东南大学学科排名-端午节的英文
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2017
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷
5
< p>页，23
小题，满分
150
分。考试用时
120
分钟。
注意事项：
1
．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用
2B
铅笔将试卷类型
（
B
）填涂在答题卡 相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2
．作答选择题时，选出每小题答案后，用
2B
铅笔在答题卡上对应题目 选项的答案信息点涂黑；如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3
．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔 作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，
先 划掉原来的答案，
然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。
不 按以上要求作答无效。
4
．考生必须保证答题卡的整洁 。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知集合
A
={
x
|
x
<1}
，
B
={
x
|
3
x
?
1< /p>
}
，则
A
．
A
C
．
A
< br>B
?
{
x
|
x
?
0}
B
．
A
D
．
A
B
?
R
B
?
?
B
?
{
x
|
x
?
1
}
2
．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图
.
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心
成中心对称
.
在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A
．
C
．
1<
/p>
4
B
．
D
．
π
8
1
2
π
4
3
．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数<
/p>
z
满足
?
R
，则
z
?
R
；
z
p
2
：若复数
z
满足
z
2
?
R
，则
z
?
R
；
p
3
：若复数
z
1<
/p>
,
z
2
满足
z
1
z
2
< br>?
R
，则
z
1<
/p>
?
z
2
；
p
4
：若复数
z
?
R
，则
z
?
R
.
其中的真命题为
A
．
p
1
,
p
3
B
．
p
1
,
p
4
C
．
p
2
,
p
3
D
．
p
2
,
p
4
< br>4
．记
S
n
为等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和．若
a<
/p>
4
?
a
5
?
24
，
S
6
?
48
，则
{
a
n
}
的公差为
A
．
1
B
．
2
C
．
4
D
．
8
5
f
(
x
)
在
(
??
,
??
)< /p>
单调递减，且为奇函数．若
f
(
1 )
?
?
1
，则满足
?
1
?
f
(
x
?
2
)
?
1
的
x
的取值范围是
A
．
[
?
2,2]
B
．
[
?
1,1]
C
．
[0,4]
D
．
[1,3]
1
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6
．
(1
?
1
)(1
?
x
)
6
展开式中
x
2
的系数为
2
x
B
．
20
C
．
30
D
．
35
A
．
15
7
．某多面体 的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为
2< /p>
，俯视
图为等腰直角三角形
.
该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A
．
10
B
．
12
C
．
14
D
．
16
和
两个空白框中，可以分别填入
8
．右面程序框图是为了求出满足
3
n
?
2
n
>1000
的最小偶数< /p>
n
，那么在
A
．
A
>1 000
和
n
=
n
+1
B
．
A
>1 000
和
n
=
n
+2
< p>C
．
A
?
1
000
和
n
=
n
+1
< p>D
．
A
?
1
000
和
n
=
n
+2
< p>9
．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
< p>2
：
y
=sin (2
x< /p>
+
2
π
)
，则下面 结论正确的是
3
π
个
单位长度，得到曲线
C
2
6
< br>π
个单位长度，得到曲线
C
2
12
A
．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得 到的曲线向右平移
B
．把
C
1<
/p>
上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移
C
．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
D
．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
1<
/p>
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单 位长度，得到曲线
C
2
2
6< /p>
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向
左平移
个单位长度，得到曲线
C
2
2
12
10
．已知
F
为抛物线
C
：
y
2
=4
x
的焦点，过
F
作 两条互相垂直的直线
l
1
，
l< /p>
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，直线
l
2
与
C
交于
D
、
E
两点，则
|
AB
|+|
DE
|
的 最小值为
A
．
16
B
．
14
C
．
12
D
．
10
< br>11
．设
xyz
为正数，且
2
x
?
3
y
< br>?
5
z
，则
< p>
A
．
2
x
<3
y
<5
z
B
．
5
z
<2
x
<3
y
C
．
< p>3y
<5
z
<2
x
< p>
D
．
3
y
<2
x
<5
z
12
．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件
.
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了
“
解数学题获
取软件激活码
”
的活动
.
这款软件的激活码为 下面数学问题的答案：已知数列
1
，
1
，
2
，
1
，
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
8
，
1
，
2
，
4
，
8
，
1 6
，
…
，其中第一项是
2
0
，接下来的两项是
2
0
，
2
1
，再接下来的三项是
2
0
，
2
1
，
2
2
，依此类推
.
求
满足如下条件的学科网
&
最小整数
N
：
N
>100
且该数列的前
N
项和为
2
的整数幂
.
那么 该款软件的激活码是
A
．
440
B
．
330
C
．
220
D
．
110
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5< /p>
分，共
20
分。
13
．已知向量
a
，
b
的夹角为
< p>60°，
|
a
|=2
，
|
b
|=1
，则
|
a
+2
b
|=
. < /p>
?
x
?
2
y
?
1
?
14
．设
x
，
y
满足约束条件
?
2
x
?
y
?
?
1
，则
z
?
3
x
?
2
y
的最小值为
.
?
x
?< /p>
y
?
0
?
2
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x
2
y
2
15
．已知双曲线
C
：
2
?
2<
/p>
?
1
（
a
>0
，
b
>0
）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲线
C
的一
< p>a
b
条渐近线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°
，则
C
的离心率为
________
。
< /p>
16
．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为
5 cm
，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，
△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
C A
，
AB
为折
痕折起△
D BC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合， 得到三棱锥。当△
ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积（单
位：
cm
3
）的最大值为
_ ______
。
三、解答题：共
70< /p>
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21
题为 必考题，每个试题考生都必须
作答。第
22
、
< p>23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共
60
分。
< p>
17
．
（
12
分）
a
2
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c< /p>
，已知△
ABC
的面积为
3sin
A
（
1
）求
sin
B
sin
C
;
（
2
）若
6cos
B
cos
C
=1
，
a
=3
，求△
ABC
的周 长
.
18.
（
12
分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB//C D
，且
?
BAP
?
?
CDP
?
90
.
（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
PA D
；
（
2
）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
?
APD
?
90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值
.
19
．（
12
分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，
检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个零件，
并测量其尺寸
（单
位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这
条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N
(
?
,
?
)
．
（
1
）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的
< br>16
个零件中其尺寸在
(
?
?
3
?
,
< br>?
?
3
?
)
之外的零件数，求
2
P
(< /p>
X
?
1)
及
X
的数学期望；
（
2
）
一天内抽检零件中，
如果出现了尺寸在
(
?
?
3
?
,
?
?
3
?
)
之外的零件，
就认为这条生产线 在这一天的生产
过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：
9.95
10.26
10.12
9.91
9.96
10.13
9.96
10.02
10.01
9.22
9.92
10.04
9.98
10.05
10.04
9.95
1
16
1
16
1
16
2
2
< p>x
i
?
9.97
< br>，
s
?
经计算得
x
?
(
x
i
?
x
)
?
(
?
x
i
?
16
x
2
)
2
?
0.212
，其中
x
i
为抽取的第
i
个
?
?
16
i
?
< p>1
16
i
?
1
16
i
?
1
零件的尺
寸，
i
?
1,2,
???
,16
．
?
，用样本标准差
s
作为
?
的估计值
?
?
，利用估计值
判断是否需对当天的生
用样本平均数
x
作为
?
的估计值
?
3<
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?<
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3
?
?
,
?
?
?
3
?<
/p>
?
)
之外的学科网数据，用剩下的数据估
计
?
和
?
（精
确到
0.01
）．
< br>产过程进行检查？剔除
(
?
2<
/p>
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N
(
?
,
?
)
，则
P
(
?
?
3
?
?
Z
?
?
?
3
?
)
?
0.997 4
，
0.997
4
16
?
0.959 2
，
0.008
?
0.09
．<
/p>
20.
（
12
分）
3
3
x
2
< br>y
2
已知椭圆
C
：
2
?
2
=1
（
a
>
b
>0
）< /p>
，四点
P
1
（
1, 1
）
，
P
2
（<
/p>
0,1
）
，
P
3
（
–
1
，
）
，
P
4
（
1
，
< p>）中恰有三点在椭
2
2
a
b
圆
C
上
.
（<
/p>
1
）求
C
的方程；
（
2
）设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点
.
若直线
< p>P
2
A
与直线
P
< p>2
B
的斜率的和为
–
1
，证明：
l
过定点
.
21.
（
12
分）
2
x
x
已知函数
（
f
x
)
?
a
e
+(
a
﹣
2)
e
﹣
x
.
（
1
）讨论
f
(
x
)
的单调性；
（
2
）若
f
(
x
)
有两个零点，求
a
的取值范围
.
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作 答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22
．
[
选修
4―4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）
?
x
?
3cos
?
,<
/p>
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
< p>的参数方程为
?
（
θ
为参数 ），直线
l
的参数方程为
y
sin
?
,
?<
/p>
?
x
?
a
?
4
t
,
（
t
为参 数）
.
?
y
?
1
?
t
,
?
（
1
）若
a
=?1
，求
C
与
l
的交点坐标；
< br>（
2
）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
，求
a. < /p>
23
．
[
选修
4
< p>—5
：不等式选讲
]
（
10< /p>
分）
已知函数
f
（
x
）
=
–
x
2<
/p>
+
ax
+4
，
g
< p>(x
)=│
x
+1│+│
x< /p>
–1│
.
（
1
）当
a
=1
时，求不等式
f
（
x
）
≥
g
（
x
）的 解集；
（
2
）若不等式
f
（
x
）
≥
g
（< /p>
x
）的解集包含
[
–
1
，
1]
，求
a
的取值范围
. < /p>
2017
年新课标
1
理数答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.D
10.A
11.D
12.A
13.
2
3
14.
?
5
15.
2
3
16.
4
15
3
1
a
2
1
a
17.
解：
（
1
）由题设 得
ac
sin
B
?
，即
c
sin
B
?
.
2
3sin
A
2
3sin
A
由正弦定理得
1
A
sin
C
sin
< p>B?
.
2
3sin
A
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