装一个球，
所以
a
球放入的盒子不能再放入
b
球，
b
球只能放
入其余
（无
a
球
的盒子）两个中任一个，其放法有
C
2
?
2
个。
c
只能放入剩下的空盒中，其放法
只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球
，完成这件事共有方法为
1
1
C
3
?
C
2
?
1
?
6
种。
1
2
．
事 件
A
表示
“五件产品中至少有一件不合格品”< /p>
,
事件
B
表示
“五 件产品都是合格品”
，
则
A
U< /p>
B
,
AB
各表示什么事件？
A
、
B
之间有什么关系？
解
：
设
A
k
?
“五件中有
k
件是不合格品”
B
?
“五件都是合格品”。此随机试验
E
的样
A
?
A
1
U
A< /p>
2
U
A
3
U
A
4
U
A
< p>5
本空间可以写成：
S
?
?
A
1
,
A
2
,
A
< br>3
,
A
4
,
A
5
,
B
?
而
?
A
U
B
?
S
,
AB
?
?
，
A
与
B
是互为对立事件。
3.
随机抽验三件产品，设
A
表示“三件中至少有一件是废品”，设
B
表示“三件
中至少
有两件是废品”，
C
表示“三件
都是正品”，问
A
,
B
,
C
,
A
U
B
,
AC
各表示什么事件？
解：
A
?
“三件都是正品”，
B
?
“三件中至多有一
件废品”，
C
?
“三件中至少
有一件废品”，
A
U
B
?
A
,
AC
?
?
.
4.
对飞机进行两次射击，每次射 一弹，设
A
1
表示“第一次射击击中飞
机”，
A
2
表示“第
< br>二次射击击中飞机”，试用
A
1
,
A
2
及它们的对立事件表示下列各事件
:
B
?
“两弹都击中飞机”；
C
?
“两弹都没击中飞机”
D
?
“恰有一弹击中飞机”；
E
?
“至少有一弹击中飞机”。并指出
B
,
C
,
D
,
E
中哪些是互不相容，哪些是对立的。
解：
B
?
A< /p>
1
A
2
,
C
?
A
1
A
2
,
D
?
A
1
A
2
U
A< /p>
1
A
2
,
E
?
A
1
U
2
，
B
与
C
,
B
与
D
,
D
与
C
,
C
与
E
<
/p>
是互不相容的，
C
与
E<
/p>
是相互对立的
.
5
．
在某班任选一名学生。记
A
?
“选出的是男生”
;
B
?
“选出的是运动员”
;
< /p>
C
?
“选出的是北方人”。问：（
1
）
A
B
C
< p>,A
B
C
各表示什么事件？
（
2
）
C
?
B
,
A
B
?
C
各表示什么意义。（
3
）在什么条件下 ，
ABC
?
A
.
解：
（
1
）
< p>A
B
C
=
“选出的是南方的 不是运动员的男生”。
（
2
）
C
?
B
表示该班选出北方的学生一定是运动员。
A
B
?
C
表示选出的不是运动员的男生是南方的。（
3
）
当
A
?
BC
时
ABC
?
A
.
6
、设
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4<
/p>
是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：
（
1
）
这四个事件都发生；
（
2
）
这四个事件都不发生；
（
3
）
这四个事件至少有一个发生；
（
4
< p>）
A
1
,
A
2
都发生，而
A
3
,
A
4
都不发生；
（
5
）
这四个事件至多一个发生。
（
6
）
这四个事件恰有一个发生。
解：
（
1
）
A
1
A
2
A
3
A
4
;
（
2
）
A
1
A
2
A
3
A
4
;
（
3
）
A
1
U
A
2
U
A
3
U
A
4
;
（
4
）
A
1
A
2<
/p>
A
3
A
4
;
（
5
）
A
2
A
3
A
4
U
A
1
A
3
A
4
U
A
1
A
2
< br>A
4
U
A
1
A
2
A
3
;
(6)
A
1
A
2
A
< br>3
A
4
.
1
A
2
A
3
A
4
U
A
1
A
2
A
3
A
4
U
A
1
A
2
< br>A
3
A
4
U
A
7
．
从一副扑 克牌（
52
张，不计大小王）中任取
4
张，求取得
4
张花色都不相同的概率。
解
：
从
52
< p>张牌中任取4
张共有情况
C
52
种，
每一种情况看作每一种基本事件，
所以此试验< /p>
4
的样本空间中基本事件的个数
n
?
C
52
。设事件
< /p>
A
?
“任取的
4
张 花色都不相同”，
4
A
中包含的基本事件个数
K
可以用乘法原理求，
事件
A
完成要从四种花色中各取一张，
k
13
4
故
k
?
13
,
< br>P
(
A
)
?
?
4
?
0.1055
.
n
C
52
4<
/p>
8
．
某房间里有
4
个人，设每个人出生于
1
月至
12
月中每 一个月是等可能的。求至少有
1
人生日在
10
< p>月的概率。
解
：设事件
A
?
“至少有
1
人生日在
1 0
月”
A
?
“
4
个人生日都不在
10
月”
< /p>
?
11
?
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
1
?
?
?
?
1
?
0
.
7
?
0
.
3
.
?
1
2
?
9
．
袋 中有
10
只形状相同的球，其中
4
只红球，
6
只白球，现从袋中一个接一个地任意取
球抛掷出去，求第
3
次抛掷的是红球的概率。
解
：此随机试验
E
为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次
，相当于从
10
只球中任取
3
只排列在三 个不同的位置上，其不同的排列数为
P
10
,
即其基本事件共有
n
?
P
10
个
,
设事件
“第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数
k
求法如下：首先事件
A
表示第 三
次抛掷的是红球，
即第三个位置应放红球，
可从
4
个红球中任取一个放入，
共有
C
4
种放法；
前两个位置任从剩下的
9
个球中取两个放在不同的位置，其放法有
P
9<
/p>
种。由乘法原理可知
1
2
P
9
k
C
4
2
k
?
C
P
?
P
(< /p>
A
)
?
?
.
?
3
n
5
P
10
1
2
4
9
2
4
3
1
10
．
< p>将一枚硬币连续抛掷
10
次，求至少有一次出现正面的概率。
解
：设事件
A
?
“至少出现一次正面”
，
A
?
“全不出现正面”
若一枚硬币连续——
10
次，每次有正、反两种情况，所以随机 试验
E
的基本事件个数
n
?
2
10
，
A
所包含的基本事件个数
k
?
1
.
< /p>
则
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
< p>)?
1
?
k
1
?
1
?
10
?
0
.
999
.
n
2
11
．
< /p>
盒中有
10
个乒乓球，其中
6
只新球 ，
4
只旧球。今从盒中任取
5
只，求正好取得
3
只
新球
2
只旧球的概率。< /p>
解
：从盒中
10
只球任取
5
只的取法共有
C
10
种，即为此随机试验的基本事件的个数，
5
?
n
?
C
10
.
设事件
A
?
“正
好取得
3
只新球
2
只旧球”
5
事件
A
所包含的
基本事件的个数
k
的考虑方法：
先从
< p>6只新球中任取
3
只，
其取法有
C
6
种；
3
3
2
2
再从
4
只旧球中任取
2
只，其取法有
C
< br>4
种。由乘法原理得
k
?
C
6
C
4
,
3
2
C
4
10
k
C
6
?
P
(
< p>A)
?
?
?
?
0
.
476
.
5
n
21
C
10
件产品中有
6
件正品，
4
件次品 。甲从
10
件中任取
1
件（不放回）后，乙再从中 任取
1
件。
记
A
?
“甲取得正品”；
B
?
“乙取得正品”。求
P
(
A
),
P
(
B
/
A
< p>),P
(
B
/
A
).
解
：
求
P
(
A
)
的问题是甲从
10
个球中任取
1
球，
其方法有
< p>10种，
事件
A
是甲取得<
/p>
1
件是正
品，只能从
6
件正 品中任取
1
件，所以取法是
6
种。
?
P
(
A
)
?
< p>6
3
?
10
5
求
P
(
B
/
A
)
问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率，
样本空间
?
1
是：甲从
10
件产品中取出一件正品后，再从剩下的
< p>9件产品中任取
1
件的问
1
题。此时基本事件个数
m
?
C
9
?
9
,
在此
?
1
中正品是
5
件，事件
B
包含的基本事件个数
5
，求
P
(
B
/
A
)
的问题可用上面两种方法，所不同
的是
A
?
“甲
9
6
2
取得一件是次品”，
P
(
B
/
A< /p>
)
?
?
.
9
3
k
1
?<
/p>
5
.
?
P
(
B
/
A
)
?
< p>13
．
甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知 道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别
是
20
％和
18
％，两地同时下雨的比例为
12
％：
（
1
）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（
2
）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天
的概率；（
3
）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。
解
：设事件
A
?
“甲市为雨天”
;
事件
B
?
“乙市为雨天”。则
P
(
A
)
?
0
.
20
P
(
B
)
?
0
.
18
P
(
AB
)
?
0
< p>.12
所求的问题：
（
1
）
P
(
A
/
B
)
?
P
(
AB
)
0
.
12
2
P
(
AB
)
0
< p>.12
3
?
?
?
0
.
67
;
?
?
?
0
.
6
;<
/p>
（
2
）
P
(
B
/
A
)
?< /p>
P
(
B
)
0
.
18
3
P
(
A
)
0
.
20
5
（
）
P
(
A
?
B
)
?
P
(
A
< p>)?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
0
.
2
?
0
.
18< /p>
?
0
.
12
?
0
.
26
.
14
．
甲袋中有
3
个白球，
7
个红球，
15
个黑球； 乙袋中有
10
个白球，
6
个红球，
9
个黑
球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。
（
1
）
事件
A
?
“取得
2
个红球”
;
（
2
）
事件
B
?
“取得的两球颜色相同”
解：
(1)
随机试验为从甲袋
25
个球中任取
1
球，从乙袋
25
个球 任取
1
个，其基本事件
1
1
总数
n
?
C
25
C
25
?
625
.
由乘法原理知道事件
A
包含的基本事件个数
1
1
k
?
C
7
C
6
?
7
?
6
?
42
.
?
p
(
A
)
?
k
42
?
.
n
625
用
< br>A
1
,
A
2
,
A
3
分别表示从甲袋取得
白球、红球、黑球；用
B
1
< br>,
B
2
,
B
3
分别表示从乙袋取得
白球、红球、黑球。则
A
?
A
2
B
2
。
?
A
2
与
< br>B
2
相互独立。
?
P
(
A
)
?
P
(
A
2
)
P
(
B
2
)
?
7
6
42
?
?< /p>
25
25
625
（
2
）
?
B
?
< p>A
1
B
1
?
A
2
B
2
?
A
3
B
3
A
k
与
B
k
(
k
?
1
,
2
,
3
)
相互独立
,
且
A
3
B
3
三种情况互不相
容，
A
1
B
1
,
A
2
B
2
,
则
P
(
B
)
?
P< /p>
(
A
1
B
1
)
?
P
(
A
< p>2
B
2
)
?
P
(
A
3
B<
/p>
3
)
?
P
(
A
1
)
P
(
< p>B
1
)
?
P
(
A
2
)
P
(< /p>
B
2
)
?
P
(
A
3
)
P
< p>(B
3
)
?
3
10
7
6
15
9
207
.
?
?
?
?
?
?
< p>25
25
25
25
25
25
625
15.
制造某种零件可以 采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序
时出现不合格品的概率
分别为
0
.
1
,
0
.
2
,
0
.
< p>3
；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各
道工序时出
现不合格品的概率均为
0
.
3
。
如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到
一级品的概率为
,
而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为。试问采
用何种
工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的）
解：
设事件
A
?
“采用第一
种工艺获得一级品”
;
事件
B
?
“采用第二种工艺获得一级品”
;
第一
种工艺经过三道工艺，第
k
道工序出合格品事件记为
A
k
由题设知道：
P
(
A
1
)
?
1
?
P
(
A
1
)
?
1
?
0
.
1
?
0
.
9
.
(
k
?
1,
2,3),
P
(
A< /p>
2
)
?
1
?
P
(
A
2
)
1
?
0
.
2
?
0
.
8
.
P
(
A
3
)<
/p>
?
1
?
P
(
A
3
)
?
1
?
< p>0.
3
?
0
.
7
.
第二种工艺二道工序，第
k
道工序出合格品的事件记为
B
k
由题设知道：
P
(
B
1
)
?
1
?
P
(
B
1
)
?
1
?
0
.
3
?
0
.
7
?
P
(
B
2
).
(
k
?
1,
2)
.
P
(
A
)
?
P
(< /p>
A
1
A
2
A
3
)
?
0
< p>.9
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
)
P
(
A
3
)
?
0
.
9
< p>?
0
.
9
?
0
.
8
?
0
.
7
< p>?0
.
9
?
0
.
45
P
(
B
)
?
P
(
B
1
B
2
)
?
0
.
8
?
P
(
B
1
)
P
(
B
2
)
?
0
.
8
?
0
.
7
?
0
.
7
?
0
.
8
?
0
.
39
所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。
16
．一箱产品共
100
件，其中有
5
< p>件有缺陷，但外观难区别，今从中任取5
件进行检验。
按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为
二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记
为
A
），二级品（记为
B
）
,
次品（记为
C
）的概率。
5
解
：随机试验< /p>
E
是
100
件产品任取
< p>5件，其基本事件的个数
n
?
C
100
。
5
事件
A
包含的基本事件个数
n
A
求法是：从
95
件没缺陷的产品取
5
件的个数
n
< br>A
?
C
95
5
n
A
C
95
?
P
(
A
)
?
?
5
?
n
C
1
00
事件
B
包含的基本事件个数
n
B
求法：从
5
件有缺陷的产品中任取一件，个数为
C
5
,
再从
95
1
4
件无缺陷的产品中任取
4
件，个数为
n
B
?
C
5
C
95
，由乘法原理知
P
(
B
)
?
1
n
B
?
0.22
< br>
n
Q
C
?
A
U
B
P
(
C
)
?
P
(
A
U
B
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
(
因为
A
,
< p>B
互不相容
)
P
(
C
)
?
1
?
P
(
C
)
?
1
?
P
(
A
U
B
)
?
1
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
1
?
0
.
76
?
0
.
22
?
0
.
02
.
17
．车间内有
10
台同型号的机床独立运转，已知在
1
小时内每台机床出故障的概率为
，
其在
1
小时内正好有
3
台机床出故障的概率。
解
：
此问题是独立重复试验问题。
设事件
A
?
“
10
台机床中任
3
台出故障”，
3
P
(
A
)
?
C
10
(
0
.
01
)
3
(
0
.
99
)
7
?
0
.
0001
.
18
．
据医院经验，有一种中草药对某 种疾病的治疗效果为。现在
10
人同时服用这种中草
药治
疗该疾病，求至少对
6
人有疗效的概率。
解
：设事件
A
?
6
人有疗效”
,
P
(
A
)
?
?
C
k
?
6
10
k
10
0
.
8
k
0
.
2
10<
/p>
?
k
?
0
.
967
.
19
．加工某产品需 经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为，求至少有一道工序不
合格的概率。
解
：
设事件
A
?
“至少有一道工序不合格”
;
A
?
“两道工序后都合格”
.
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
1
?
0.95
2
?
0.0975
.
20
．
已知
P
(
A
)
?
0< /p>
.
2
,
（
1
）
P
(
A
B
< p>),
(3)
P
(
A
/
B
),
P
(
B
)
?
0
.
45
,
P
(
AB
)
?
0< /p>
.
15
求：
P
(
A
B
)
P
(
A
B
);
(2)
P
(
A
U
B
) ,
P
(
A
U
B
),
P
(
A
U
B
);< /p>
P
(
A
/
B
).
P
(
B
/
A
),
解：
(1)
P
(
A
B
)
?
P
(
A
?
AB
)
?
P
(
A
)
< p>?P
(
AB
)
?
0
.
05
;
P
(
A
B
)
?
P< /p>
(
B
?
AB
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
0
.
< p>3
;
P
(
AB
< p>)?
1
?
P
(
A
U
B
)
?
1
?< /p>
0.5
?
0.5
.
(2)
P
(
A
< p>UB
)
?
P
(
A
)
?
P
(
B
)< /p>
?
P
(
AB
)
?
0.2
?
0.45
?
0.15
?
0.5