中山大学保继刚-中山大学保继刚
大一上学期高数期末考试
一、
单项选择题
(
本大题有
4
小题
,
每小题
4
分
,
共
16
分
)
1.
设
f
(< /p>
x
)
?
cos
x
(< /p>
x
?
sin
x
),
则 在
x
?
0
处有
(
)
.
（
A
）< /p>
f
?
(0)
?
< p>2
（
B
）
f
?
(0)
?
1
（
C
）
f<
/p>
?
(0)
?
0
（
D
）
f
(
x
)
不可导
.
2.
设
?
(
x
)
?
1
?
x
1
?
x
，<
/p>
?
(
x
)
?
3
?
3
3
x
x
?
1
时（
）
.
（
A
）
?
(
x
)
< p>与
?
(
x
)
是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
（
B
）
?
(
x
)
与
?
(
x
)
是等价无穷小；
（
C
）
?
(
x
)
是比
?
(
x
)
高阶的无穷小；
（
D
）
?
(
x
)
是比
?
(
x
)
高阶的
无穷小
.
3.
若
F
x
)
?
?
x
0
(
2
t
?< /p>
x
)
f
(
t
)
dt
，
其
中
f
(
x
)
在
区
间
上
(
?
1,1)
二<
/p>
阶
可
导
且
f
?
(
x
)
?
0< /p>
，则（
）
.
（
A
）函数
F
(
x
)
必在
x
?
0
处取得极大值；
（
B
）函数< /p>
F
(
x
)
必在
x
?
0
处取得极小值；
（
C
）函数
F
(
x
)
在
x
?
0
处没有极值，但点
(0,
F< /p>
(0))
为曲线
y
?
F
(
x
)
的拐点；
（
D
）
函数
F
(
x
)
在
x
?
0
处没有极值，
点
(0,
F
(0))
也不是曲线
y
?
F
(
x
)
的拐点。
f
(
x
)
是连续函数，且
< p>f
(
x
)
?
x
?
2
?
1
4.
设
0
f
(
t
)
dt
,
则
f
(
x< /p>
)
?
(
x
2
x
2
（
A
）< /p>
2
（
B
）
2
?
2
< p>（
C
）
x
?
1
（
D
）
< p>x
?
2
.
二、填
空题（本大题有
4
小题，每小题
4
分，共
16
分）
2
5.
lim
(
1
?
3
x
)
< p>sin
x
?
x
?< /p>
0
.
6.
已知
cos
x
x
是
f
(
x
)
的一个原函数
,
则
?
f
(
x
)
?
cos
x
.
x
d<
/p>
x
?
7.
lim
?
(cos
2
?
?
cos
2
2
?
n
?
?
n<
/p>
n
n
?
?
?
cos
2
n
?
1
n
?
)
?
< p>
. < /p>
1
2
2
?
x
arcsin
x
?
1
dx
?
8.
－
1
1
?
x
2
2
.
三、解答题（本大题有
5
小题，每小 题
8
分，共
40
分）
9.
设函数
y
?
y
(
x
)
由方
程
e
x
?
y
?
sin(
xy
)
?
1
确定，求
y
?
(
x
)
以及
y
?
(0)
.
求
10.
?
1
?
x
7
x
(
1
?
x
7
< br>)
d
x
.
)
11.
12.
?
x
?
?
x
e
，
x
?
0
设
f
(
x
)
?
?<
/p>
求
2
?
?
2
x
?
x
，
0
?
x
?
1
?
1
?
3
f
(
x
)
dx
．
<
/p>
x
?
A
1
0
设函数
f
(
x
)
连续，
，
且
x
?
0
g
?
(<
/p>
x
)
并讨论
g
?
(
x
)
在
x
?
0
处的连续性
.
g
(
x
)
?
?
f
(
xt
)
dt
lim
f
(
x
)
，
A
为常数
.
求
13.
求微分方程
xy
?
?
2
y< /p>
?
x
ln
x
满足
14.
已知上半平面内一曲线
y
?
y
(
x
)
9
的解
.
四、
解答题（本大题
10
分）
(
x
?
0
)
，过点
(
0
,
1
)
< br>y
(1)
?
?
1
< br>，且曲线上任一点
M
(
x
0
,
y
0
)
处切线斜率数值上等于此曲线与
x
轴、
y
轴、直线
x
?
x
0
所围成
面积的
2
倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程
.
五、解答题（本大题
10
分）
15.
过坐标原点作曲线
y
?
ln
x
的切线，该切线与曲线<
/p>
y
?
ln
x
及
x
轴围
成平面图形
D.
(1)
求
D
的面积
A
；
(2)
求
D
绕直线
x
=
e
旋转一周所得旋转体的体积
V
. < /p>
六、证明题（本大题有
2
小题，每小题
4< /p>
分，共
8
分）
16.
设
函
数
q
f
(
x
)
在
?
0,1
?
上
连
续
且
单
调
递
减
，
证
明
对
任
意
的
q
?
[
0
,
1
]
，
1
?
0
f
(
x
)
d
x
?
q
?
f
(
x
)
dx
0
.
?
?
17.
设函数
f
(
x
)
在
?
0
,
?
?
上连续，
且
?<
/p>
0
f
(
x
)
d
x
?
0
，
0
?
f
(
x
)
cos
x
dx
?
0
.
证明：
在
?
0
,
?
?
内至少存在
两个不同的点
?
1
,
< br>?
2
，
使
f
(
?
1
)
?
f
(
?
2
)
?
0
.
（提
x
F
(
x
)
?
< p>示：设
?
0
f
x
)
dx
）
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