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大学物理竞赛选拔试卷
1.
（本题
6
分）一长度为
< p>l的轻质细杆，两端各固结一个小球
A
、
B< /p>
（见图），它们平放在光滑水平面上。另有一小球
D
，以垂 直于杆身的初
速度
v
0
与杆端的
Α
球作弹性碰撞．设三球质量同为
m
，求 ：碰后（球
Α
和
Β
）以及
D
球的运动情况．
2. <
/p>
（本题
6
分）
质量
m
=10 kg
、
长
l
=40 cm
的链条，
放在光滑的水平桌
面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质
量为
m
1
=10
kg
的物体，如图所
示．
t
= 0
时
,
系统从静止开始运动
,
这时
l
1
=
l
2
=20 cm<
l
3
．设绳不伸长，
轮、
绳的
质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，
求当链条刚刚全部滑到桌面上时，
物体
< p>m
1
速度和加速度的大小．
3.
（本题
6
分）
长为
l
的匀质细杆，可绕过杆的一端
O
点的水平光滑固定
< p>m
l
O
l
B
v
0
l
D
A
l
3
m
1
l
1<
/p>
l
2
轴转动，
开始时静止于竖直位置．紧挨
O
点悬一单摆，轻质摆线的长度也是
l
，
摆球质量为
m
．若单摆从水平位置由 静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹
性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求：
(1)
细杆的质量．
(2)
细杆摆起的最大角度
．
?
M
4.
（本题
6
分）质量和材料都相同的 两个固态物体，其热容量为
C
．开始时两物体的温度分别为
T
1
和
T
2
（
T
1
>
T
2
）．今有一热机以这两个物体为高温和低温热源，经若干次循
环后，两个物体达到相同的温度，
求热机能输出的最大功
A
max
．
5.
（本题
6
分）如图所示，
123415641 < /p>
为某种一定量的理想气体进行的一
个循环过程，
它是由一个 卡诺正循环
12341
和一个卡诺逆循环
15641
组成．
已
知等温线温度比
T
1
/
T
2
=
4
，卡诺正逆循环曲线所包围面积大小之比为
S
1
/
S
2
=
2
．求循环
123415641
的效率
6.
（本题
6
分）将热机 与热泵组合在一起的暖气设备称为动力暖气设备，其中带动热泵的动力由热机
p
5
1
6
O
2
T
1
3
T
2
V
4
．
燃烧燃料对外界做功来提供
.
热泵从天然蓄水池或从地下水取出热量，向温度较 高的暖气系统的水供热
.
同
时，暖气系统的水又作为热机
的冷却水
.
若燃烧
1kg
燃料，锅炉能获得的热量 为
H
，锅炉、地下水、暖气系
统的水的温度分别为
210
℃，
15
℃，
60
℃
.
设热机及热泵均是可逆卡诺机
.
试问每燃烧< /p>
1kg
燃料，暖气系统所
获得热量的理想数值（不考虑各种
实际损失）是多少？
7.
（本题
5
分）
如图所示，原点< /p>
O
是波源，振动方向垂直于纸面，
波长是
．
AB
为波的反射平面，反射时无相位突变
．
O
点位于
A
点的
O
x
h
A
B
正上方，
AO
?
h
< p>．
Ox
轴平行于
AB
．求
< p>Ox轴上干涉加强点的坐标（限于
x
≥
0
）．
8.
（本题
6
分）
一弦线的左端系于音叉的一臂的
A
点上，
右 端固定
在
B
点，并用
T
= 7.20 N
的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长
度的方向
上作每秒
50
次的简谐振动（如图）．这样，在弦线上产生了
入射波和反射波，并形成了驻波．弦的线密度
= 2.0 g/m
，
弦线上的
O
A
L
B
质点离开其平衡位置的最大位移为
4 cm
．在
t
= 0
时，
O
点处的质点经过其平衡位置向下运动，
O
、
B
< p>之间
的距离为
L
= 2.1 m
．试求：
(1)
入射波和反射波的表达式；
(2)
驻波的表达式．
9.
（本题
6
分）用每毫米
< p>300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已
知红谱线波长
R
在
0 .63
─
0.76
m
范围内，蓝谱线波长
B
在
0.43
─
0.49
m
范围内．当光垂直入射到光
栅时，发现在衍射角为
24.46
°处，红蓝两谱线同时出现．
(1)
在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？
(2)
在什么角度下只有红谱线出现？
10.
（本题
6
分）如图所示，用波长为
= 632.8 nm (1 nm = 10
-9
m)
的单色
点光源
S
照射厚度为
e
= 1.00
×
10
-5
m<
/p>
、
折射率为
n
2
= 1.50
、
半径为
R
= 10.0 cm< /p>
的圆形薄膜
F
，
点光源
S< /p>
与薄膜
F
的垂直距离为
d
= 10.0 cm
，
薄膜放在空气
（折
射率
n
1
= 1.00
）
中，
观察透射光的等倾干涉条纹．
问最多能看到几个亮纹？
（注：
亮斑和亮环都是亮纹）．
F
n
1
S
n
1
R
d
e
n
2
L
C
f
11.
（本题< /p>
6
分）
7
?
50
< p>双筒望远镜的放大倍数为
7
，物镜直径为
50mm.
据瑞利判据，这种望远镜的角
分辨率多大？设入射光波长为
550
nm
.
眼睛
瞳孔的最大直径为
7.0mm.
求出眼睛对上述入射光的分辨率
.
用得数除以
7
，和望远镜的角分辨率对 比，然后判断用这种望远镜观
察时实际起分辨作用的是眼睛还是望远镜
.
12.
（本题
6
分）一种利用电容器控制绝缘油液面的装置示意如图
< p>.平
行板电容器的极板插入油中，
极板与电源以及 测量用电子仪器相连，
当液面
高度变化时，
电容器的电容 值发生改变，
使电容器产生充放电，
从而控制电
路工作<
/p>
.
已知极板的高度为
a
，油的相对电容率为
ε
r
，试求此电容器等效相对电容率与液面高度
h
的关系
.
a
h
13.
（本题
6
分）在平面螺旋线中， 流过一强度为
I
的电流，求在螺旋线中点的磁
感强度的大
小．螺旋线被限制在半径为
R
1
和
R
2
的两圆之间，共
n
圈．< /p>
[
提示：螺旋线的极坐标方程为
r
?
a
?
?
b< /p>
，其中
a
，
b
为待定系数< /p>
]
r
R
O
2
R
1
14.
（本题
6
分）一边长为
a
的正方形 线圈，在
t
= 0
时正好从如图所示
?
的均匀磁场的区域上方由静止开始下落，
设磁场的磁感强度为
B
(
如图
)
，
< p>线圈
的自感为
L
，质量为
m
，电阻可忽略．求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度
与时间的关系．
B
=0
?
B
15.
（本题
6
分）如图所示，有一圆 形平行板空气电容器，板间距为
b
，
极板间放一与板绝缘
的矩形线圈．线圈高为
h
，长为
l
，线圈平面与极 板垂
直，
一边与极板中心轴重合，
另一边沿极板半径放置 ．
若电容器极板电压为
U
12
< br> =
U
m
cos
t
，
求线圈电压
U
的大小．
b
h
l
U
16.
（本题
6
< p>分）在实验室中测得电子的速度是0.8
c
，
c
为真空中的光速．假设一观察者相对实验室以
0.6
c
的速率运动，其方向与电子运动方向相同，试求该观察者测出的电子的动能和动量是多少？（电子 的
静止质量
m
e
＝
9.11
×
10
31
kg
）
(1)
求太阳辐射的总功率．
(2)
把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度．
（地球与太阳的平均距离为
1.5
×
10
8
km
，
太阳的半径为
6.76
×
10
< p>5
km
，
= 5.67
×
10
-8
W/(m
2
·
K
4
)
）
18. <
/p>
（本题
6
分））已知氢原子的核外电子在
1s
态时其定态波函数为
17.
（本题
6
分）已知垂直射到地球 表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于
1.37
×
10< /p>
3
W/m
2
．
?
100
?
式中
a
?
(
1
π
a
3
e
?
r
/
a
，
?
0
h
2
?
m
< br>e
e
2
．试求沿径向找到电子的概率为最大时的位置坐标值．
，
h
= 6.626
×
10
-34
J
·
s
，
m
e
=
9.11
×
10
-31
kg
，
e
= 1.6
×
10
-19
C )
0
=
8.85
×
10
-12
C
2
·
N
-1
·
m
-2
参考答案
1. <
/p>
（本题
6
分）解：设碰后刚体质心的速度为
v
C
，刚体绕
通过质心的轴的转动的角速度为<
/p>
，球
D
碰后的速度为
v
，
设它们的方向如图所示．
因水平无外力，系统动量守恒：
m
0
?
m
v
?
?
(
2
m
)< /p>
v
C
得：
v
0
?
v
?
?
2
v
C
(1)
1
分
弹性碰撞，没有能量损耗，系统动能不变；
?
2
l
2
1
1
1
1
l
2
2
2
2
2
2
2
2
m
v
0
?
m
v
?
?
(
2
m
)
v
C
< br>?
[
2
m
(
)
]
?
，得
v
0
?
v
?
?
2
v
C
?
2
2
2
2
2
2< /p>
只有碰后有角动量，有
(2)
2
分
系统对任一定点的角动量守恒
,
选择与
A
球位置重合的定点计算．
A
和
D
碰撞前后角动量均为零，
B
球
l
?
l
0
?
ml
v
B
?
ml
[
?
(
)
?
v
C
]
，得
v
C
?
2
2
(1)
、
(2)
< p>、(3)
各式联立解出
v
?
?
0
;
v
C
?
(3)
2
分
v
0
v
;
?
?
0
。
1
分
2
l
即碰后，
D
球静止，刚体（球
A
、
B
及细杆）以速度
v
C
平移并绕通过质心的轴以角速度
转动．
2.
（本题
6
分）解：分别取
m
1
和链条
m
为研究对象，坐标如图．
设链条在桌边悬挂部分为
x
，
m
1
g
?
T
?
m
1
a
，
T
?
xgm
/
l
?
ma< /p>
，
解出
a
?
1
g
(
1
?
x
/
l
)
2
分
2
当链条刚刚全部滑到桌面时
x
= 0
，
a
=
1
g
?
4.9 m/s
2
2
a
?
d
v
< br>d
v
d
x
d
v
?
?
?
?
v
d
t
d
x
d
t
d
x
v
d
v
?
?
a
d
x
?
?
1
g
(
1
?
x
/
l
)
d
x
2
分
2
v
0
两边积分
?
2
v
d
v
?
?
g
(
1
?
x
)
d
x
0
?
l
2
l
< br>
v
2
?
gl
2
2
?
1
2
gl
2
/
l
?
(
3
/
4
)
gl
2
v
?
1
2
3
gl
2
?
1.21 m/s
3.
（本题
6
分）解：
(1)
设摆球与细杆碰撞时速度为
v
0
，碰后细杆角速度为
得：
J
=
mv
0
l
由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能
1
2
m
v
2
1
< br>0
?
2
J
?
2
代入
J
＝
1
3
Ml
2
，由上述两式可得
M
＝
3
m
(2)
由机械能守恒式
1
2
m
v
2
1
1
0
?
mgl
及
2
J
?
2
?
2
Mgl
?
1
?
cos
?
?
并利用
(1)
中所求得的关系可得
?
?
arccos
< p>1
3
4.
（ 本题
6
分）解：设两物体达到的相同温度为
T
，由 热力学第一定律知
A
?
Q
1
?
|
Q
2
|
?
C
(
T
1
?
T
)
?
C
(
T
?
T
2
)
?
C
(
T
1
?
T
2
)
?
2
CT
由熵的计算有
?
S
?
C
ln
T
T
T
2
T
?
C
ln
T
?
C
ln
1
2
T
1
T
< br>2
由熵增加原理知
S
≥
0
∴
T
≥
T
1
T
2
将上式代入
A
的式子中得
A
≤
C
(
T
1
?
T
2
)
?
2
C
T
1
T
2
∴
A
max
< br>?
C
(
T
1
?
T
2
)
?
2
C
T
1
T
2
5.
（本题
6
分）解：
?
?
1
?
Q
1
?
< br>?
Q
2
Q
1
?
Q
?
2
2
分
1
分
1
分
1
分
2
分
1
分
1
分
2
分
1
分
1
分
1
分
1
分
，系统角动量守恒